高中数学函数案例设计.docx
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高中数学函数案例设计.docx
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高中数学函数案例设计
函数教学设计
【教学目标】
1.了解函数概念的形成过程,理解函数概念,明确决定函数的三个要素,即定义域、值域和对应法则;理解函数记号
,会求某些函数的定义域。
2.了解数学概念发展的艰难历程,感悟数学前辈的探索精神,激发学习热情,树立正确的数学观和创新意识。
【设计思想】
1.本教学设计案例是根据普通高中课程标准实验教科书《数学1》(鄂教版)而设计的;
2.这是一节概念课,并且函数及其相关概念是高中数学最抽象的数学概念,在教学过程中要注意引导学生经历观察、思考、探究、交流、反思的过程,逐步获得对抽象概念的理解。
3.教科书是把映射作为函数概念的推广来要求的,是先讲函数后讲映射的。
教学过程中应当把主要精力放在使学生理解函数的基本概念和函数思想上,以使学生有更多的时间考虑如何建立函数模型以反映实际变量之间的依赖关系。
对定义域及值域问题过去关注过多,从某种程度上冲淡了对函数概念本质的理解,这是需要纠正的。
4.函数的概念要理解透彻并非一朝一夕的事,我们设计函数课的教学过程必须由浅入深,使学生在不断地学习中加深对函数概念的理解,教师不可能做到一步到位,要给学生一个逐步加深认识的过程
5.“函数”要求学生由计算、求值、解方程等静态思维到动态思维的转变,部分学生没能建立起运动变化的观点,这给高中进一步学习函数带来认知障碍;另外学生的学习心理、习惯、方法等都有一个转折与适应问题。
而“函数”恰是初高中数学学习的纽带,是初高中衔接的好载体。
教学中要让学生感受高中与初中所学的函数内容的自然衔接与再次学习的必要性。
【教学过程】
1、复习引入
师:
我们在初中已经学过函数,请同学们回忆一下,我们学过哪些函数?
生:
正比例函数
,反比例函数
,
一次函数
,二次函数
师:
那么什么叫函数呢?
(让学生回忆,同时老师打出投影片)
初中学过的函数定义:
设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数。
2、重新审视
师:
我们分析这个定义,用集合的观点来看,自变量x的取值范围就是一个非空数集A,y的变化范围是一个非空数集B,函数就是从集合A到集合B的一个特殊对应。
为了说明这一观点,我们分析下列函数:
(老师逐题打出投影片,让学生回答)
(1)质量为
,
的物体之间的万有引力y与物体间的距离x有如下关系
,①
其中
为万有引力常数。
生:
如果令
,
,
则对于任意的
,依据①式,有唯一的
与x对应。
(2)据北京市人民政府网站公布,2003年5月1日至5月5日北京已确诊的SARS病例累计如下表:
日期
1
2
3
4
5
累计确诊病例
1553
1636
1741
1803
1897
生:
如果令
,
,
则对于任意的
,依据上表,有唯一的
与x对应。
(3)是某气象站温度记录仪记录的某日早晨8时到下午16时的温度曲线:
生:
如果令
,
,
则对于任意的
,依据上图,有唯一的
与x对应。
师:
从上面几例我们看到,函数实质上是两个变量所在集合按某一法则的一种对应。
点评:
函数及其相关概念是高中数学最抽象的数学概念,强调概念产生发展的背景,用贴近学生实际的事例创设情境,有利于学生理解抽象概念的内涵。
在函数概念的引入中举出的这三个背景实例,可让学生进一步加深对函数及其相关概念的理解。
3、观点升华
我们可把函数的概念进行改述
(让学生讨论,教师引导学生叙述准确)
设A,B是非空的数集,如果按照某种对应法则f,使得对于集合A中的任何一个数x,在集合B中都有唯一确定的数y与它对应,那么就称对应f:
A→B为从集合A到集合B的一个函数。
(在这里停顿一下,让学生明白这个定义突出了集合A,B及法则f)
(老师再接着打出投影片)
我们把这样的函数,记作
其中
,
x叫自变量,集合A叫做函数的定义域,与x的值相对应的y的值叫函数值,函数值的集合
叫做函数的值域。
显然,值域
。
4、比较分析
师:
我们分析函数的两个定义,这两个定义本质上是一致的,两个定义中的定义域、值域的意义完全相同,两个定义中的对应法则实际上也是一样的,但两个定义叙述的出发点不同,我们把初中所学定义叫传统定义,把高中新学的定义叫近代定义。
可以看出,传统定义是从运动变化的观点出发,其中对应法则是将自变量x的每一个取值与唯一确定的函数值对应起来;近代定义则是从集合、对应的观点出发,其中的对应法则将集合A中的任一数x与集合B中的唯一确定的数y对应起来;两个定义各有其特点,有些函数用传统定义解释比较勉强,
比如下面三个问题:
(老师打出投影片)
问题1:
y=1(x∈R)是函数吗?
问题2:
y=x与y=
是同一函数吗?
问题3:
但用集合与对应的观点解释问题起来就会自然、方便一些,不过由于用变量观点描述函数比较生动、直观,所以现在仍然广泛使用。
函数概念的两种定义反映了人类的漫长认识过程。
同学们可看教科书中的阅读与讨论:
函数概念的形成与发展
点评:
鄂教版教科书在本章第一单元之后、第二单元之前,安排了一篇“阅读与讨论”:
函数概念的形成与发展。
简要地介绍了函数概念的产生、形成与发展所经历的数学史,可以帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用,从而逐步形成正确的数学观。
5、加深理解
(老师再打出投影片,让学生讨论分析,教师引导学生加深理解)
先看两个非空数集A、B的元素之间的一些对应关系的例子:
参见教科书第25页如图所示的六个对应,哪个对应不是函数?
再判断下面哪个图形会是一个函数的图像()
重点:
理解函数定义应注意一些词语,如“任意”、“唯一”等。
点评:
函数概念的引入一般有两种方法,一种方法是先学习映射,再学习函数(传统的高中教材多以这种方法引入函数概念);另一种方法是通过具体实例,体会数集之间的一种特殊的对应关系,即函数。
鄂教版采用了后者,改变了函数与映射出现的顺序,对函数概念的处理方式是先讲函数,再讲映射,并且降低了对映射的要求。
这样处理能与初中已学习的函数内容有一个较为自然的衔接,也符合从特殊到一般的认识规律。
这样做的目的是为了遵从多数高中学生的认知特点,从学生已掌握的具体函数和函数的描述性定义入手,引导学生联系自己的生活经历和实际问题,从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数概念的本质。
这里讲对应还是为了理解函数概念,不是为了映射。
6、相关概念
对应法则、定义域和值域是函数的三要素
(对以下内容老师边打出投影片,边讲解,学生边练习)
(1)对应法则:
一般地在函数记号y=f(x)中,f代表对应法则,等式y=f(x)表明,对于定义域中任意x在对应法则f的作用下即可得到y,即y等于x在法则f下的对应值,而f是“对应”得以实现的方法和途径,是联系x与y的纽带,所以是函数的核心。
注意:
①f(x)仅仅是函数符号,不表示“y等于f与x乘积”,如y=sinx,f(x)=3x+1简单理解为初中已学过的y=3x+1。
这里符号还可用g(x),F(x),G(x)等表示。
②在不同函数中f具体含义是不一样的,如f(x)=3x-2中,f表示“函数值是自变量的3倍再减2”,而在f(x)=
中,f表示“函数值是自变量的倒数”。
具体对f(x)=3x-2而言,对应法则:
乘3减2,即函数值f(x)为自变量x乘3减2,是指对自变量x施加法则,即f(x)=3x-2,那么f(x+1)=3(x+1)-2,
,f([])=3[]-2
③很多情况下对应法则f可用一个解析式来表示,但有时要用几个式子才能表达,还有的只能用图表等表示。
④f(x)与f(a)有区别,f(a)表示当x=a时函数f(x)的值,是一个常量,而f(x)是自变量x的函数,在一般情况下,它是一个变量,f(a)是f(x)的一个特殊值。
例1:
已知函数f(x)=3x2-5x+2,求f(3),f(-
),f(a),f(a+1)。
解:
(略)
点评:
函数记号
是非常抽象的数学符号,不求一次弄懂;需要多次反复。
函数的三种常见表示方法,后面有专门课时讲解。
(2)定义域和值域
定义域是自变量x的取值范围,它是函数的一个不可缺少的组成部分。
函数定义域通常由问题的实际背景确定,即要考虑到自变量的实际意义。
如时间、长度应该为正等。
如果给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数定义域就是指能使这个式子有意义的实数x的集合。
例2:
求下列函数的定义域
①
②
③
④
解:
③使根式
有意义的实数x的集合是
,使分式
有意义的实数x的集合是
。
所以,这个函数的定义域是
①、②、④略
点评:
区间是数学中常用的术语和符号。
关于区间的含义、名称、符号及几何表示等内容,鄂教版教科书是作了前移处理的,把“区间”及“无穷大”放入第一章《集合》中。
这样做有两个目的,一是“区间”本身就是某类数集的专有表示,放入“集合”模块理所当然;二是让学生集中精力理解函数概念的本质,没必要为“区间”概念分散注意力
值域是全体函数值组成的集合。
例3:
若在
中,已知x∈{0,1,2,3,4},如何求值域呢?
当函数定义域及从定义域到值域的对应法则完全确定后,函数的值域也就随之确定了。
因此定义域和对应法则是“y是x的函数”的两个基本条件,缺一不可。
只有当两个函数定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一函数。
例如
与函数y=x不是同一函数;
与函数y=x是同一函数。
7、课堂练习
(老师再接着打出投影片后再讲解)
例4 某西瓜摊卖西瓜,6斤以下每斤4角,6斤以上(含6斤)每斤6角,请表示出西瓜重量x与售价y的函数关系;
解:
这个函数的解析表示式应分两种情况:
当0<x<6时,y=0.4x;当x≥6时,y=0.6x
这种函数叫分段函数,我们可以用
来表示,分段函数是一个函数,其定义域与值域如何呢?
有时间还可引导学生练习:
教科书第26页中的例2、例3
教科书第28至29页中的1、2、3、4、6
8、课堂小结
(老师打出投影片)
今天我们从复习函数传统定义入手,从集合与对应的观点给函数下了新的定义。
由此定义,我们知道函数实质是从非空数集A到非空数集B的一个特殊对应。
我们要理解函数的概念,就是要搞清其三要素,弄清它们的含义。
会判断两个函数是否是同一函数,会求一些函数的定义域。
当然,还有很多问题有待同学们继续学习与思考。
9、课后作业
教科书第29页中的1、2、3、4、5、6(可合作完成)
- 配套讲稿:
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- 关 键 词:
- 高中数学 函数 案例 设计