大整数乘法问题.docx
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大整数乘法问题.docx
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大整数乘法问题
2.4大整数乘法问题
算法设计思想:
(1)大整数的存储
我们知道,在编译系统中,整型数据类型的最大存储空间为8字节,也就是最大能存储232的数据。
即使使用双精度浮点数据类型(double),也只能存储最大1.798×10308的数据。
如果需要计算10200数量级的整数的乘法,利用的现有的数据类型就无法实现了。
所以,为了实现大整数的乘法,需要自己定义一种数据类型,以及对应的基本运算。
在该算法中,为了调试和处理方便,我们采用静态整型数组来存放大整数,即用数组的每一个元素存放大整数一位上的数字。
然后,分别定义用数组存放的大整数的加法、减法和移位运算。
这样,我们就可以用定义的大整数进行后面分治乘法的运算。
(2)分治思想
将位数是2的次幂的n位的十进制大整数X和Y各分为2段,每段的长为n/2位。
则有,X=A×10n/2+B,Y=C×10n/2+D。
这样,乘积问题变为这样的分治问题:
XY=(A×10n/2+B)(C×10n/2+D)=AC×10n+(AD+CB)×10n/2+BD①
如果按①式计算XY,我们可得时间复杂度T(n)=O(n2)(详细论证在课本上)。
显然,用①式来计算X和Y的乘积并不比乘法竖式更有效。
为了改进算法的计算复杂性,我们把XY写成另一种形式:
XY=AC×10n+[(A-B)(D-C)+AC+BD]×10n/2+BD ②
用解递归方程的套用公式法可得②式的时间复杂度T(n)=O(nlog3)=O(n1.59),该结果有效地减小了算法的时间复杂度。
因此,根据②式,我们得到了大整数相乘的分治算法。
(3)高位补0的位数处理方法
我们提出的分治思想在理论上是可行的,但是在算法具体实现中,程序的递归过程要求每次进行分治计算,即带入②式的大整数X和Y有如下要求:
1.X和Y的位数相同。
2.X和Y的位数是2的次幂。
按照这样的限制,我们只能计算n×n位(n=1,2,4,8,16...)的整数乘法。
显然,这样的算法有很大的局限性,它不能处理像132×12758这样更为普遍的问题。
因此,我们在算法里采用这样的处理方法:
当大整数需要进行分治乘法时,在两个乘数的高位补0,使它们的位数达到相同的2的次幂;分治结束后,将得到的乘积的高位多余的0去除,进行加减等非分治算法运算;以此类推。
采用这种高位补0的位数处理方法,实现了任意位大整数的乘法。
除了上述三点之外,程序对鲁棒性做了增强,对非法输入和文件错误进行了检测。
程序设计代码:
/*头文件大数乘法问题.h*/
#ifndefKNAP_H
#defineKNAP_H
#include
#include
#include
usingnamespacestd;
/*定义数制,范围2到10*/
#defineSCALE10
/*整数的最大位数*/
constintMax=1000;
/*表示整数的结构体*/
structInteger
{
boolpositive;//整数的正负
shortnum[Max];//整数的各位数字,下标从0开始
intlength;//整数的位数
};
/*两个整数的乘法类*/
classMultiply
{
public:
Multiply(char*in,char*out);//构造函数
~Multiply();//析构函数
voidOutputProduct();//输出大整数的乘积
protected:
shortCharToInt(charch);//将数字字符转化成整型
intAddDigit(Integer&X,Integer&Y);//将位数补充到相同2的次幂位
voidInitialInteger(Integer&integer,ifstream&in);//文件初始化大整数
voidOutputInteger(Integerinteger);//输出大整数integer
voidClearZero(Integer&integer);//去除大整数高位多余的0
boolPositiveXGreaterThanY(IntegerX,IntegerY);//判断是否非负X大于非负Y
boolEqualsToZero(Integerinteger);//判断是否等于0
IntegerZero();//返回大整数0
IntegerGetAbsolute(Integerinteger);//返回大整数integer的绝对值
IntegerGetNegative(Integerinteger);//返回大整数integer的负值
IntegerGetLeft(Integerinteger);//取大整数integer左一半
IntegerGetRight(Integerinteger);//取大整数integer右一半
IntegerLeftShifting(Integerinteger,intdigit);//大整数向左移digit位,低位补0
IntegerPlus(IntegerX,IntegerY);//大整数加法
IntegerSubtract(IntegerX,IntegerY);//大整数减法
IntegerSameSignPlus(IntegerX,IntegerY);//同号大整数加法
IntegerSameSignSubtract(IntegerX,IntegerY);//同号大整数减法
IntegerOneDigitMultiply(IntegerX,IntegerY);//非负1位大整数乘法
IntegerFreeMultiply(IntegerX,IntegerY);//任意大整数乘法
IntegerNDigitsMultiply(IntegerX,IntegerY,intn);//2的n次幂乘法,高位补0
private:
Integerinteger_X,integer_Y;//数组存储的大整数
ofstreamfout;//输出结果文件
};
#endif
/*函数实现文件大数乘法问题.cpp*/
#include"大数乘法问题.h"
Multiply:
:
Multiply(char*in,char*out):
fout(out)
{
try//非法输入检测
{
ifstreamfin(in);
if(!
fin)
throw"输入文件无法打开!
\n";
InitialInteger(integer_X,fin);//文件初始化大整数integer_X
fin.ignore(100,'\n');//冲掉回车
InitialInteger(integer_Y,fin);//文件初始化大整数integer_Y
fin.close();//关闭文件
if(!
fout)
throw"输出文件无法打开!
\n";
}
catch(char*string)
{
cout< system("pause"); exit(0); } } Multiply: : ~Multiply() { if(fout) fout.close(); } voidMultiply: : OutputProduct() { Integertemp=FreeMultiply(integer_X,integer_Y); ClearZero(temp); OutputInteger(temp); } shortMultiply: : CharToInt(charch) { shorttemp; switch(ch) { case'0': temp=0;break; case'1': temp=1;break; case'2': temp=2;break; case'3': temp=3;break; case'4': temp=4;break; case'5': temp=5;break; case'6': temp=6;break; case'7': temp=7;break; case'8': temp=8;break; case'9': temp=9;break; default: temp=-1;break; } if(temp==-1) throw"Error: 输入存在非数字字符! \n"; if(temp>=SCALE) throw"Error: 输入不符合数制! \n"; returntemp; } intMultiply: : AddDigit(Integer&X,Integer&Y) { intdigit=0; if(X.length>Y.length) digit=X.length; else digit=Y.length;//取二者最大位数 inti; for(i=0;pow(2.0,i) digit=(int)pow(2.0,i);//取满足二者的最小2的次幂 for(i=digit-1;i>=X.length;i--) X.num[i]=0; for(i=digit-1;i>=Y.length;i--) Y.num[i]=0;//高位补0,使位数达到2的次幂 X.length=Y.length=digit;//改变二者的位数 returndigit;//返回2的次幂 } voidMultiply: : InitialInteger(Integer&integer,ifstream&in) { if(in.peek()=='-') { in.get(); integer.positive=false; } else integer.positive=true; inti; chartemp[Max]; for(i=0;in.peek()! ='\n'&&! in.eof();i++)//读到回车处或文件结束 in>>temp[i]; integer.length=i; for(i=0;i integer.num[i]=CharToInt(temp[integer.length-i-1]);//将每一位字符转化为整型 } voidMultiply: : OutputInteger(Integerinteger) { if(integer.length==0)//结果为0 fout< else { if(integer.positive==false)//结果为负数 fout<<'-'; for(inti=integer.length-1;i>-1;i--) fout< } } voidMultiply: : ClearZero(Integer&integer) { for(inti=integer.length-1;integer.num[i]==0&&i>=0;i--) integer.length--; } boolMultiply: : PositiveXGreaterThanY(IntegerX,IntegerY) { if(X.length>Y.length)//X位数大于Y returntrue; elseif(X.length returnfalse; else for(inti=X.length-1;i>=0;i--)//从高位逐位比较 if(X.num[i]>Y.num[i])//某一位X大于Y returntrue; elseif(X.num[i] returnfalse; returntrue;//X=Y返回true } boolMultiply: : EqualsToZero(Integerinteger) { for(inti=integer.length-1;i>=0;i--) if(integer.num[i]! =0) returnfalse; returntrue; } IntegerMultiply: : Zero() { Integertemp; temp.length=0;//0的位数定义为0 temp.positive=true; temp.num[0]=0;//0的第一位默认为0 returntemp; } IntegerMultiply: : GetAbsolute(Integerinteger) { if(integer.positive==false) integer.positive=true; returninteger; } IntegerMultiply: : GetNegative(Integerinteger) { if(integer.positive==true) integer.positive=false; else integer.positive=true; returninteger; } IntegerMultiply: : GetLeft(Integerinteger) { Integertemp; temp.length=integer.length/2;//位数为一半 temp.positive=true;//默认是正数 for(inti=0;i temp.num[i]=integer.num[i+temp.length]; ClearZero(temp);//去除高位多余的0 returntemp; } IntegerMultiply: : GetRight(Integerinteger) { Integertemp; temp.length=integer.length/2;//位数为一半 temp.positive=true;//默认是正数 for(inti=0;i temp.num[i]=integer.num[i]; ClearZero(temp);//去除高位多余的0 returntemp; } IntegerMultiply: : LeftShifting(Integerinteger,intdigit) { if(! EqualsToZero(integer)) { for(inti=integer.length+digit-1;i>=digit-1;i--) integer.num[i]=integer.num[i-digit];//原有位向高位移digit位 for(inti=digit-1;i>=0;i--) integer.num[i]=0;//低位补0 integer.length=integer.length+digit;//位数加digit } returninteger; } IntegerMultiply: : Plus(IntegerX,IntegerY) { if(X.positive==Y.positive)//同号 returnSameSignPlus(X,Y); else//异号 if(X.positive)//X正Y负 { Y=GetNegative(Y);//Y取负得正 returnSameSignSubtract(X,Y); } else//Y正X负 { X=GetNegative(X);//X取负得正 returnSameSignSubtract(Y,X); } } IntegerMultiply: : Subtract(IntegerX,IntegerY) { if(X.positive==Y.positive)//同号 returnSameSignSubtract(X,Y); else { Y=GetNegative(Y);//Y取负得正 returnSameSignPlus(X,Y); } } IntegerMultiply: : SameSignPlus(IntegerX,IntegerY) { inti; intcarry_flag=0;//进位 for(i=0;i { if(X.num[i]+Y.num[i]+carry_flag>SCALE-1)//当为加法需要进位 { X.num[i]=(X.num[i]+Y.num[i]+carry_flag)%SCALE; carry_flag=1; } else { X.num[i]=X.num[i]+Y.num[i]+carry_flag; carry_flag=0; } } if(i { while(i { if(X.num[i]+carry_flag>SCALE-1)//需要进位 { X.num[i++]=(X.num[i]+carry_flag)%SCALE; carry_flag=1; } else { X.num[i++]=X.num[i]+carry_flag; carry_flag=0; } } } elseif(i { while(i { if(Y.num[i]+carry_flag>SCALE-1)//需要进位 { X.num[i++]=(Y.num[i]+carry_flag)%SCALE; carry_flag=1; } else { X.num[i++]=Y.num[i]+carry_flag; carry_flag=0; } } } if(carry_flag==1)//最高位存在进位 { X.num[i]=1; X.length=i+1; } else { X.length=i; } returnX; } IntegerMultiply: : SameSignSubtract(IntegerX,IntegerY) { if(PositiveXGreaterThanY(X,Y))//如果绝对值X>=Y { inti; intcarry_flag=0;//借位 boolfirst_0=true;//高位第一次出现0 inttop_digit_0=0;//记录结果最高位+1的下标 inttop_digit=0;//记录结果最高位下标 for(i=0;i { if(X.num[i]-carry_flag { X.num[i]=(X.num[i]-carry_flag+SCALE-Y.num[i]); carry_flag=1; } else { X.num[i]=X.num[i]-carry_flag-Y.num[i]; carry_flag=0; } if(X.num[i]==0)//高位出现0 { if(first_0)//且是第一次出现0 { first_0=false;//再出现0则不是第一次出现0 top_digit_0=i;//记录结果最高位+1的下标 } } else { first_0=true; top_digit=i; } } if(carry_flag==1)//最高位存在借位 { X.num[i]=X.num[i]-carry_flag; if(X.num[i]==0&&firs
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- 整数 乘法 问题
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