全等三角形证明中考题精选有答案.docx

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全等三角形证明中考题精选有答案

八年级上学期全等三角形证明题

一．解答题（共10小题）

1．（2013•泉州）如图，已知AD是△ABC的中线，分别过点B、C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：

BE=CF．

2．（2013•河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．

（1）操作发现

如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：

①线段DE与AC的位置关系是　_________　；

②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是　_________　．

（2）猜想论证

当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想

（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．

（3）拓展探究

已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．

　3．（2013•大庆）如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．

（1）求证：

CF=DG；

（2）求出∠FHG的度数．

4．（2012•阜新）

（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．

①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？

直接写出你猜想的结论；

②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？

请说明理由．

（2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在

（1）中的位置关系仍然成立？

不必说明理由．

甲：

AB：

AC=AD：

AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°；

乙：

AB：

AC=AD：

AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°；

丙：

AB：

AC=AD：

AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°．

5．（2009•仙桃）如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图①，然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM=

BD，EN=

CE，得到图③，请解答下列问题：

（1）若AB=AC，请探究下列数量关系：

①在图②中，BD与CE的数量关系是　_________　；

②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；

（2）若AB=k•AC（k＞1），按上述操作方法，得到图④，请继续探究：

AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．

6．（2008•台州）CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．

（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，

则BE　_________　CF；EF　_________　|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；

②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件　_________　，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．

（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．

7．（2007•绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：

如图1，己知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B与∠D互补，求证：

AB+AD=

AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．

（1）特殊情况入手添加条件：

“∠B=∠D”，如图2，可证AB+AD=

AC；（请你完成此证明）

（2）解决原来问题受到

（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：

如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）

8．（2007•常德）如图，已知AB=AC，

（1）若CE=BD，求证：

GE=GD；

（2）若CE=m•BD（m为正数），试猜想GE与GD有何关系．（只写结论，不证明）

9．（2006•泰安）

（1）已知：

如图①，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°，求证：

①AC=BD；②∠APB=60度；

（2）如图②，在△AOB和△COD中，若OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为　_________　；∠APB的大小为　_________　；

（3）如图③，在△AOB和△COD中，若OA=k•OB，OC=k•OD（k＞1），∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为　_________　；∠APB的大小为　

10．（2005•南宁）（A类）如图，DE⊥AB、DF⊥AC．垂足分别为E、F．请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况）．

①AB=AC；②BD=CD；③BE=CF

已知：

DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=AC，BD=CD

求证：

BE=CF

已知：

DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=AC，BE=CF

求证：

BD=CD

已知：

DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F，BD=CD，BE=CF

求证：

AB=AC

（B类）如图，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况）．

①AB=AC；②DE=DF；③BE=CF

已知：

EG∥AF，AB=AC，DE=DF

求证：

BE=CF

新人教版八年级上学期全等三角形证明题

参考答案与试题解析

一．解答题（共10小题）

1．（2013•泉州）如图，已知AD是△ABC的中线，分别过点B、C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：

BE=CF．

考点：

全等三角形的判定与性质．1125860

专题：

证明题．

分析：

根据中线的定义可得BD=CD，然后利用“角角边”证明△BDE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．

解答：

证明：

∵AD是△ABC的中线，

∴BD=CD，

∵BE⊥AD，CF⊥AD，

∴∠BED=∠CFD=90°，

在△BDE和△CDF中，

，

∴△BDE≌△CDF（AAS），

∴BE=CF．

点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质，利用三角形全等证明边相等是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．

2．（2013•河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．

（1）操作发现

如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：

①线段DE与AC的位置关系是　DE∥AC　；

②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是　S1=S2　．

（2）猜想论证

当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想

（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．

（3）拓展探究

已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．

考点：

全等三角形的判定与性质．1125860

专题：

几何综合题；压轴题．

分析：

（1）①根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答；

②根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=

AB，然后求出AC=BE，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；

（2）根据旋转的性质可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；

（3）过点D作DF1∥BE，求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2=60°，从而得到△DF1F2是等边三角形，然后求出DF1=DF2，再求出∠CDF1=∠CDF2，利用“边角边”证明△CDF1和△CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰△BDE中求出BE的长，即可得解．

解答：

解：

（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，

∴AC=CD，

∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，

∴△ACD是等边三角形，

∴∠ACD=60°，

又∵∠CDE=∠BAC=60°，

∴∠ACD=∠CDE，

∴DE∥AC；

②∵∠B=30°，∠C=90°，

∴CD=AC=

AB，

∴BD=AD=AC，

根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，

∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），

即S1=S2；

故答案为：

DE∥AC；S1=S2；

（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，

∴BC=CE，AC=CD，

∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，

∴∠ACN=∠DCM，

∵在△ACN和△DCM中，

，

∴△ACN≌△DCM（AAS），

∴AN=DM，

∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），

即S1=S2；

（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，

所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，

此时S△DCF=S△BDE，

过点D作DF2⊥BD，

∵∠ABC=60°，

∴∠F1DF2=∠ABC=60°，

∴△DF1F2是等边三角形，

∴DF1=DF2，

∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，

∴∠DBC=∠DCB=

×60°=30°，

∴∠CDF1=180°﹣30°=150°，

∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°，

∴∠CDF1=∠CDF2，

∵在△CDF1和△CDF2中，

，

∴△CDF1≌△CDF2（SAS），

∴点F2也是所求的点，

∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，

∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=

×60°=30°，

又∵BD=4，

∴BE=

×4÷cos30°=2÷

=

，

∴BF1=

，BF2=BF1+F1F2=

+

=

，

故BF的长为

或

．

点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键，（3）要注意符合条件的点F有两个．

3．（2013•大庆）如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．

（1）求证：

CF=DG；

（2）求出∠FHG的度数．

考点：

全等三角形的判定与性质．1125860

分析：

（1）在△CBF和△DBG中，利用SAS即可证得两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可证得；

（2）根据全等三角形的对应角相等，即可证得∠DHF=∠CBF=60°，从而求解．

解答：

（1）证明：

∵在△CBF和△DBG中，

，

∴△CBF≌△DBG（SAS），

∴CF=DG；

（2）解：

∵△CBF≌△DBG，

∴∠BCF=∠BDG，

又∵∠CFB=∠DFH，

∴∠DHF=∠CBF=60°，

∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°．

点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键．

4．（2012•阜新）

（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．

①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？

直接写出你猜想的结论；

②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？

请说明理由．

（2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在

（1）中的位置关系仍然成立？

不必说明理由．

甲：

AB：

AC=AD：

AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°；

乙：

AB：

AC=AD：

AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°；

丙：

AB：

AC=AD：

AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°．

考点：

全等三角形的判定与性质．1125860

专题：

几何综合题；压轴题．

分析：

（1）①BD=CE，BD⊥CE．根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA；然后在△ABD和△CDF中，由三角形内角和定理可以求得∠CFD=90°，即BD⊥CF；

②BD=CE，BD⊥CE．根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA；作辅助线（延长BD交AC于F，交CE于H）BH构建对顶角∠ABF=∠HCF，再根据三角形内角和定理证得∠BHC=90°；

（2）根据结论①、②的证明过程知，∠BAC=∠DFC（或∠FHC=90°）时，该结论成立了，所以本条件中的∠BAC=∠DAE≠90°不合适．

解答：

解：

（1）①结论：

BD=CE，BD⊥CE；

②结论：

BD=CE，BD⊥CE…1分

理由如下：

∵∠BAC=∠DAE=90°

∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE…1分

在△ABD与△ACE中，

∵

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴BD=CE…1分

延长BD交AC于F，交CE于H．

在△ABF与△HCF中，

∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC

∴∠CHF=∠BAF=90°

∴BD⊥CE…3分

（2）结论：

乙．AB：

AC=AD：

AE，∠BAC=∠DAE=90°…2分

点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质．SSS，SAS，ASA，AAS，HL均可作为判定三角形全等的定理．注意：

在全等的判定中，没有AAA（角角角）和SSA（边边角）（特例：

直角三角形为HL，因为勾股定理，只要确定了斜边和一条直角边，另一直角边也确定，属于SSS），因为这两种情况都不能唯一确定三角形的形状；另外三条中线（或高、角平分线）分别对应相等的两个三角形也全等．

5．（2009•仙桃）如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图①，然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM=

BD，EN=

CE，得到图③，请解答下列问题：

（1）若AB=AC，请探究下列数量关系：

①在图②中，BD与CE的数量关系是　　；

②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；

（2）若AB=k•AC（k＞1），按上述操作方法，得到图④，请继续探究：

AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．

考点：

全等三角形的判定．1125860

专题：

压轴题；探究型．

分析：

（1）①根据题意和旋转的性质可知△AEC≌△ADB，所以BD=CE；

②根据题意可知∠CAE=BAD，AB=AC，AD=AE，所以得到△BAD≌△CAE，在△ABM和△ACN中，DM=

BD，EN=

CE，可证△ABM≌△ACN，所以AM=AN，即∠MAN=∠BAC．

（2）直接类比

（1）中结果可知AM=k•AN，∠MAN=∠BAC．

解答：

解：

（1）①BD=CE；

②AM=AN，∠MAN=∠BAC，

∵∠DAE=∠BAC，

∴∠CAE=∠BAD，

在△BAD和△CAE中

∵

∴△CAE≌△BAD（SAS），

∴∠ACE=∠ABD，

∵DM=

BD，EN=

CE，

∴BM=CN，

在△ABM和△ACN中，

∵

∴△ABM≌△ACN（SAS），

∴AM=AN，

∴∠BAM=∠CAN，即∠MAN=∠BAC；

（2）AM=k•AN，

∠MAN=∠BAC．

点评：

本题考查三角形全等的判定方法和性质．判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．本题还要会根据所求的结论运用类比的方法求得同类题目．

6．（2008•台州）CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．

（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，

则BE　=　CF；EF　=　|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；

②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件　∠α+∠BCA=180°　，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．

（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．

考点：

直角三角形全等的判定；三角形内角和定理．1125860

专题：

几何综合题；压轴题．

分析：

由题意推出∠CBE=∠ACF，再由AAS定理证△BCE≌△CAF，继而得答案．

解答：

解：

（1）①∵∠BCA=90°，∠α=90°，

∴∠BCE+∠CBE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，

∴∠CBE=∠ACF，

∵CA=CB，∠BEC=∠CFA；

∴△BCE≌△CAF，

∴BE=CF；EF=|BE﹣AF|．

②所填的条件是：

∠α+∠BCA=180°．

证明：

在△BCE中，∠CBE+∠BCE=180°﹣∠BEC=180°﹣∠α．

∵∠BCA=180°﹣∠α，

∴∠CBE+∠BCE=∠BCA．

又∵∠ACF+∠BCE=∠BCA，

∴∠CBE=∠ACF，

又∵BC=CA，∠BEC=∠CFA，

∴△BCE≌△CAF（AAS）

∴BE=CF，CE=AF，

又∵EF=CF﹣CE，

∴EF=|BE﹣AF|．

（2）EF=BE+AF．

点评：

本题综合考查全等三角形、等边三角形和四边形的有关知识．注意对三角形全等，相似的综合应用．

7．（2007•绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：

如图1，己知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B与∠D互补，求证：

AB+AD=

AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．

（1）特殊情况入手添加条件：

“∠B=∠D”，如图2，可证AB+AD=

AC；（请你完成此证明）

（2）解决原来问题受到

（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：

如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）

考点：

直角三角形全等的判定．1125860

专题：

证明题；压轴题；开放型．

分析：

（1）如果：

“∠B=∠D”，根据∠B与∠D互补，那么∠B=∠D=90°，又因为∠DAC=∠BAC=30°，因此我们可在直角三角形ADC和ABC中得出AD=AB=

AC，那么AD+AB=

AC．

（2）按

（1）的思路，作好辅助线后，我们只要证明三角形CFD和BCD全等即可得到

（1）的条件．根据AAS可证两三角形全等，DF=BE．然后按照

（1）的解法进行计算即可．

解答：

证明：

（1）∵∠B与∠D互补，∠B=∠D，

∴∠B=∠D=90°，

∠CAD=∠CAB=

∠DAB=30°，

∵在△ADC中，cos30°=

，

在△ABC中，cos30°=

，

∴AB=

AC，AD=

．

∴AB+AD=

．

（2）由

（1）知，AE+AF=

AC，

∵AC为角平分线，CF⊥CD，CE⊥AB，

∴CE=CF．

而∠ABC与∠D互补，

∠ABC与∠CBE也互补，

∴∠D=∠CBE．

∵在Rt△CDF与Rt△CBE中，

∴Rt△CDF≌Rt△CBE．

∴DF=BE．

∴AB+AD=AB+（AF+FD）=（AB+BE）+AF=AE+AF=

AC．

点评：

本题考查了直角三角形全等的判定及性质；通过辅助线来构建全等三角形是解题的常用方法，也是解决本题的关键．

8．（2007•常德）如图，已知AB=AC，

（1）若CE=BD，求证：

GE=GD；

（2）若CE=m•BD（m为正数），试猜想GE与GD有何关系．（只写结论，不证明）

考点：

全等三角形的判定与性质．1125860

专题：

证明题；压轴题；探究型．

分析：

（1）要证GE=GD，需证△GDF≌△GEC，由已知条件可根据AAS判定．

（2）若CE=m•BD（m为正数），那么GE=m•GD．

解答：

证明：

（1）过D作DF∥CE，交BC于F，

则∠E=∠GDF．

∵AB=AC，

∴∠ACB=∠ABC

∵DF∥CE，

∴∠DFB=∠ACB，

∴∠DFB=∠ACB=∠ABC．

∴DF=DB．

∵CE=BD，

∴DF=CE，

在△GDF和△GEC中，

，

∴△GDF≌△GEC（AAS）．

∴GE=GD．

（2）GE=m•GD．

点评：

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL．本题的辅助线是解决题目的关键．

9．（2006•泰安）

（1）已知：

如图①，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°，求证：

①AC=BD；②∠APB=60度；

（2）如图②，在△AOB和△COD中，若OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为　AC=BD　；∠APB的大小为　α　；

（3）如图③，在△AOB和△COD中，若OA=k•OB，OC=k•OD（k＞1），∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为　AC=k•BD　；∠APB的大小为　180°﹣α　．

考点：

全等三角形的判定；三角形内角和定理．1125860

专题：

探究型．

分析：

（1）分析结论AC=BD可知，需要证明△AOC≌△BOD，围绕这个目标找全等的条件；