初中几何线段角精讲.docx
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初中几何线段角精讲
初中几何第一册
第一章线段、角
一、教法建议
[抛砖引玉]学生初次接触到几何这一独立的的课程.不少学习过几何的人感到几何难学,其实几何不难学.从内容上看,几何学习不单纯停留在数量关系方面,而要兼顾数量和图形两个方面,重点研究图形的性质;就思维方法而言,要求较高的逻辑思维能力,所以一开始就要指导学生正确的学习方法,从生活实际抽象出几何图形,掌握图形性质,建立几何语言,培养逻辑思维能力.
[指点迷津]直线、射线、线段是平面几何最基本的图形,要严格区分这三个概念.画图,表示的应该准确无误,学习时要先理解后画图,并熟悉画图工具的使用.
角和角的有关概念,是平面几何中最重要的基本概念.课本上用两种方法讲述了角的概念.首先要搞清角的定义,它指出了角的两个基本属性:
(1)两条射线;
(2)两条射线必须有公共点.由此可知,角的大小与边的长短无关,且为正确表示角提供了基础.课本上还利用运动的观点,根据角的形成讲述了另一个定义,为平角和周角的形成提供了条件.
关于定义、公理的教学.平面几何是研究平面图形性质的学科.图形性质是用定义、公理和定理的形式描述的.定义是从原始概念(不定义的概念)开始的,定理是以公理为基础推衔的.定理是需要推理论证的,但由于知识的限制,不能过早的出现,因而先出现定义和公理,以便学生即早的了解学习几何的基本内容.学习开始就要注意把概念的文字语言、几何图形和字母符号表达结合起来,从这三方面来理解概念训练学生
(1)根据几何语言画出相应的图形来,
(2)依据图形的字母写出几何符号表示的数量关系;(3)能依据图形和几何符号表达式的关系,翻译成文字语言.
二、学海导航
[入门导引]学会几何语言.几何的文字语言有它的独立风格,如“点×在直线××上”,“延长××至×,使……”“反向延长××”“顺次截取”“有且只有”等等.这些语言可分两类,一类是从学习几何图形的定义和性质中来;一类是从画几何图形的动作中来,因而对几何图形性质的描述词句,要一一认真理解其定义,并学会应用;对动作语言,要在画图中学习,边想、边画、边叙述.
学会画图和认图.画图要力求正确、整洁、美观.首先要学会使用画图工具,如直尺、圆规和量角器.画直线要直,画直角要成90°,这是学好几何的基本功,作业要认真仔细,不能涂涂抹抹.学会看图也很重要.辨认图形要根据图形的定义,不能想当然.如下图.
(1)哪条线是直线?
(2)哪个角是钝角?
l1、l2、l3都是是直线,l1是标准位置下的直线,相对于标准位置的直线,可称作“变式”图形.
l1、l2、l3都是钝角,l1是标准位置下的图形,l2、l3是相对于标准位置下的“变式”图形.
经常总结对比.总结、比较是学好知识的重要方法,学习几何也不例外.开始学习几何概念比较多,且有相似或相近的概念,这样用比较法区分它们的异同,有助于学好几何知识.
如:
直线、射线、线段;周角、平角、钝角、直角、锐角;互为余角、互为补角;
两点间的距离,点到直线的距离等等.
掌握几何图形的文字叙述语言、图形和符号表示的三位一体.
如:
角的定义叙述为,有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.
图形
表示:
∠AOB或∠1
[思维基础]
I直线、射线、线段
概念
直线
射线
线段
图形
画法及表示法
过A、B两点画直线AB或直线L,
直线AB或直线L
画射线OA
射线OA
射线L
连结AB
线段AB或线段a
端点
无
一个
两个
延长线
无
可向一方延长
可向两方延长
基本性质
两点确定一条直线,两条直线相交只有一个交点
两点之间线段最短
II角
[精典解题]
思维训练:
选择填空
图中,圆周上有5个点,过每两点画一条直线,共可以画______条直线,这些直线在圆中有_____个交点.
揭示思路:
过两点可以画几条直线?
两条直线相交有几个交点?
根据公理“过两点有且只有一条直线”,又根据直线的性质,每两条直线相交,只有一个交点,所以图中可以画.
AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE;CD、CE;DE共10条.
交点有A、B、C、D、E;F、G、H、M、N共10个.
思维训线练3选择填空
一个锐角的余角,是这个锐角的补角的
,这个锐角是()
(A)22.5°(B)67.5°(C)36°(D)72°
揭示思路:
题目中说了几种角?
题目中叙述了几个角的关系?
什么是锐角?
什么是互余的角?
什么是互补的角?
题目中说了三个角,一个锐角和它的余角,这个余角的补角.为了说明它们的相互关系,可设这个锐角为α,它的余角为β,这个余角的补角为γ.则有下述关系:
故应选择(B)
思维训练4选择填空
画一个钝角∠AOB,然后以O为顶点,以OA为一边,在角的内部画一条射线OC,使∠AOC=90°.
根据上述题目要求,画出了下列四个图形.请问哪个图形符合题目的要求.正确答案是()
揭示思路:
什么是角?
什么是钝角?
什么是角的顶点?
什么是角的边?
90°的角是什么角?
明确上述概念后,逐一用题目要求的条件去衡量.
(A)射线OC作到了∠AOB的外部了.
(B)90°角作成了以OB为一边了,则∠AOC≠90°.
(C)射线OC作到∠AOB的外部了,又90°角以OB为一边了.
(D)符合条件.
应选择(D)
[错例研究]
思维训练1下列说法错在什么地方.
(1)延长射线OP;
(2)画一条长5cm的直线;
(3)一条直线上从左至右依次有A、B、C三个点,则射线AC比射线BC长;
(4)直线可看成平角;
(5)补角是余角的2倍.
揭示思路:
直线、射线、线段各有什么特征?
什么是平角?
什么是互余的角?
什么是互补的角?
上述5个说法都是错误的.
根据直线、射线、线段的特征和属性,可以规纳为:
直线没有端点,向两方无限延伸;射线有一个端点,向一方无限延伸,它们的长度都不能度量,不能比较长短,直线不能延长.所以
(1)
(2)(3)都不正确.只有线段可以延长,可以度量,可以比较长短,射线只能向一方延长.
角与直线、射线的意义不同.一条直线不是一个平角,平角是有公共端的两条射线组成的,两条射线恰好在一条直线上,直线不是两条射线,它也没有端点.
单独说一个角是余角,是补角是没有意义的.互余的角和互补的角说的是两个角的关系.如果两个角互为余角时,一个角是另一个角的余角.两个角互为补角时,一个角是另一个角的补角.所以说“补角是余角的两倍”是错误的.
思维训练2下面画图是错误的,正确的应该怎么画.
已知线段a、b、c(a>b)画一条线段等于a-b+c.
揭示思路:
画一条线段等于已知线段a,怎样画?
画一条线段等于两条已知线段a,b的和,怎么画?
画一条第线段等于两条已知线段a、b(a>b)的差,怎样画?
画一条线段等于已知线段a.
画一条射线AC,在射线AC上用圆规截取AB=a.
AB就是所要求画的线段.
已知线段a
画一条线段等于两条已知线段a、b的和.
画一条直线,在直线上画一条线段AB=a,再在AB的延长线上画线段BC=b,线段AC=a+b.
画一条线段等于两条已知线段a、b(a>b)的差.
在直线上画线段AB=a,再在线段AB上画线段AC或BC等b.BC或AC就是所要求的线段.
BC=a-b
AC=c-b
∴本例a-b+c正确的画图是a+c-b
即CD=a+c-b=a-b+c.为所要求的线段.
减去的线段要从整体线段的一端去减,不能从中间去减.
[创新园地]将两块直角三角板叠在一起,使直角的顶点重合于O(如图)
(1)∠AOB+∠DOC是多少度?
能确定吗?
(2)∠AOD与∠COB是什么关系?
(3)∠AOB与∠DOC是什么关系?
三、智能显示
[心中有数]本章概念多,它又是以后学习的基础,要注意培养概括、阅读和表达能力,需要注意检查的概念有:
有关直线的公理和性质,有关线段的公理,角和角的分类,线段中点和角平分线等.
[动手动脑]
1.下列关系式与图形所表示的条件,不相符的是().
(A)AB+CB=AD-BC
(B)AC+CD=AB-BD
(D)AB-CD=AC+BD
(D)AD-AC=CB-DB
2.平面内有两两相交的三条直线,如果说最多有m个交点,最少有n个交点.那么m-n的值是().
(A)1(B)2(C)3(D)4
3.从点O发出的5条射线,可以组成的角最多有().
(A)4个(B)5个(C)7个(D)10个
4.C是线段AB的中点,D是线段BC的中点,下列式子不正确的是().
(A)CD=
CB
(B)AB=2AC
(C)BD=
AB
(D)CD=
AB-BD
5.已知线段a、b、c(a>b),画一条线段等于:
(1)2a-b
(2)2(a-b)
6.已知线段AB=18cm,M是AB中点,C是AB上一点,且AC=5BC,求MC的长.
7.若∠A与∠B互为补角,且∠A:
∠B=1:
2,求∠A-
∠B的度数.
8.∠AOC=30°,∠BOC=120°,OD平分∠AOC,
OE平分∠BOC,求∠EOD的度数.
参考答案:
1.A2.B3.D4.D5.略
6.6cm7.20°8.75°
四、同步题库
一、填空题
1.长度,叫做两点间距离.
2.和都是直线的一部分.
3.已知AB=a厘米,CD=b厘米,若a=b,则ABCD,若a>b,则ABCD,若CD>AB,ab.
4.已知线段AB=8,延长AB到C,使AC=3AB,M、N为AB、BC的中点,则NM=.
5.角可以看成一条绕着一个端点从一个位置另一个位置所成的图形.
6.两角的这两个角叫互为补角,的补角相等.
7.如图1-10,用三种方法分别表示角①,②,③.
图1-10图1-11
8.比较两个角的大小可能有、、.
9.如图1-11,∠AOC和∠BOD都是直角,则角=角.
10.38.32°=度分秒.
11.若α=17°30′,则它的余角是,补角是.
12.如图1-12,∠BOC=-=-=--.
图1-12图1-13
13.如图1-13中有个角,把它们表示出来.
14.下列各角中57°、35°12′、125°、90°、137°29′、35°6′12″、5°21′35、120°、175°42′是锐角个,钝角的有个.
15.若∠1和∠2互补,2∠1-∠2=30°,则∠1=,∠2=.
二、选择题
16.如图1-14中共有线段条.
(A)3(B)4(C)5(D)6
图1-14图1-15
17.下列说法正确的是.
(A)由两条射线组成的叫角
(B)射线就是周角,直线就是平角
(C)如图1-5中∠AOB可以用∠O表示
(D)∠AOB和∠BOA是同一个角
18.下列说法正确的是.
(A)如果∠α=180°-∠β,则∠α是补角
(B)如果∠α+∠β=90°,则∠α是余角
(C)40°的角是50°的角的余角
(D)余角是补角的一半
19.若一个角的余角等于它的补角的
,则这个角的度数为.
(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°
20.下面说法错误的是.
(A)B是线段AC的中点,则BC=
AC
(B)直线上一点和它一旁的部分叫射线
(C)一条射线把一个角分成两个角,这条射线叫这个角的平分线
(D)同角的余角相等
21.如果一个角等于它的余角的3倍,那么这个角是它补角的.
(A)
(B)
(C)
(D)
22.一个角比它的补角的一半少30°,那么这个角等于.
(A)30°(B)45°(C)40°(D)90°
23.互为补角的两个角.
(A)只和位置有关(B)只和数量有关
(C)和位置、数量都有关(D)和位置、数量都无关
24.如图1-16,∠AOB=∠COD=∠BOE,那么相等的角有对.
(A)2(B)3(C)4(D)5
25.如果∠1和∠2是邻补角,且∠1>∠2,那么∠2的余角是.
(A)
(∠1+∠2)(B)
∠1
(C)
(∠1-∠2)(D)∠1-∠2
图1-16
26.在同一平面内有4个不重合的点,经过每两点作一直线,最多可作直线的条数是.
(A)4(B)5(C)6(D)7
27.如图1-17,把一个平角分成若干个角,其中锐角有个.
(A)5(B)5(C)7(D)8
图1-17
28.如果A、B、C三点在同一直线上,A到B的距离是8厘米,B到C的距离是3厘米,那么A、C两点的距离是.
(A)11厘米(B)5厘米
(C)5或11厘米(D)无法确定
29.从2时整到4时30分,时针转过的角度为.
(A)25°(B)65°(C)75°(D)135°
30.点M与点N的距离为20厘米,有一点Q,如果QM+QN=20厘米,那么下列结论正确的是.
(A)点Q必在线段MN的延长线上
(B)点Q必在线段NM的延长线上
(C)点Q必在线段MN外
(D)点Q必在线段MN上
31.已知线段AB,在AB的延长线上取一点C,使BC=3AB,在BA的延长线上取一点D,使DA=2AB,求
(1)线段AC等于线段AB的几倍?
(2)线段AB等于线段DB的几分之几?
(3)线段DB等于线段DC的几分之几?
32.计算180°-110°37′35″
33.计算171°43°÷5
34.一个角的补角与它的余角的2倍的差是平角的
求这个角.
35.一个锐角和它的邻补角以及它的余角的和是直角的
求这个锐角?
36.如图1-18,A、O、E三点在一条直线上,∠AOC=∠BOD=105°,∠BOC=50°,求∠DOE的度数.
图1-18
37.线段AB=54cm,C是AB的中点,D是AC上的一点,且CD=2AD,E是BC的中点,求线段DE的长.
38.如图1-19,AC=BD,E为CD的中点,求证:
E为AB的中点.
39.如图1-20,∠AOD=∠BOE,OC是∠DOE的平分线,求证:
OC是∠AOB的平分线.
图1-19图1-20
40.B、C两点把线段AD分成2:
3:
4三部分,M是线段AD的中点,CD=12厘米,求
(1)MC的长;
(2)AB:
BM的值.
参考答案
同步题库
一、填空题
1.连结两点的线段2.射线、线段3.=,>,<4.125.射线,旋转到6.和为平角,同角或等角7.∠α,∠AOB,∠O8.大于、小于或等于9.AOB、DOC10.38°19′12″11.72°30′、162°30′12.∠AOC,∠AOB,∠BOD,∠COD,∠AOD,∠AOB,∠COD13.8,∠D,∠A,∠B,∠C,∠DAC,∠BAC,∠DCA,∠ACB14.4,415.70°,110°
二、选择题
16.D17.D18.C19.B20.C21.C22.C23.B24.D25.C26.C27.B28.C29.C30.D
三、解答题
31.解:
依题意得:
(1)∵BC=3AB,AC=AB+BC
∴AC=4AB
(2)∵DA=2AB
∴DB=DA+AB
∴DB=2AB+AB
=3AB
因此,AB=
DB
(3)∵DB=DA+AB=3AB
又∵DC=DA+AB+BC
=2AB+AB+3AB
=6AB
∴DC=2DB
∴DB=
DC
32.解:
180°-110°37′35″=179°59′60″-110°37′35″
=69°22′25″
33.解:
171°43′÷5=34°20′36″
34.解:
依题意设这个角为x,则
(180°-x)-2(90°-x)=
·180°
180°-x-180°+2x=60°
x=60°
因此,这个角为60°.
35.解:
设这个锐角为x,依题意得
x+(180°-x)+(90°-x)=
·900
x+180°-x+90°-x=210°
x=60°
因此,这个锐角为60°.
36.证明:
∵A、O、E三点在一条直线上.
又∠AOC=105°=∠BOD
∴∠AOC+∠EOC=180°
∴∠EOC=180°-105°=75°
∵∠EOC=∠COD+∠DOE
又∠BOD=105°,∠BOC=50°
∠DOC=∠BOD-∠BOC
∠DOC=105°-50°=55°
∴∠DOE=∠EOC-∠DOC
=75°-55°
=20°
37.解:
依题意知
∵C是AB中点
∴
AC=27=BC
∵CD=2AD
∴AC=AD+DC
AC=3AD
∴AD=9,DC=18
∵E为BC中点
∴CE=
BC=13.5
∴DE=CE+DC+18+13.5=31.5
因此DE的长为31.5厘米.
38.见图1-21,证明:
∵AE=AC+CE
BE=BD+DE
又AC=BD
E为CD中点
∴CE=DE
∴AE=BE
因此,E为AB的中点.
图1-21
39.见图1-22,证明:
∵∠AOD=∠BOE
又OC平分∠DOE
∴∠1=∠2
又∠BOC=∠BOE+∠1
∠AOC=∠AOD+∠2
∴∠BOC=∠AOC
∴OC平分∠AOB
图1-22
40.解:
依题意设
AB=2x,BC=3x,CD=4x,即AD=9x
∵M为AD中点
∴AM=DM=
AD=4.5x
∵CD=4x=12
∴x=3
(1)MC=MD-CD=4.5x-4x=0.5x
(2)AB:
BM=2x:
(4.5x-2x)
=2x:
2.5x
=4:
5
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