北师大版初中数学八年级下册全册教案第二章.docx

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北师大版初中数学八年级下册全册教案第二章

北师大版八年级（下）数学教案

纳雍县东关中学蔡霁

第二章分解因式

教学目标：

知识与技能：

了解因式分解的意义，会用提公因式法、平方差公式、完全平方公式（直接运用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）

过程与方法：

经历探索分解因式方法的过程，体会数学知识之间的整体联系（整式乘法与分解因式）；通过平方差公式、完全平方公式的逆向变形，进一步发展学生观察、、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考几语言。

情感态度与价值观：

培养良好的数学思维以及积极进取的品格，同时感悟分解因式的内在因素和实际应用价值。

教学重点：

因式分解的常见的两种方法的了解和应用。

教学难点：

如何灵活地综合运用常见的两种分解因式的方法进行因式分解

教学关键：

把握因式分解的意义，注意与整式乘法的区别，以及分解因式的基本思路：

（1）首先考虑整式中各项有无公因式，若存在公因式，应采用提取公因式法，注意找出最大公因式；

（2）再考虑能否应用公式法分解。

课时划分：

（共计6课时）

1、分解因式1课时2、提取公因式法2课时

3、运用公式法2课时回顾与思考1课时

总第12课时

第二章分解因式

第1课时

教学内容：

P42-46§2.1．分解因式

授课时间：

2012年3月日星期第节。

授课班级：

八年级（3）班授课教师：

蔡霁

教学目标：

知识与技能：

（1）使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念．

（2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能运用这种关系寻求因式分解的方法．

（3）由整式乘法的逆运算过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力．

（4）通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，培养学生的分析问题能力与综合应用能力．

过程与方法：

由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，培养学生的观察能力，进一步发展学生的类比思想．

情感、态度与价值观：

让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度．

重点、难点：

重点：

理解因式分解概念的基础上，应有意识地培养学生知识迁移的数学能力。

寻求因式分解的方法是一个难点

教学过程：

一、创设问题情境,引入新课

计算992–1，（a+b）（a－b）

a2－b2=（a+b）（a－b）成立吗？

那么如何去推导呢？

这就是我们即将学习的内容：

因式分解的问题.

二、讲授新课

1.讨论993－99能被100整除吗？

你是怎样想的？

与同伴交流.

993－99能被100整除.

因为993－99=99×992－99

=99×（992－1）=99×（99+1）×（99-1）=99×98×100

其中有一个因数为100，所以993－99能被100整除.993－99还能被哪些正整数整除？

还能被99，98,980,990,9702等整除.

从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式.

2.议一议

你能尝试把a3－a化成n个整式的乘积的形式吗？

与同伴交流.

观察a3－a与993－99这两个代数式.

3.做一做

（1）计算下列各式：

①（m+4）（m－4）=__________;

②（y－3）2=__________;

③3x（x－1）=__________;

④m（a+b+c）=__________;

⑤a（a+1）（a－1）=__________.

（2）根据上面的算式填空：

①3x2－3x=（）（）;

②m2－16=（）（）;

③ma+mb+mc=（）（）;

④y2－6y+9=（）2.

能分析一下两个题中的形式变换吗？

在

（1）中，等号左边都是乘积的形式，等号右边都是多项式；在

（2）中正好相反，等号左边是多项式的形式，等号右边是整式乘积的形式.

在

（1）中我们知道从左边推右边是整式乘法；在

（2）中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解.

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式

4.想一想

由a（a+1）（a－1）得到a3－a的变形是什么运算？

由a3－a得到a（a+1）（a－1）的变形与这种运算有什么不同？

你还能举一些类似的例子加以说明吗？

由a（a+1）（a－1）得到a3－a的变形是整式乘法，由a3－a得到a（a+1）（a－1）的变形是分解因式，这两种过程正好相反.

由（a+b）（a－b）=a2－b2可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式；由a2－b2=（a+b）（a－b）来看，左边是一个多项式，右边是整式的乘积形式，所以这两个过程正好相反.

如：

（1）m（a+b+c）=ma+mb+mc

（2）ma+mb+mc=m（a+b+c）

联系：

等式

（1）和

（2）是同一个多项式的两种不同表现形式.

区别：

等式

（1）是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.

等式

（2）是把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.

即ma+mb+mc

m（a+b+c）.

所以，因式分解与整式乘法是相反方向的变形.

5.例题：

下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？

（1）4a（a+2b）=4a2+8ab;

（2）6ax－3ax2=3ax（2－x）;

（3）a2－4=（a+2）（a－2）;

（4）x2－3x+2=x（x－3）+2.

（1）左边是整式乘积的形式，右边是一个多项式，因此从左到右是整式乘法，不是因式分解；

（2）左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，因此从左到右的变形是因式分解；

（3）和

（2）相同，是因式分解；

（4）是因式分解.

三、课堂练习：

课本45页随堂练习1.2题

1、连一连

解：

2、辨一辨：

下列哪些变形是因式分解，为什么？

（1）（a+3）（a-3）=a2-9

（2）a2-4=（a+2）（a-2）

（3）a2-b2+1=（a+b）（a-b）+1

（4）2πR+2πr=2π（R+r）

注意：

（1）分解因式与整式的乘法是一种互逆关系；

（2）分解因式的结果要以积的形式表示；

（3）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的次数；

（4）必须分解到每个多项式不能再分解为止．如：

a3－a=a（a2-1）就不完全正确。

四.课时小结

本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式；还学习了整式乘法与分解因式的关系是相反方向的变形.

五、课后作业

课本第45页习题2.1第1，2，3题

思考题：

课本第45页习题2.1第4题（给学有余力的同学做）

教学反思：

分解因式的概念，不能体现出分解因式的要求。

学生还不要学习一些很严格的定义，他们只要从直观上知道这么一回事就可以的了。

但那例不严格的概念与数学的严谨性不相符。

我们班不少学生常常会拿这个概念去问我:

"为什么这种明明是完全合符了概念的要求，但老师你又说是不正确的。

"我认为，应该对概念的严格定义在书末处列出。

这样做对一部分以后从事也数学相关性很大的职业的学生非常有利。

总第13课时

第二章分解因式

第2课时

教学内容：

P47-49§2.2.1提公因式法

（一）

授课时间：

2012年3月日星期第节。

授课班级：

八年级（3）班授课教师：

蔡霁

教学目标

知识与技能：

（1）使学生经历探索寻找多项式各项的公因式的过程，能确定多项式各项的公因式。

（2）会用提取公因式法进行因式分解。

过程与方法：

（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、对比等手段，确定多项式各项的公因式，加强学生的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力。

（2）由乘法分配律的逆运算过渡到因数分解，再由单项式与多项式的乘法运算过渡到因式分解，进一步发展学生的类比思想。

（3）寻找出确定多项式各项的公因式的一般方法，培养学生的初步归纳能力。

情感、态度与价值观：

进一步培养学生的矛盾对立统一的哲学观点以及实事求是的科学态度。

教学重点：

掌握用提取公因式法把多项式进行因式分解。

教学难点：

正确地确定多项式的最大公因式。

教学关键：

在确定多项式各项的公因式时应抓住各项最大公因式来提公因式，一般地第一项不含负号。

教学过程

第一环节创设问题情境,引入新课

一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为

，

，

，宽都是

求这块场地的面积.

解法一：

S=

×

+

×

+

×

=

+

+

=2

解法二：

S=

×

+

×

+

×

=

（

+

+

）=

×4=2

从上面的解答过程看，解法一是按运算顺序：

先算乘，再算和进行的，解法二是先逆用分配律算和，再计算一次乘，由此可知解法二要简单一些.这个事实说明，有时我们需要将多项式化为积的形式，而提取公因式就是化积的一种方法

第二环节新课讲解

1.公因式与提公因式法分解因式的概念.

将刚才的问题一般化，即三个矩形的长分别为a、b、c，宽都是m，则这块场地的面积为ma+mb+mc,或m（a+b+c），可以用等号来连接.

ma+mb+mc=m（a+b+c）

从上面的等式中，大家注意观察等式左边的每一项有什么特点？

各项之间有什么联系？

等式右边的项有什么特点？

等式左边的每一项都含有因式m，等式右边是m与多项式（a+b+c）的乘积，从左边到右边是分解因式.

由于m是左边多项式ma+mb+mc的各项ma、mb、mc的一个公共因式，因此m叫做这个多项式的各项的公因式.

2、想一想

多项式ab+ac中，各项有相同的因式吗？

多项式x2+4x呢？

多项式mb2+nb–b呢？

结论：

多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式．

3、议一议

多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式是什么？

结论：

（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；

（2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；

（3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．

活动目的：

由于2中提供的几个多项式比较简单，不能反映公因式的全部特征，而通过本环节中寻找多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式，则可很顺利的归纳出确定多项式各项公因式的方法，培养学生的初步归纳能力

注意事项：

每一个多项式都由两部分组成：

系数部分与字母部分，因此，有必要将系数部分与字母部分分开讨论．在教师的引导下，学生能分别找出公因式的系数部分与字母部分，最后找到这个多项式的公因式．在学生具备初步的判断能力之后，应该将学生的能力进一步升华，引导他们归纳出确定多项式各项公因式的方法，培养学生的初步归纳能力．

4、试一试

活动内容：

将以下多项式写成几个因式的乘积的形式：

（1）ab+ac

（2）x2+4x（3）mb2+nb–b

由上式可知，把多项式ma+mb+mc写成m与（a+b+c）的乘积的形式，相当于把公因式m从各项中提出来，作为多项式ma+mb+mc的一个因式，把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式（a+b+c），作为多项式ma+mb+mc的另一个因式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

定义：

如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

第三环节做一做

P47例1将下列多项式进行分解因式：

（1）3x+x3

（2）7x2–21x

（3）8a3b2–12ab3c+ab（4）–24x3–12x2+28x

学生归纳：

提取公因式的步骤：

（1）找公因式；

（2）提公因式．

易出现的问题：

（1）第（3）题中的最后一项提出ab后，漏掉了“+1”；

（2）第（4）题提出“–”时，后面的因式不是每一项都变号．

矫正对策：

（1）因式分解后括号内的多项式的项数与原多项式的项数是否相同；

（2）如果多项式的第一项带“–”，则先提取“–”号，然后提取其它公因式；

（3）将分解因式后的式子再进行单项式与多项式相乘，其积是否与原式相等．

注意事项：

第

（1）

（2）两小题是简单题，对学生的要求不高，学生能很快完成这两小题，但当多项式的项数多了，或首项出现负号时，部分同学会产生思维上的困难，此时，教师有必要引导学生分步进行分解：

如，先将负号提出，然后再提取其它的公因式，并提醒学生在完成分解后，应再用整式的乘法进行逆向检查，查出错误予以纠正．

第四环节反馈练习（课本48页随堂练习1、2题）

活动内容：

1、找出下列各多项式的公因式：

（1）4kx+8ky

（2）am+mb（3）5y3–20y2（4）a2b–2ab2+ab

2、将下列多项式进行分解因式：

（1）8x–2xy

（2）a2b–5ab（3）4m3–6m2　　

（4）a2b–5ab+9b　　　（5）–a2+ab–ac（6）–2x3+4x2–2x

注意事项：

若有部分同学出现第三环节中的问题，如对首项出现负号时不能正确处理，此时，需要老师进一步引导．

第五环节学生反思

从今天的课程中，你学到了哪些知识？

你认为提公因式法与单项式乘多项式有什么关系？

1.提公因式法分解因式的一般形式，如：

ma+mb+mc=m（a+b+c）.

这里的字母a、b、c、m可以是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的单项式.

2.提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式.

3.找公因式的一般步骤

（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；

（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；

（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.

（4）所有这些因式的乘积即为公因式.

4.初学提公因式法分解因式，最好先在各项中将公因式分解出来，如果这项就是公因式，也要将它写成乘1的形式，这样可以防范错误，即漏项的错误发生.

5.公因式相差符号的，如（x－y）与（y－x）要先统一公因式，同时要防止出现符号问题.

巩固练习：

课本第49页习题2．2第1单小题，2题．

第六环节布置作业：

课本第49页习题2．2第1题双小题、3题。

总第14课时

第二章分解因式

第3课时

教学内容：

P50-53§2.2.2提公因式法

（二）

授课时间：

2012年3月日星期第节。

授课班级：

八年级（3）班授课教师：

蔡霁

教学目标

知识与技能：

1、会用提取公因式法进行因式分解．

2、使学生逐步从提取的单项式公因式过渡到提取的多项式公因式

过程与方法：

使学生经历从简单到复杂的螺旋式上升的认识过程；培养学生的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力；从提取的公因式是一个单项式过渡到提取的公因式是多项式，进一步发展学生的类比思想．教学重点：

掌握用提取公因式法把多项式进行因式分解。

情感、态度与价值观：

通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点．

教学重点：

掌握用提取公因式法把多项式进行因式分解。

教学难点：

正确地确定多项式的最大公因式。

教学关键：

在确定多项式各项的公因式时应抓住各项最大公因式来提公因式，一般地第一项不含负号。

教学过程：

第一环节练一练

活动内容：

把下列各式因式分解：

（1）am+an

（2）a2b–5ab

（3）m2n+mn2–mn（4）–2x2y+4xy2–2xy

注意事项：

切忌采用死记硬背的方法让学生背诵提取公因式的基本方法与步骤，最好用例题的形式让学生回忆起提取公因式的方法与步骤，让学生真正理解是第一位的．

第二环节想一想

活动内容：

因式分解：

a（x–3）+2b（x–3）

分析：

这个多项式整体而言可分为两大项，即a（x－3）与2b（x－3），每项中都含有（x－3）,因此可以把（x－3）作为公因式提出来.

解：

a（x－3）+2b（x－3）=（x－3）（a+2b）

从分解因式的结果来看，是不是一个单项式与一个多项式的乘积呢？

第三环节做一做

活动内容：

在下列各式等号右边的括号前插入“+”或“–”号，使等式成立：

（1）2–a=（a–2）

（2）y–x=（x–y）

（3）b+a=（a+b）

（4）（b–a）2=（a–b）2

（5）–m–n=（m+n）

（6）–s2+t2=（s2–t2）

注意事项：

（1）首先注意分清前后两个多项式的底数部分是相等关系还是互为相反数的关系；

（2）当前后两个多项式的底数相等时，则只要在第二个式子前添上“+”；

（3）当前后两个多项式的底数部分是互为相反数时，如果指数是奇数，则在第二个式子前添上“-”；如果指数是偶数，则在第二个式子前添上“+”．

第四环节试一试

活动内容：

将下列各式因式分解：

（1）a（x–y）+b（y–x）

（2）6（m–n）3–12（n–m）2

活动目的：

进一步引导学生采用类比的方法由提取的公因式是单项式类比出提取的公因式是多项式的方法与步骤．

（1）观察多项式中括号内不同符号的多项式部分，并把它们转换成符号相同的多项式；

（2）再把相同的多项式作为公因式提取出来．

分析：

虽然a（x－y）与b（y－x）看上去没有公因式，但仔细观察可以看出（x－y）与（y－x）是互为相反数，如果把其中一个提取一个“－”号，则可以出现公因式，如y－x=－（x－y）.（m－n）3与（n－m）2也是如此.

解：

（1）a（x－y）+b（y－x）

=a（x－y）－b（x－y）

=（x－y）（a－b）

（2）6（m－n）3－12（n－m）2

=6（m－n）3－12［－（m－n）］2

=6（m－n）3－12（m－n）2

=6（m－n）2（m－n－2）.

第五环节反馈练习

活动内容：

（1）填一填：

（1）3+a=（a+3）

（2）1–x=（x–1）

（3）（m–n）2=（n–m）2

（4）–m2+2n2=（m2–2n2）

2、P51随堂练习1把下列各式因式分解：

（1）x（a+b）+y（a+b）

（2）3a（x–y）–（x–y）

（3）6（p+q）2–12（q+p）（4）a（m–2）+b（2–m）

（5）2（y–x）2+3（x–y）（6）mn（m–n）–m（n–m）2

注意事项：

由于新教材删除了添括号一节的教学，学生对于第1题第（4）小题的解答有一定的困难，因而，需要认真比较这两个多项式符号上的异同，确定它们是互为相反数还是相等关系．

第六环节议一议

活动内容：

把（a＋b－c）（a－b＋c）＋（b－a＋c）·（b－a－c）分解因式．

活动目的：

通过学生的讨论，当提取的公因式由两项过渡到三项时，应该采用何种对策，从而进一步提高学生的观察能力与思维能力．

注意事项：

通过讨论，学生逐步意识到如果采用提取公因式的方法，必须先把所有括号内的多项式中字母a前面的符号都化为正号，再进行观察比较可以找出公因式（a－b＋c）．

第七环节学生反思

活动内容：

从今天的课程中，你学到了哪些知识？

掌握了哪些方法？

本节课进一步学习了用提公因式法分解因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式，要认真观察多项式的结构特点，从而能准确熟练地进行多项式的分解因式.

注意事项：

学生经历了一个从简单到复杂、提取的公因式从单项式——两项式——三项式的螺旋式上升的认识过程，对确定公因式的方法及提公因式法的步骤有了进一步的理解，更清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系，了解类比等数学思想方法．

巩固练习：

课本第51页随堂练习第1题．

第八环节布置作业：

课本第52页习题1双小题2题。

教学反思

⒈《数学课程标准》提出学生是学习数学的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者，本节课以开放式的课堂形式组织教学，让学生进行合作学习，共同操作与探索，共同探究、解决问题．在教学中能注意充分调动学生的学习积极性、主动性，坚持做到以人为本，以学生为先，立足于让学生先看、先想、先说、先练，根据自己的体验，用自己的思维方式，通过实验、思考、合作、交流学好知识．

2.探究、发现中，让学生分组讨论，合作、交流，培养了学生新的学习方法，加强了学生团结、协作的能力；讨论中充分展示学生语言的零乱性，培养了学生良好的思维能力、语言运用能力。

适时对学生积极评价，体现了平等的师生关系，张扬了学生的个性，体现了《标准》的人文化。

总第15课时

第二章分解因式

第4课时

教学内容：

P54-56§2.3.1运用公式法

（一）

授课时间：

2012年3月日星期第节。

授课班级：

八年级（3）班授课教师：

蔡霁

教学目标

知识与技能：

（1）使学生了解运用公式法分解因式的意义；发展学生的观察能力和逆向思维能力。

（2）会用平方差公式进行因式分解；培养学生对平方差公式的运用能力。

（3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式．

过程与方法：

经历通过整式乘法的平方差公式，逆向得出用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的观察能力和逆向思维能力。

情感与态度：

在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法．

教学重点：

会用平方差公式进行因式分解。

教学难点：

灵活地运用公式法或已学过的提公因式法进行因式分解，正确判断因式分解的彻底性。

教学关键：

把握住因式分解的方法：

如公式法、提公因式法等，在对多项式进行因式分解时，首先应考虑提公因式法，再考虑用平方差公式分解因式。

而且应该提取彻底。

教学过程：

第一环节练一练

活动内容：

填空：

（1）（x+3）（x–3）=；

（2）（4x+y）（4x–y）=；

（3）（1+2x）（1–2x）=；（4）（3m+2n）（3m–2n）=．

根据上面式子填空：

（1）9m2–4n2=；

（2）16x2–y2=；

（3）x2–9=；（4）1–4x2=．

活动目的：

学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力．

注意事项：

由于学生对乘法公式中的平方差公式比较熟悉，学生通过观察与对比，能很快得出第一组式子与第二组式子之间的对应关系．

第二环节想一想

活动内容：

观察上述第二组式子的左边有什么共同特征？

把它们写成乘积形式以后又有什么共同特征？

结论：

a2–b2=（a+b）（a–b）

1.请看乘法公式

（a+b）（a－b）=a2－b2

（1）

左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是

a2－b2=（a+b）（a－b）

（2）

左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？

符合因式分解的定义，因此是因式分解.

对，是利用平方差公式进行的因式分解.第

（1）个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第

（2）个等式可以看作是因式分解中的平方差公式.

2.公式讲解

请大家观察式子a2－b2,找出它的特点.

是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差.

如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.

如x2－16=（x）2－42=（x+4）（x－4）.

9m2－4n2=（3m）2－（2n）2

=（3m+2n）（3m－2n）

第三环节做一做

活动内容：

例1、把下列各式因式分解：

（1）25–16x2

（2）9a2–

第四环节议一议

活动内容：

例2、将下列各式因式分解：

（1）9（x–y）2–（x+y）2

（2）2x3–8x

活动目的：

（1）让学生理解在平方差公式a2–b2