数学建模资源分配.docx

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数学建模资源分配

一、问题重述

某储蓄所每天的营业时间是上午九点到下午五点，根据经验每天不同的时间段所需要的服务员数量如下：

时间段（时）

9-10

10-11

11-12

12-1

1-2

2-3

3-4

4-5

服务员数量

4

3

4

6

5

6

8

8

储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员。

全时服务员每天报酬100元，从上午9;00到下午5:

00，但中午12:

00到下午2:

00之间必须安排一小时的午餐时间。

储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作4小时，报酬40元。

问该储蓄所应如何雇佣全时和半时两类服务员？

如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多少费用？

如果雇佣半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少费用？

二、符号说明

y1,y2,y3,y4,y5——————1:

00至2:

00为x2.半时服务员从9:

00至1:

00以小时为单位的人数；

x1————————————12:

00至1:

00为为全时服务员人数；

x2————————————1:

00至2:

00为为全时服务员人数；

三、模型假设

1.题中所给的数据是在微小的围变化的数据。

2.所给的数据基本上有效。

3.目标函数就是所求的资源分配方案。

四、问题分析

本问题是一个资源决策分配的最优化问题数学模型。

主要是针对根据不同的报酬雇佣全时与半时服务员的如何分配问题,首先应定义了相关的决策变量，对不同的条件约束,列出对应的目标函数,利用相关的工具进行操作,最后对结果进行分析.

问题的关键

1.定义相关的决策变量.列出目标函数。

2.转化为定量说明。

3.列出目标函数。

（1）分析问题，收集资料。

需要搞清楚需要解决的问题，分析有可能的情况。

（2）建立模拟模型，编制模拟程序。

按照一般的建模方法，对问题进行适当的假设。

也就是说，模拟模型未必要将被模拟系统的每个细节全部考虑。

模拟模型的优劣将通过与实际系统有关资料的比较来评价。

如果一个“粗糙”的模拟模型已经比较符合实际系统的情况，也就没有必要建立费时、复杂的模型。

当然，如果开始建立的模型比较简单，与实际系统相差较大，那么可以在建立了简单模型后，逐步加入一些原先没有考虑的因素，直到模型达到预定的要求为止。

编写模拟程序之前，要先画出程序框图或写出算法步骤。

然后选择合适的计算机语言，编写模拟程序。

（3）运行模拟程序，计算结果。

为了减小模拟结果的随机性偏差，一般要多次运行模拟程序。

（4）分析模拟结果，并检验。

模拟结果一般说来反映的是统计特性，结果的合理性、有效性，都需要结合实际的系统来分析，检验，以便提出合理的对策、方案。

以上步骤是一个反复的过程，在时间和步骤上是彼此交错的。

比如模型的修改和改进，都需要重新编写和改动模拟程序。

模拟结果的不合理，则要求检查模型，并修改模拟程序。

五、模型建立与求解

问题一的回答

设全时服务员每天雇佣时间从12:

00至1:

00人数为x1,1:

00至2:

00为x2.半时服务员从9:

00至1:

00以小时为单位分别为y1,y2,y3,y4,y5.

则列出模型如下:

Min=100x1+100x2+40y1+40y2+40y3+40y4+40y5

约束条件如下:

x1+x2+y1>=4

x1+x2+y1+y2>=3

x1+x2+y1+y2+y3>=4

x2+y1+y2+y3+y4>=6

x1+y2+y3+y4+y5>=6

x1+x2+y4+y5>=8

x1+x2+y5>=8

y1+y2+y3+y4+y5<=3

x1,x2,y1,y2,y3,y4,y5>=0,且为整数.

所求的结果如下

由结果分析：

问题一的回答：

雇佣全时服务员7人,半时服务员3人.其中12:

00-1:

00全时服务员3名，1：

00-2：

00全时服务员4名。

11：

00-12：

00雇佣半时服务员2人，12：

00-1：

00雇佣半时服务员1人。

.

问题二的回答：

不能雇佣半时服务员,则全时服务员11人,其中12:

00-1:

00全时服务员5名，1：

00-2：

00全时服务员6名。

最小费用1100元,即每天至少增加280元.

问题三的回答：

如果雇佣半时服务员的数量没有限制,则应雇佣全时服务员0人,半时服务员14人,其中雇佣半时服务员9：

00——10：

00为4人，11：

00-12：

00为2人，12：

00-1：

00为8人。

且最少费用560元,即每天减少260元.

六、模拟程序设计

Max=-100*x1-100*x2-40*y1-40*y2-40*y3-40*y4-40*y5;

x1+x2+y1>=4;

x1+x2+y1+y2>=3;

x1+x2+y1+y2+y3>=4;

x2+y1+y2+y3+y4>=6;

x1+y2+y3+y4+y5>=6;

x1+x2+y4+y5>=8;

x1+x2+y5>=8;

y1+y2+y3+y4+y5<=3;

y1+y2+y3+y4+y5<=3;

end

七、误差分析

对于题目中给出的数据，采用了直接使用,这对问题的回答不会造成影响。

对于问题中的要求人员应为整数解，这对于模型的建立没有影响，但对模型的求解法求解是基于表达式的，所以在模型求解时存在一定的误差。

八、模型的应用

本模型可用于资源决策分配的最优化问题数学模型的问题，适用围广,操作简单。

如产品分发问题,时间安排问题,股票投资问题等

九、模型评价

模型的优点：

模型实用围较广，问题结果清晰透彻，具有合理可靠性，适用于多个同类问题。

模型的缺点：

模型操作得细心，需使用多种数据处理工具。

十、小结

数学建模是一个经历观察、思考、归类、抽象与总结的过程，也是一个信息捕捉、筛选、整理的过程，更是一个思想与方法的产生与选择的过程。

它给学生再现了一种“微型科研”的过程。

数学建模教学有利于激发学生学习数学的兴趣，丰富学生数学探索的情感体验；有利于学生自觉检验、巩固所学的数学知识，促进知识的深化、发展；有利于学生体会和感悟数学思想方法。

同时教师自身具备数学模型的构建意识与能力，才能指导和要求学生通过主动思维，自主构建有效的数学模型，从而使数学课堂彰显科学的魅力。

为了使描述更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。

使用数学语言描述的事物就称为数学模型。

有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。

1.只有经历这样的探索过程，数学的思想、方法，才能沉积、凝聚，从而使知识具有更大的智慧价值。

动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。

学生的数学学习活动应当是一个主动、活泼的、生动和富有个性的过程。

因此，在教学时我们要善于引导学生自主探索、合作交流，对学习过程、学习材料、学习发现主动归纳、提升，力求建构出人人都能理解的数学模型。

教师不应只是“讲演者”，而应不时扮演下列角色：

参谋——提一些求解的建议，提供可参考的信息，但并不代替学生做出决断。

询问者——故作不知，问原因、找漏洞，督促学生弄清楚、说明白，完成进度。

仲裁者和鉴赏者——评判学生工作成果的价值、意义、优劣，鼓励学生有创造性的想法和作法。

2.数学建模对教师、对学生都有一个逐步的学习和适应的过程。

教师在设计数学建模活动时，特别应考虑学生的实际能力和水平，起始点要低，形式应有利于更多的学生能参与。

在开始的教学中，在讲解知识的同时有意识地介绍知识的应用背景，在数学模型的应用环节进行比较多的训练；然后逐步扩展到让学生用已有的数学知识解释一些实际结果，描述一些实际现象，模仿地解决一些比较确定的应用问题；再到独立地解决教师提供的数学应用问题和建模问题；最后发展成能独立地发现、提出一些实际问题，并能用数学建模的方法解决它。

3.由于知识产生和发展过程本身就蕴含着丰富的数学建模思想，因此老师既要重视实际问题背景的分析、参数的简化、假设的约定，还要重视分析数学模型建立的原理、过程，数学知识、方法的转化、应用，不能仅仅讲授数学建模结果，忽略数学建模的建立过程。

4.数学应用与数学建模的目的并不是仅仅为了给学生扩充大量的数学课外知识，也不是仅仅为了解决一些具体问题，而是要培养学生的应用意识，提高学生数学能力和数学素质。

因此我们不应该沿用老师讲题、学生模仿练习的套路，而应该重过程、重参与，从小培养学　　

数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，培养学生应用数学的意识和能力也已经成为数学教学的一个重要方面。

而应用数学去解决各类实际问题就必须建立数学模型。

小学数学教学的过程其实就是教师引导学生不断建模和用模的过程。

因此，用建模思想指导小学数学教学显得愈发重要。

十一、参考文献

[1]熊启才，《数学模型方法及应用》，：

大学,2005.

[2]启源，金星，叶俊,《数学建模》，高等教育，2010.