初中数学 对角互补专题.docx
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初中数学 对角互补专题.docx
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初中数学对角互补专题
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对角互补专题探究
(一)
基本图形:
如图1,在四边形FBDE中,∠EDF+∠EBF=1800,旋转∠FBE得到∠HBI,求证:
△FBH∽△EBI;
如图2,在四边形FBDE中,∠EDF+∠EBF=1800,连接BD,∠DBE=∠CBF,若△BCD为等边三角形,探究:
线段DE、DF、BD之间的数量关系________________________;
如图3,在四边形FBDE中,∠EDF+∠EBF=1800,连接BD,∠DBE=∠CBF,若BD⊥DC,∠DCB=30°
探究:
线段DE、DF、BD之间的数量关系______________________;
例1.已知直角梯形ABCD,AD∥BC,∠A=900,∠EBF=∠C.
(1)当AD:
AB=1:
∠C=600时,如图1所示,求证:
DE+DF=BC;
(2).当AD:
AB=1:
1,∠C=450时,如图2所示,则线段DE、DF、BC之间的数量关系_______________;
(3).在
(2)的条件,如图3所示,若AB=2时,3BM=MC,连接AF、FM,若AF与BE交于点N,当∠AFM=450时,求线段NF的长度.
变式训练:
1.已知直角梯形ABCD,AD∥BC,AD=
AB,∠A=900,∠C=600,DH⊥BC于H,P为BC上一点,作∠EPF=600,此角的两边分别交AD于E,交CD于F.
(1).如图1,当点P在点B处时,求证:
2AE+CF=2CH;
(2).如图2,当点P在点H处时,线段AE、CF、CH的数量关系为____________________;
(3).在
(2)的条件下,连接FB、EF,FB与FH交于点K,若AB=
EF=
求线段FK的长度.
2.已知平行四边形ABCD,∠C=60°,点E、F分别为AD、CD上两点∠EBF=∠C.
(1).如图1,当AB=BC时,求证:
CF+AE=BC;
(2).如图2,当AB=
BC时,线段:
CF、AE、BC三者之间有何数量关系_______________;
(3)在
(2)的条件下如图3,若AB=6,连接EC与BF交于M,当△BEM为等边三角形时,求线段FM的长.
例2.已知:
△ABC中,∠ACB=900,∠B=300,点P为边AB上的一点,∠EPF=900,PF与边AC交于点F,PE与边BC交于点E.设AP:
PB=
(1)如图1,当
=
时,则:
AF+_____BE=
AB;
(2).如图2,当
=1时,线段AF、BE、AB的数量关系为___________________;
图2
图1
(3).在
(2)的条件下,如图3,连接CP,EF交于点K,将FP沿着EF对称,对称后与CP交于点M,连接ME,若AC=3,当ME∥FP时,求tan∠CEM的值.
变式训练:
1.等边△ABC中,BH为AC边上的高,点P为AB边中点,∠EPF=900,此角的两边与AC边交于点F,与高BH交于点E.
(1)如图1,求证:
FH+
BE=
AB;
(2)如图2,则线段FH、BE、AB之间满足的关系式为____________;
(3)如图3,在
(2)的条件下,连接EF,直线EF与BC交于点N,将FN沿着FP对称,对称后与AB交于点M,若AC=
AM:
BM=1:
3,时,求BN长度.
图1
对角互补专题探究
(二)
1.直线m∥n,点A、B分别在直线m、n上,且点A在点B的右侧.点P在直线m上,AP=
AB,连接BP,
以PB为一边在PB右侧作等边△BPC,连接AC.过点P作PD⊥n于点D.
(1)当点P在A的右侧时(如图1),求证:
BD=
AC
(2)当点P在A的左侧时(如图2),线段BD与AC之间的数量关系为_______________.
(3)在
(2)的条件下,设PD交AB于点N,PC交AB于点M(如图3).若△PBC的面积为
,求线段MN的长.
n
m
C
D
P
B
A
图3
2.如图,直线y=-
kx+4k(k>0)与x轴交于B,与y轴交于D,点O与点C是关于直线BD对称,连接BC,若AC=
.
(1)求k的值;
(2)点P为OB的中点,动点E从点B出发,每秒1单位速度沿BH向点H运动,过点P做PE的垂线交AC于点F,当点F与点O重合时点E停止运动.设运动时间为t秒,△PHF面积为S,写出S与t点函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围.
()连接PH,是否存在t值,使得tan∠FPH=
,若存在请求t值,若不存在,说明理由.
对角互补专题探究(三)
例1.已知:
四边形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC,∠BAD=∠ADC,点E在CD边上运动(点E与C、D两点不重合),△AEP为直角三角形,∠AEP=90°,∠P=30°,过点E作EM∥BC交AF于点M.
(1)若∠BAD=120°(如图1),求证:
BF+DE=EM;
(2)若∠BAD=90°(如图2),则线段BF、DE、EM的数量关系为_____________.
(3)在
(1)的条件下,若AD:
BF=3:
2,EM=7,求CE的长.
变式训练:
1.已知:
矩形ABCD中
,点E、F分别在CD、CB上运动,且
(角α为锐角),过E作EM∥BC交AF于点M,探究BF、DE、ME之间的数量关系为_______________________________.
(1)当K=
,
=45°时,___________________________.
(2)当K=
,
=60°时,___________________________.
(3)当K=
,
=30°时,___________________________.
2.如图:
已知四过形ABCD中
、∠DAB=∠BCD=90°,点E、F分别在CD、CB上运动,且
(角α为锐角),过E作EM∥BC交AF于点M,探究BF、DE、ME之间的数量关系为_______________.
对角互补专题探究(四)
例2.已知:
四边形ABCD,AB=AD,∠B=∠D=90°,∠EAF=30°,过F作FM∥BC交AE于M.
(1)当∠BAD=60°时(如图1所示),求证︰BE+FD=FM;
(2)当∠BAD=90°时(如图2所示),则线段BE,DF,FM的数量关系为_______________;
(3)在
(1)的条件下(如图3所示),连接DB交AE于点G,交AF于点K,交MF于点N,
若BG:
DK=3:
5,FM=14时,KN的长.
图1
图2
图3
变式训练:
1.已知四边形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,∠BAD=∠ADC,点F在CD边上运动(点E与C、D两点不重合)
(1)若∠BAD=90°(如图l),AD=2AB,∠EAF=450,求证:
DF+2BE=FG
(2)若∠BAD=150°(如图2),AB=AD,∠EAF=300,则DF、BE、FG的数量关系为.
(3)在
(1)的条件下(如图3)DF=4AB=6,直线AF交直线BG于点H,求GH的长.
图3
图1
图2
2.已知:
四边形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=kAD,∠BAD=∠ADC,点E在CD边上运动(点E与C、D两点不重合),将AE绕点A顺时针旋转30°后与BC边交于点F,过点E作EM∥BC交AF于点M.
(1)若k=1,∠BAD=120°(如图1),求证:
DE+BF=
ME.
(2)若k=
∠BAD=90°(如图2),则线段DE、BF、ME的数量关系为.
(3)在
(1)的条件下,若CE=2,AE=
求ME的长.
对角互补专题探究(五)
例3.如图1,正方形ABCD中,P为边BC延长线上的一点,E为DP的中点,DP的垂直平分线交边DC于M,交边BC于Q,交边AB的延长线于N.
(1)求证DP=MN;
(2)若PC:
PB=1:
3,那么线段QE与QN的数量关系为______________________;
(3)如图2,连接BD、MP,绕着点P旋转∠CPM,角的两边分别交边AB、AD于点H、K,交边CD于点R,当四边形DBQM的面积为24,MR:
RC=1:
2时,求.
变式训练:
1.已知:
在正方形ABCD中,P为直线AD上一点,连接BP,以BP为底边作等腰直角三角形△PBE,
连接AE.
(1)如图1,当点P在线段AD上时,求证:
AB+AP=
AE;
(2)如图2,当点P在线段DA的延长线上时,线段AB、AP、AE的数量关系是
(3)在
(2)的条件下,过点A作AF∥PE,AF交BC的延长线于F,过点C作∠DCF的平分线,交AF于点H,若AB=4,四边形PBEA的面积为5,求线段CH的长.
图1
2.已知等边三角形ABC,点D为BC的中点,∠NDM=120°两边分别交直线AC、AB分别于点M、N.
(1)如图1,求证:
MC=
AB+BN;
(2)如图2,线段MC、AB、BN的数量关系是;
(3)在
(2)的条件下,将∠NDM的两边DM、DN分别反向延长,交AB、AC的延长线分别于点E、F,连接EF若BN=1,CM=2,求EF的长.
图2
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