(2)相位变换
要得到函数y=sin(x+φ)的图像,只要将函数y=sinx的图像上所有点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度即可得到.
(3)周期变换
要得到函数y=sinωx(x∈R)(其中ω>0且ω≠1)的图像,可以把函数y=sinx上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)即可得到.
(4)平移变换
对于函数y=sinx+b的图像,可以看作是把y=sinx的图像上所有点向上(当b>0时)或向下(当b<0时)平行移动|b|个单位长度得到的.
[问题思考]
1.由y=sin(x+)的图像如何得到y=sinx的图像?
提示:
因为y=sin+]=sinx,故要得到y=sinx的图像只需将y=sin(x+)的图像向右平行移动个单位长度即可.
2.由函数y=sinx的图像到y=sinx的图像怎样变换?
提示:
把y=sinx的图像在纵坐标不变的情况下,横坐标变为原来的3倍,得到y=sinx的图像.
讲一讲
1.已知函数y=3sin,用五点法画出该函数在一个周期上的图像.
[尝试解答]
(1)列表:
x-
0
π
2π
x
y
0
3
0
-3
0
(2)描点:
在直角坐标系中描出点(,0),(,3),(,0),(,-3),(,0).
(3)连线:
将所得五点用光滑的曲线连接起来,得到所求函数的图像,如图所示.
用五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图像的步骤是:
第一步:
列表
x
-
-
-
-
-
ωx+φ
0
π
2π
y
0
A
0
-A
0
第二步:
在同一坐标系中描出各点.
第三步:
用光滑曲线连接这些点,即得图像.
练一练
1.用“五点法”作出函数y=2sin的简图.
解:
(1)列表:
列表时2x+取值分别为0,,π,,2π,再求出相应的x值和y值.
x
-
2x+
0
π
2π
y
0
2
0
-2
0
(2)描点.
(3)用平滑的曲线顺次连接各点所得图像如下图所示.
利用函数的周期性,把上面所得到的简图向左、右延伸,得到y=2sin,x∈R的简图.
讲一讲
2.说明y=2sin+1的图像是由y=sinx的图像怎样变换而来的?
[尝试解答] 法一:
(先伸缩后平移)
y=sinx的图像y=2sinx的图像
y=2sin(2x)的图像y=2sin的图像向上平移1个单位长度,y=2sin+1的图像.
法二:
(先平移后伸缩)
y=sinx的图像y=2sinxy=2sin的图像y=2sin的图像y=2sin+1的图像.
1.利用图像变换的方法画函数的图像,注意左右平移变换:
一是平移的方向,可用“左加右减”来总结;二是平移量的确定.找自变量本身的变换量是关键.
2.对于函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),应明确A,ω决定“形变”,φ决定“位变”,A影响值域,ω影响周期,A,ω,φ影响单调性.当选用“伸缩在前,平移在后”的变换顺序时,一定注意针对x的变化,向左或向右平移个单位长度.
练一练
2.(浙江高考)把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图像是( )
解析:
选A 变换后的三角函数为y=cos(x+1),结合四个选项可得A选项正确.
讲一讲
3.(湖南高考改编)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图像如图所示.求函数f(x)的解析式.
[尝试解答] 由题设图像知,
周期T=2=π,
所以ω==2,
因为点在函数图像上,
所以Asin=0,
即sin=0.
又因为0<φ<,所以<+φ<.
从而+φ=π,即φ=.
又点(0,1)在函数图像上,
所以Asin=1,得A=2.
故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin.
由函数图像求解析式的一般解题方法是:
(1)先根据图像的最高点和最低点,找到振幅,即求A的值;
(2)根据所给关键点确定函数周期,再利用周期公式T=求出ω的值;
(3)在求初相φ时,确定图像的关键点是第几个是非常重要的,代入x0,使ωx0+φ等于对应的关键点横坐标的值,如第一关键点对应0,第二关键点对应.
练一练
3.y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π,x∈R)的部分图像如图所示,求函数的解析式.
解:
由图像可知,A=4,=×=6-(-2)=8,
∴ω=,∴y=4sin,
又(6,0)在此函数图像上,且为“第一个零点”,
∴+φ=0,φ=-.
所求函数的解析式为y=4sin.
如图,是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<π)的部分图像,由图中条件,写出该函数的解析式.
[解] 法一:
(平移法)
由图像知,将y=2sinx的图像向左平移个单位,就得到本题图像,故所求函数的解析式为
y=2sin,即y=2sin.
法二:
(单调性法)
由图像可知:
T=3π=,得ω=,
因为点(π,0)在递减的那段上,
所以(π+φ)∈,k∈Z.
由sin(π+φ)=0,得π+φ=2kπ+π,k∈Z,
所以φ=2kπ+,k∈Z.
因为|φ|<π,所以φ=.又A=2,
所以此函数解析式为y=2sin.
法三:
(起始点法)
函数y=Asin(ωx+φ)的图像一般由“五点法”作出,而起始点的横坐标x正是由ωx+φ=0解得的,故只需找出起始点的横坐标x0,就可以迅速求得角φ,
由图像求得ω=,x0=-,φ=-ωx0=-×=,又因为A=2,所以此函数的解析式为
y=2sin.
法四:
(最值点法)
由图像可得ω=,又因为A=2,将最高点坐标代入y=2sin,得2sin=2.
所以+φ=2kπ+,
所以φ=2kπ+,k∈Z.
又-π<φ<π,所以φ=,
所以此函数的解析式为y=2sin.
1.函数y=2sin(2x+)+1的最小正周期为( )
A. B.π
C.2πD.4π
解析:
选B T==π.
2.最大值是,周期是6π,初相是的三角函数的表达式可能是( )
A.y=sin
B.y=sin
C.y=2sin
D.y=sin
解析:
选A 由T=,∴ω==,
∴y=sin.
3.为了得到函数y=sin的图像,只需把函数y=sin2x的图像上所有的点( )
A.向左平行移动个单位长度
B.向右平行移动个单位长度
C.向左平行移动个单位长度
D.向右平行移动个单位长度
解析:
选D ∵y=sin=sin,
∴将函数y=sin2x的图象向右平行移动个单位长度,可得y=sin的图象.
4.把y=sinx的图像上所有点的横坐标和纵坐标都缩短到原来的倍,得________的图像.
解析:
将y=sinx的图像横坐标缩短到原来的倍得y=sin3x的图像,纵坐标再缩短为原来的倍得y=sin3x的图像.
答案:
y=sin3x
5.(新课标全国卷Ⅱ)函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图像向右平移个单位后,与函数y=sin的图像重合,则φ=________.
解析:
本题主要考查三角函数图像的平移、三角函数的性质、三角运算等知识,意在考查考生的运算求解能力及转化与化归思想的应用.将y=cos(2x+φ)的图像向右平移个单位后得到y=cos的图像,化简得y=-cos(2x+φ),又可变形为y=sin.由题意可知φ-=+2kπ(k∈Z),所以φ=+2kπ(k∈Z),结合-π≤φ<π知φ=.
答案:
6.已知f(x)=1+sin(2x-),画出f(x)在x∈上的图像.
解 ∵-≤x≤,∴-π≤2x≤π
∴-π≤2x-≤π
(1)列表如下:
x
-
-
-
2x-
-π
-π
-
0
π
f(x)
2
1
1-
1
1+
2
(2)描点连线成图,如图所示
一、选择题
1.函数y=2sin(-2x+)的相位和初相分别是( )
A.-2x+,B.2x-,-
C.2x+,D.2x+,
解析:
选C ∵y=2sin(-2x+)
=2sin
=2sin(2x+),
∴相位和初相分别为2x+,.
2.(山东高考)将函数y=sin(2x+φ)的图像沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图像,则φ的一个可能取值为( )
A.B.
C.0D.-
解析:
选B 把函数y=sin(2x+φ)的图像向左平移个单位后,得到的图像的解析式是y=sin,该函数是偶函数的充要条件是+φ=kπ+,k∈Z,根据选项检验可知φ的一个可能取值为.
3.要想得到函数y=sinx的图像,只需将函数y=cos的图像( )
A.向右平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
解析:
选A 函数y=cos可化为y=sin[+]=sin.要想得到函数y=sinx的图像,只需将函数y=sin(x+)的图像向右平移个单位长度.
4.已知函数y=Asin(ωx+φ)+B的一部分图像如图所示,如果A>0,ω>0,|φ|<,则( )
A.A=4 B.ω=1C.φ= D.B=4
解析:
选C 由图像易求得A=2,B=2,周期T=4=π,即得y=2sin(2x+φ)+2,又x=时,y=4,即得sin=1,对比各选项知C正确.
二、填空题
5.将函数y=sin的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的图像向左平移个单位长度,得到的图像对应的函数解析式是________.
解析:
先伸缩后平移,y=sin的图像→y=sin的图像→y=sin的图像,即y=sin的图像.
答案:
y=sin.
6.将函数y=sin(x+)的图像向右平移个单位长度,再向上平移2个单位长度所得图像对应的函数解析式是________.
解析:
将函数y=sin(x+)的图像向右平移个单位长度后变为函数y=sin(x-+)=sin(x+),再向上平移2个单位长度,即函数解析式为y=sin(x+)+2.
答案:
y=sin(x+)+2
7.(天津高考)将函数f(x)=sinωx(其中ω>0)的图像向右平移个单位长度,所得图像经过点(,0),则ω的最小值是________.
解析:
将函数f(x)=sinωx的图像向右平移个单位长度,得到的图像对应的函数解析式为f(x)=sinω(x-)=sin(ωx-).又因为函数图像过点(,0),所以sin(-)=sin=0,所以=kπ,即ω=2k(k∈Z),因为ω>0,所以ω的最小值为2.
答案:
2
8.为得到函数y