金融计量经济学第6章面板数据分析.docx
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金融计量经济学第6章面板数据分析
第三部分面板数据的回归分析
第六章面板数据的多元回归分析
6.1引言
在前面的讨论中都是针对数据来源于横截面,每一个样本是独立地来源于不同的单元,样本的选取具有假设1需要的随机性。
在实际的数据采集时,有时可能会对相同的单元在不同的时间点得到多个样本,例如对家庭收入的调查,对公司CEO特征的选取等。
实际中大部分的抽样数据可能在每年是随机选取的,但在不同的年份可能会选取到相同的家庭或公司,甚至有时调查的对象也是固定的。
此时数据就不完全是横截面的,而是某些单元或所有的单元都具有时间序列数据。
如此得到的数据显然容易违背独立观测样本的要求。
而独立观测样本是横截面数据的一个很重要的特征,它可以排除不同观测样本之间存在相关性。
但是,当抽样的总体比较大时,如此抽取的样本也是独立抽样,从统计的角度来看,这类数据还具有一个重要的特征:
它们是独立的样本观测值,这也是横截面数据分析的一个重要方面,这一定程度上保证了不同观测样本的误差项之间没有相关性。
这类数据通常被称为联合横截面数据。
联合横截面数据与简单的横截面数据的差别在于因为其在不同时间点的抽样可能导致观测值不是同分布的。
这些对同一单元在不同时间点得到的数据可能会导致观测值之间存在相关性;更为重用的是,在不同时间点的样本可能具有不同的分布,例如一个国家的教育水平或收入水平在不同的年份会有变化,公司在不同时期的收益水平可能是不同的。
在分析中可能需要考虑时间趋势的变量,可以引入不同时间点的变量来考察是否存在改变等。
面板数据是联合横截面数据中的一种特殊情形。
此时,不仅是某些单元有重复,而是所有单元都有相同的时间点重复,可以看作是在横截面和时间序列两个维度上都有数据,所有的样本数据构成了时间和空间两个方向上的一个矩阵。
为了得到面板数据,需要在任何一个抽样的时间点都对相同的一组单元(个人,家庭,公司,城市进行采样。
例如,对个人收入,教育年限,其他特征等的一个抽样是在开始的时间点随机选取一组人群,在随后的每一次再调查时,都要对这一组人群的每一个进行调查,得到这一组人群多年的相关数据。
对面板数据来说,假设样本观测值在不同时间点是独立同分布显然不现实。
一些不可观测的因素可能会对某些单元有固定的影响。
例如一个公司的CEO可能会因为与公司的特殊关系和其他原因而在每一年都有相对比较高的收入;一些地区可能会因为社会文化和环境而具有特定的影响一个地区的经济发展指标,或其他产出率等。
这种在各时间点都存在的对一个单元的共同因素的影响效果称为固定效应。
在后面关于面板数据分析的方法中就是要克服这类对个体单元的共同影响因素带来的模型估计偏差。
6.2联合横截面数据的回归分析
6.2.1联合横截面数据
联合横截面数据可以很快地增大样本量,使得估计的结果更准确,检验的功效更高。
采用联合横截面回归分析基本没有增加计量技术的复杂程度。
在同时涉及到横截面和时间序列的数据中,有的单元数据并没有在所有时间点都有。
例如,由于人口的迁移而使收入调查的部分样本缺少一些时间点;在公司的数据方面也同样由新公司上市或经营不善公司退出市场等原因而不能使每个单元都具有所有的时间点的数据。
在对两个或两个以上时间点的样本选择时,如果也是具有随机选取的特征,可以直接使用横截面的分析方法。
例如前后两年的调
查数据都是独立进行的,这类数据虽然由于存在同一单元多个时间点数据而可能不满足独立选取样本的条件或使样本具有一定的时间特性,但通过联合横截面的方式,可以进行通常的回归分析。
如果不同时期之间的影响不存在,直接把联合横截面数据看成横截面数据进行回归分析即可。
如果在两个或多个时间点的数据之间可能存在水平的漂移(例如在两个不同年份收入的调查,可以通过加入时间虚拟变量来控制这一影响而得到合理的回归分析结果。
有时,时间虚拟变量的系数就是研究者所关注的问题,通过这一系数可以反应在不同时间点的差异。
还可以通过年份虚拟变量与某些变量的乘积项来考察该变量在不同年份的影响。
例如教育水平在不同年份带来的收益可能是不同的,性别在不同时代的教育收益差别可能也是不同的。
为此我们可以通过加入年份虚拟变量与教育和性别的乘积的模型来考查:
εδββββδβδβ+⋅+++++⋅+++=femalyfemaleunionerereducyeducywage85expexp8585log(5542321100模型中1978年的截距项是0β,1985年的截距项是00δβ+;1978年的教育收益是1β,1985年的教育收益是11δβ+,1δ刻画了通过7年以后,每年的教育收益的改变量;在1978年男女之间的收入增产差异是5β,到1985年时,男女之间的收入增产差异是55δβ+。
我们可以检验在这7年间男女的收入差异没有变化的零假设为0:
50=δH,备择假设为
0:
51>δH;
为分析直观起见,模型中假设了在两个时期工作经验和是否工会组织成员对收入的影响相同。
在进行模型估计之前还要考虑两个时期收入的通货膨胀率影响,要使用相应的物价指数对两个时期的收入进行调整。
代入相关数据得到估计模型为:
ereducyeducywageexp0296.0850185.00747.085118.0459.0log(+⋅+++=(0.093(0.124(0.0067(0.0094(0.0036
eryfemaleunionerexp85085.0317.00202.0exp0004.02⋅+-+-
(0.00008(0.030(0.037(0.051
n=1084,426.02=R,422.0.2=RAdj。
1978年的教育收益是7.5%,1985年的教育收益是9.35%,比1978年高了1.85%;两个时期差异的t统计量是1.85/0.94=1.97,两个时期的教育收益差异在5%的双边检验是显著的。
1978年女性比男性的收入要低31.7%,到1985年降低到23.2%,两个时期的性别差异降低了8.5%,两个时期差异的t统计量是8.5/5.1=1.67,在5%的单边检验是显著的。
如果对模型中的每一个系数都使用与年虚拟变量的乘积,就相当于分别对两年的数据进行回归。
当不同时间点之间数据的差异不仅是水平的漂移,还可能有方差的不同时,就需要使用更复杂的方法,后面会对此进行专门的讨论。
6.2.2结构改变的Chow检验
联合横截面数据是否可以直接进行回归,在不同的时段上横截面是否一致或可以看成是一致的,可以通过一个F检验来考察。
假定只有两个时期的数据,限制模型可以直接通过对所有样本进行联合横截面回归而得到残差平方和SSR;完全模型是分别对两个时期的数据进行横截面回归而分别得到残差平方和SSR1和SSR2,二者之和即为总的无限制模型残差平方和。
在两个时期的时候,也可以通过对其中一年的样本在每一变量都使用年虚拟变量乘积项,对年虚拟变量和交叉乘积项进行联合显著性检验也可以给出所要的结果。
这一检验方
法还可以只对其中的一部分变量(怀疑具有差异可能性比较大使用交叉项,可以提高检验的功效。
面对多时期的数据时,同样可以考虑具有不同的截距项,也可以考虑其中的一些变量具有不同的斜率项系数。
要想回答这一问题,可以通过使用虚拟变量的乘积项来考察斜率系数是否在不同时期发生了改变。
回归的模型中,除了基准年外,其他的年变量都要与其中的一个变量,几个变量或全部变量进行乘积而加入到模型中。
对加入模型中的乘积项检验它们的联合显著性就可以回答所要的结论。
当样本中包含很多时期的数据时,这一方法就会显得比较繁琐。
假定有T个时期的数据,此时的限制模型可以直接通过对所有样本进行联合横截面回归,允许各年的数据具有不同的截距项,得到残差平方和为SSR;完全模型是分别对T个时期的数据进行横截面回归而分别得到T个模型的残差平方和为TSSRSSRSSR,,,21。
这T个残差平方之和即为总的无限制模型残差平方和TuSSRSSRSSRSSR+++=21。
假定模型中考虑了k个解释变量,则在检验中加入的约束条件为kT1(-个,在无限制模型中需要估计的参数是1(+kT个。
假定每个时期的样本量分别为:
Tnnn,,,21,总的样本量为Tnnnn+++=21,检验统计量为:
SSR
SSRSSRkTkTnFu-⋅-+-=1(1((6.1则有检验统计量F服从自由度分别为kT1(-和1(+-kTn的F分布。
这一F检验只能对模型系数在不同时期之间是否存在差异进行检验。
当不同时期之间存在异方差时,检验结果不稳健,具有比较低的功效。
6.2.3联合横截面数据的策略分析
联合横截面数据可以用来分析事件或策略的影响。
可以通过一个事件发生前后收集的数据来反映事件的影响。
例如要分析一个公益设施、一条轨道交通、一个垃圾处理站的建立对周边地区房价的影响。
考虑一个垃圾处理站的建立,可以通过这一设施建立前后两年附近地区及其他地区的数据来给出。
假定调查到的数据是1999年和2002年,房价用rprice表示,使用简单回归模型,一个小区是否接近这一垃圾处理站使用虚拟变量nearl,只使用2002年的数据得到简单回归模型为:
2002年:
nearlrprice069.3131.10-=1999年:
nearlrprice882.1252.8-=(0.3093(0.5828(0.2654(0.5828
n=142,165.02=Rn=179,082.02=R。
模型中的截距项表示不在垃圾处理站附件房子的平均价格,nearl的系数是垃圾处理站附近与其他地区平均房价的差异,这一估计系数的t统计量超过了5,是非常显著的,似乎有很强的证据拒绝两个地区的房价有差异。
假若我们只使用1999年的数据进行同样的回归模型,得到简单回归模型,结果显示在垃圾处理站建立之前两个地区的房价差异也是非常显著的。
按照常识,人们也会认为垃圾处理站会建立在比较偏僻,或房价比较低的地区,在未建立处理站前,这一地区的房价也是低的。
而我们在此需要回答的是建立垃圾处理站是否影响了这一地区的房价。
在两个时期,两个地区房价的差异是:
-3.069-(-1.882=-1.187。
为了得到这一差异是否显著,还需要得到它的标准差,为此可以通过回归模型来实现,模型为:
εδβδβ+⋅+++=nearlynearlyrprice02021100。
使用两个时期的数据代入模型进行估
计可以得到所感兴趣的乘积项系数1δ是否显著需要的标准差,估计的结果列于表6.1中,表中的第一列表示只使用虚拟变量的模型,第二列的模型控制了房子的年限,第三列进一步控制了影响房价的其他变量,包括:
与中心城区的距离,站地面积,建筑面积,居室数,卫生间数等。
表6.1房价影响模型
没有控制任何变量的模型1,乘积项系数1的基本不具有显著性,控制了房屋年限后的t统计量为3.45;控制更多变量后,乘积项系数1δ的显著性基本没有改变,t统计量为2.84,但估计的标准差更小。
如果房价采用对数形式,可以得到可以给出模型4和模型5,在没有控制任何变量的时候,乘积项系数1δ的不显著;当控制了更多的因素后,乘积项系数1δ为-0.132,t统计量为
2.53,具有显著差异。
这一方法可以对发生事件或政策、策略的实施的影响进行分析,这类影响事件也被称为自然试验,就是某个外部事件的发生改变了个人、家庭、公司或城市、地区等单元的环境。
一个自然试验需要有两个样本组:
一个是分析组,即受事件影响的那些样本;一个是控制组,是不受事件影响的那些样本。
对两个组的选择有些随意性,但分类要清晰。
为了克服事件前后两个样本组之间存在的系统性差异,需要各组有事件发生前后两个时期的数据。
记分析组为A,控制组为B,A为虚拟变量,当样本属于分析组时取1,其他为0;D2为虚拟变量,当样本属于第二个时期取值为1,其他为0。
回归模型可以表示为:
εδβδβ++⋅+++=rsotherfactoADADy221100(6.2
y是研究者感性的变量,如价格,收入等。
在没有控制其他变量的简单模型中,乘积项系数1δ表示的是组间差异的差异:
((,1,1,2,21BABA---=δ,y在事件后两个组平均值的差与事件前两个组平均值的差之差。
加入了其他控制变量之后,1δ不再是直接的差异,而是控制了其他因素之后的系统性差异。
控制组可以是不同地区的公司或不同地区的居民,例如,出口退税政策对公司的影响,分析组是出口型企业,控制组可以是该地区的其他企业,也可以是同行业的其他企业,甚至是全国所有的企业等。
6.3面板数据回归模型
6.3.1面板数据的模型特点
当拥有两个或几个时期的数据时,如果通过(5.1的检验不能拒绝零假设,可以直接使用联合横截面的回归分析方法。
如果检验拒绝了零假设,则面板数据需要通过加入虚拟变量的方法而使用联合横截面的回归方法来给出所需要的结果。
用i表示横截面的单元,t表示样本来自不同的时期,带年份虚拟变量的回归模型可以表示为:
itikitkittTtitxxdTdyεαββδδδ++++++++=11212(6.3其中ity表示样本是取自第i个单元(个人、公司,城市,省份等第t个时期的数据。
ttdTd,,2表示时期的虚拟变量,一共有T-1个,第一个时期作为基准;在第t时期选取的样本,虚拟变量tdt取值为1,其他虚拟变量取值为0。
基准时期的截距项系数为1δ,假定第1时期为基准时期,则第t时期的截距项系数为tδδ+1。
这一模型允许在不同时期具有不同的截距项。
模型中的iα是面板数据中的一个重要特点,它使得模型可以允许不同的样本单元在任何一时期都存在着模型没有考虑的,或者说是研究中没有办法观测到的,其他的因素对样本中的一个单元存在着在所有时期都具有的固定的影响,称为不可观测因素或者称为是固定效应。
例如在对收入的研究中,固定效应表示的是调查对象具有的一些特殊的天赋或技能,使其在教育水平等特征与他人相同时,也在任何时期能获得更高的或更低的收入。
在CEO年薪的例子中就表示有些公司由于自身环境或CEO与公司的特殊关系等因素倾向于向CEO支付更高或更低的薪水。
模型的干扰项itε中所包含的也是不可观测的因素,但这一项中所包含的不可观测因素是随时期会有变化,个体也存在差异。
而iα中所包含的是在所有时期不会变化的部分。
这一干扰项中所包含的实际上是类似于时间序列模型中的干扰项。
怎么才能得到模型系数的无偏估计呢,是否可以使用联合横截面的OLS估计来给出估计?
这样做存在两个问题:
要想得到模型系数的一致估计,首先需要假设固定效应iα与解释变量itkititxxx,,21不相关,否则就违背类回归模型的假设3。
其次是要求不同单元的截距项是相同的。
如果直接使用联合横截面回归,相当于把干扰项假设为itiitεαν+=,这一干扰项称为复合干扰项。
如果假定模型中原来的干扰项itε之间是彼此无关的,即0,(=jsitCovεε,st≠,ji≠。
对于同一单元得到的复合干扰项则有:
(,(iisitVarCovανν=(6.4
由此可见,这一模型中,同一单元的干扰项在时间方向是序列相关的,除非0(=iVarα,即不同单元的截距相同。
即使假设了干扰项itε与解释变量无关,如果不同样本单元的截距不同,则联合横截面给出的估计是有偏的和不一致的。
但这一异质的偏差只是由于模型中缺少了一个在每一单元的不同时期都是常数的变量。
这一在每个时期不变的影响因素很容易通过模型变换而排除其影响。
6.3.2面板数据分析的差分模型
对在不同单元存在不同截距项的问题进行处理时,最直接的想法就是通过变换而消除这一常数。
一种做法是把同一单元的数据在不同时期之间进行差分而消除截距项。
例如,对只有两个时期的模型:
166
itiitkkititxxdyεαββδβ++++++=11110,t=1,2,ni,,2,1=(6.5把两个时期的方程对应同一单元相减得到:
121211211112((iikikikiiiixxxxyyεεββδ-+-++-+=-
或ikikiixxyεββδ∆+∆++∆+=∆111,ni,,2,1=(6.6
这是对原来的自变量和因变量都进行差分而得到的模型,称为差分模型。
差分模型给出的系数与原模型中的系数相同。
然而,由于差分模型符合回归模型要求的假设条件,因此给出的估计具有所需要的性质。
这一差分模型还同时排除了假设解释变量itkititxxx,,21与因变量的后滞项1-ity有关的问题。
在差分模型中需要注意的一个重要方面是,解释变量itkititxxx,,21在不同的时期要有变化。
例如教育年限可能对很多人就是多年不变,或者是每个单元都有相同的改变,例如工作年限等。
使用差分模型可以避免很多问题,还能比较直观地给出结果而不受样本单元异质性的影响;但使用这一方法也有其局限性。
首先是面板数据的收集比较困难,特别是对个人,会因为家庭的搬迁,公司的破产收购等影响,导致有些单元缺失。
在研究中如果简单的把这些没有收集到的单元剔除,可能会带来选样偏差的问题。
即使数据已经收集好,使用差分模型也有自己的不足。
差分很可能会使自变量的变化幅度大幅减小,特别是使用逐年的数据进行差分时,这将会大大降低检验统计量的功效。
当涉及的时期比较多时,使用虚拟变量将会变得比较繁琐,不能再使用每个时期的单独模型来进行比较,需要使用年份虚拟变量的模型:
itiitkkittTtitxxdTdyεαββδδδ++++++++=11212(6.7
假定解释变量是外生的,也即干扰项与解释变量无关:
0,(=ititjxCovε,kj,,1=。
此时,如果各单元的不可观测效应iα与解释变量itjx相关,则解释变量itjx将会与复合干扰项itiitεαν+=相关;直接使用OLS方法将不能给出无偏估计。
为此需要去除不可观测效应项iα包含在干扰项中而产生的干扰项与自变量相关。
类似前面的两时期,可以对每一个时期建立一个回归模型,再进行相减。
采用对相邻的两个时期的模型对应相减得到:
1111111112(((22(------+-++
+-+-++-=∆ititititkkititttTttitxxxxdTdTddyεεββδδ
或ititkkittTtitxxdTdyεββδδ∆+∆++∆+∆++∆=∆1122,Tt,2=(6.8包含年虚拟变量的模型可以排除在不同时期之间存在规模效应的问题。
例如公司在不同年份可能有不同的规模水平。
差分后的样本量为n(T-1,可以使用最小二乘估计方法给出上述模型的估计,进行t检验和F检验等。
这一模型的估计需要假设0,(1=∆∆-ititCovεε,但这一假设不一定会成立。
如果原来的模型中的假设是对的,即0,(1=-ititCovεε,2(σε=itVar;则有:
(,(2111------=∆∆ititititititCovCovεεεεεε,(,(,(211121------+--=itititititititCovCovCovεεεεεεε
2110,(0σεε-=+-=--ititVar.
其自相关系数为:
(*(/,(,(2112111-----------=∆∆ititititititititititVarCovεεεεεερ
167
5.022/222-=⨯-=σσσ(6.9
如果原来模型中的干扰项itε是一平稳的AR(1序列,itititηρεε+=-1,也有:
(,(,(,(,(2111211-------+--=∆∆ititititititititititCovCovCovCovCovεεεεεεεεεε21212121212222
2ηρηρρηρηρρηρρσσσσσ-----=+--=1
22211/(,(---=⨯=∆∆ρηηηρσσσεερitit(6.10
只有当itε是一随机游动序列,即1=ρ时,才有0,(1=∆∆-ititCovεε。
为此需要检验差分序列itε∆的自相关性。
通过联合横截面回归得到模型(4.7的残差序列ititξε=∆,再用itξ对
1-itξ进行回归ititite+=-1ρξξ(niTt,,1,,3==
得到模型的估计系数为ρˆ,通过t检验可以检验零假设0:
0=ρH。
如果检验的结果是拒绝零假设,需要采用可行的广义最小二乘方法(FGLS来纠正干扰项存在自相关的影响。
如果检验没有拒绝,则可以直接使用OLS来给出结果,并进行相关的检验。
为避免异方差的影响,也可以使用异方差稳健的方法给出估计的标准差。
例:
使用1981-1987年的数据来给出北卡罗拉州各县的犯罪率。
log(398.087041.086028.085005.084048.083100.0008.0log(polpcdddddcrmrit∆+++---=∆(0.017(0.024(0.024(0.023(0.024(0.024(0.027
[0.014][0.022][0.020][0.025][0.021][0.024][0.101log(327.0log(022.0log(165.0log(238.0prbarravgsemprbprisprbconv∆-∆-∆-∆-
(0.018(0.026(0.022(0.030
[0.039][0.045][0.025][0.056]
422.0,433.0,54022===Rn
polpc
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