届二轮复习专题11集合及其运算学案全国通用.docx
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届二轮复习专题11集合及其运算学案全国通用
第一节 集合及其运算
最新考纲
1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系.
2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.
3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.
4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.
5.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及运算.
知识梳理
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性:
确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法:
列举法、描述法、Venn图法.
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N+)
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
集合间的基本关系[来源:
学#科#网]
相等
集合A与集合B中的所有元素都相同[来源:
Z§xx§k.Com][来源:
学_科_网Z_X_X_K]
A=B
子集
A中任意一个元素均为B中的元素
A⊆B
真子集
A中任意一个元素均为B中的元素,且B中至少有一个元素不是A中的元素
A
B
空集
空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集
3.集合的基本运算
并集
交集
补集
图形表示
符号表示
A∪B
A∩B
∁UA
意义
{x|x∈A或x∈B}
{x|x∈A且x∈B}
{x|x∈U且x∉A}
4.集合关系与运算的常用结论
(1)若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个.
(2)任何集合是其本身的子集,即:
A⊆A.
(3)子集的传递性:
A⊆B,B⊆C⇒A⊆C.
(4)A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B.学=科网
(5)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).
典型例题
考点一 集合的基本概念
【例1】
(1)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )
A.1B.3
C.5D.9
【答案】C
【解析】因为A={0,1,2},所以B={x-y|x∈A,y∈A}={0,-1,-2,1,2}.故集合B中有5个元素.
(2)已知a,b∈R,若
={a2,a+b,0},则a2019+b2019为( )
A.1B.0
C.-1D.±1
【答案】C
【解析】由已知得a≠0,则
=0,所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1,又根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去,因此a=-1,故a2019+b2019=(-1)2019+02019=-1.
(3)若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=( )
A.
B.
C.0D.0或
【答案】D
【解析】若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或有两个相等实根.
当a=0时,x=
,符合题意;
当a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0,得a=
,
所以a的取值为0或
.
(4)已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,a-2,a2+1},若A∩B={-3},则a=________.
【答案】-1
【解析】由A∩B={-3}知,-3∈B.又a2+1≥1,故只有a-3,a-2可能等于-3.
①当a-3=-3时,a=0,此时A={0,1,-3},B={-3,-2,1},A∩B={1,-3}.
故a=0舍去.
②当a-2=-3时,a=-1,此时A={1,0,-3},B={-4,-3,2},
满足A∩B={-3},故a=-1.
规律方法解决集合概念问题的一般思路
(1)研究一个集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看元素的限制条件,当集合用描述法表示时,注意弄清其元素表示的意义是什么.本例
(1)集合B中的代表元素为实数p-q.
(2)要深刻理解元素的互异性,在解决集合中含有字母的问题时,一定要返回代入验证,防止与集合中元素的互异性相矛盾.
【变式训练1】
(1)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为________.
【答案】-
(2)设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中的元素个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】B
【解析】因为集合M中的元素x=a+b,a∈A,b∈B,所以当b=4,a=1,2,3时,x=5,6,7.
当b=5,a=1,2,3时,x=6,7,8.
由集合元素的互异性,可知x=5,6,7,8.
即M={5,6,7,8},共有4个元素.
(3)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=
,则b-a=( )
A.1B.-1
C.2D.-2
【答案】C
【解析】因为{1,a+b,a}=
,a≠0,
所以a+b=0,则
=-1,所以a=-1,b=1,所以b-a=2.
(4)已知集合A={x∈R|ax2+3x-2=0},若A=∅,则实数a的取值范围为________.
【答案】a<-
【解析】由A=∅知方程ax2+3x-2=0无实根,
当a=0时,x=
不合题意,舍去;
当a≠0时,Δ=9+8a<0,∴a<-
.
考点二 集合间的基本关系
【例2】
(1)[2015·江苏卷]已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则集合A∪B中元素的个数为________.
【答案】5
【解析】因为A∪B={1,2,3,4,5},所以A∪B中元素的个数为5.
(2)集合A={1,4,7,10,13,16,19,21},则集合A有________个子集、________个真子集、________个非空子集、________个非空真子集.
【答案】28 28-1 28-1 28-2
【解析】因为集合A中有8个元素,所以集合A有28个子集,28-1个真子集,28-1个非空子集,28-2个非空真子集.
(3)设P={y|y=-x2+1,x∈R},Q={y|y=2x,x∈R},则( )
A.P⊆QB.Q⊆P
C.∁RP⊆QD.Q⊆∁RP
【答案】C
【解析】因为P={y|y=-x2+1,x∈R}={y|y≤1},Q={y|y=2x,x∈R}={y|y>0},所以∁RP={y|y>1},所以∁RP⊆Q,故选C.
(4)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )
A.1B.2
C.3D.4
【答案】D
【解析】由x2-3x+2=0得x=1或x=2,∴A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4},
∴满足条件的C可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.
(5)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围为________.
【答案】(-∞,3]
【解析】因为B⊆A,
∴①若B=∅,则2m-1 1若B≠∅,则 解得2≤m≤3. 由①②可得,符合题意的实数m的取值范围为(-∞,3]. 规律方法根据两集合的关系求参数的方法 (1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解. (2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题. 【变式训练2】 (1)已知集合A={x|x<-3或x>7},B={x|x<2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是________. 【答案】(-∞,-1] 【解析】由题意知2m-1≤-3,m≤-1,∴m的取值范围是(-∞,-1]. (2)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若A⊆B,则实数m的取值范围为________. 【答案】∅ 【解析】若A⊆B,则 即 所以m的取值范围为∅. (3)已知集合A={1,2},B={x|x2+mx+1=0,x∈R},若B⊆A,则实数m的取值范围为________. 【答案】[-2,2) 【解析】①若B=∅,则Δ=m2-4<0, 解得-2<m<2; ②若1∈B,则12+m+1=0, 解得m=-2,此时B={1},符合题意; ③若2∈B,则22+2m+1=0, 解得m=- ,此时B= ,不合题意. 综上所述,实数m的取值范围为[-2,2). (4)已知集合M={x|x2-2x-3<0},N={x|x>a},若M⊆N,则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,-1]B.(-∞,-1) C.[3,+∞)D.(3,+∞) 【答案】A 【解析】M={x|(x-3)(x+1)<0}=(-1,3),又M⊆N,因此有a≤-1,即实数a的取值范围是(-∞,-1]. (5)已知集合A={x|(x+1)(x-3)<0},B={x|-m<x<m}.若B⊆A,则m的取值范围为________. 【答案】m≤1 考点三 集合的基本运算 有关集合运算的考题,在高考中多以选择题或填空题的形式呈现,试题难度不大,多为低档题,集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系,考查对集合的理解及不等式的有关知识;有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题,考查学生灵活处理问题的能力. 主要有以下几个命题角度: 角度一 离散型数集间的交、并、补运算 【例3】设全集U={0,1,2,3,4,5},集合A={2,4},B={y|y=log (x-1),x∈A},则集合(∁UA)∩(∁UB)=( ) A.{0,4,5,2}B.{0,4,5} C.{2,4,5}D.{1,3,5} 【答案】D 【解析】 由题意知B={0,2},∴∁UA={0,1,3,5},∁UB={1,3,4,5},∴(∁UA)∩(∁UB)={1,3,5}. 角度二 连续型数集间的交、并、补运算 【例4】 (1)设全集U=R,A={x|x(x+3)<0},B={x|x<-1},则图中阴影部分表示的集合为( ) A.{x|-3 C.{x|-1≤x<0}D.{x|x<-3} 【答案】C 【解析】 因为A={x|x(x+3)<0}={x|-3 (2)设集合A={x|(x+1)(x-2)<0},B={x|1 【答案】{x|-1 【解析】 因为A={x|(x+1)(x-2)<0}={x|-1 ∴A∪B={x|-1 (3)已知集合A={y|y=x2-2x,x∈R},B={y|y=-x2+2x+6,x∈R},则A∩B=__________. 【答案】{y|-1≤y≤7} 【解析】因为y=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,y=-x2+2x+6=-(x-1)2+7≤7, ∴A={y|y≥-1},B={y|y≤7},故A∩B={y|-1≤y≤7}. 【题点发散1】 本例(3)中,若集合A变为“A={x|y=x2-2x,x∈R}”,其他条件不变,求A∩B. 【答案】A∩B={y|y≤7} 【解析】因为A中元素是函数自变量,则A=R, 而B={y|y≤7},则A∩B={y|y≤7}. 【题点发散2】 本例(3)中,若集合A,B中元素都为整数,求A∩B. 【答案】A∩B={-1,0,1,2,3,4,5,6,7} 【解析】由(3)可知A∩B={y|-1≤y≤7}, 则当A,B中元素都为整数时,A∩B={-1,0,1,2,3,4,5,6,7}. 【题点发散3】 本例(3)中,若集合A,B不变,试求(∁RA)∪(∁RB). 【答案】(∁RA)∪(∁RB)={y|y<-1或y>7} 【解析】∵A={y|y≥-1},B={y|y≤7}, ∴∁RA={y|y<-1},∁RB={y|y>7}, 故(∁RA)∪(∁RB)={y|y<-1或y>7}. 【题点发散4】 本例(3)中,若集合A,B变为“A={(x,y)|y=x2-2x,x∈R},B={(x,y)|y=-x2+2x+6,x∈R}”,求A∩B. 【答案】A∩B={(3,3),(-1,3)} 【解析】由 ⇒x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1. 于是, 或 故A∩B={(3,3),(-1,3)}. 角度三 根据集合的运算结果求参数 【例5】 (1)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0}.若(∁UA)∩B=∅,则m的值是________.学科=网 【答案】2 【解析】∵(∁UA)∩B=∅,∴B⊆A.又A={x|x2+3x+2=0}={-1,-2}, ∴-1和-2是方程x2+(m+1)x+m=0的两个根.∴m=2. (2)已知集合A={x|x2-2x-8≤0},B={x|x2-(2m-3)x+m(m-3)≤0,m∈R},若A∩B=[2,4],则实数m=________. 【答案】5 【解析】由题知A=[-2,4],B=[m-3,m], 因为A∩B=[2,4], 故则m=5. 角度四 新定义集合问题 【例6】若x∈A,则 ∈A,就称A是伙伴关系集合,集合M= 的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( ) A.1B.3 C.7D.31 【答案】3 【解析】具有伙伴关系的元素组是-1; ,2,所以具有伙伴关系的集合有3个: {-1}, , . 规律方法 解决集合的基本运算问题,从三点入手 (1)离散型数集或抽象集合间的运算,常借用Venn图求解.(如角度一) (2)集合中的元素若是连续的实数,常借助数轴求解,但是要注意端点值能否取到等号的情况.(如角度二) (3)根据集合运算求参数,先把符号语言译成文字语言,然后适时应用数形结合求解.(如角度三) 【变式训练3】 (1)(2016·浙江卷)设集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁RQ)=( ) A.[2,3]B.(-2,3] C.[1,2)D.(-∞,-2)∪[1,+∞) 【答案】B 【解析】易知Q={x|x≥2或x≤-2}.∴∁RQ={x|-2 又P={x|1≤x≤3},故P∪(∁RQ)={x|-2 (2)(2016·山东卷)设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5},则∁U(A∪B)=( ) A.{2,6}B.{3,6} C.{1,3,4,5}D.{1,2,4,6} 【答案】A 【解析】∵A={1,3,5},B={3,4,5},∴A∪B={1,3,4,5}, 又全集U={1,2,3,4,5,6},因此∁U(A∪B)={2,6}. (3)[2018·陕西模拟]设全集U=R,集合A= ≥0},B={x∈Z|x2≤9},则图中阴影部分表示的集合为( ) A.{1,2}B.{0,1,2} C.{x|0≤x<3}D.{x|0≤x≤3} 【答案】B (4)对于集合M,N,定义M-N={x|x∈M,且x∉N},M⊕N=(M-N)∪(N-M),设A= ,B={x|x<0,x∈R},则A⊕B=( ) A. B. C. ∪[0,+∞)D. ∪(0,+∞) 【答案】 C 【解析】 依题意得A-B={x|x≥0,x∈R},B-A= ,故A⊕B= ∪[0,+∞). 课堂总结 1.在解题时经常用到集合元素的互异性,一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点;另一方面,在解答完毕时,注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确. 2.求集合的子集(真子集)个数问题,需要注意以下结论的应用: 含有n个元素的集合有2n个子集,有2n-1个非空子集,有2n-1个真子集,有2n-2个非空真子集. 3.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心. 课后作业 1.[2016·新课标全国卷Ⅰ]设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意得,A={x|1 ,则A∩B= .故选D. 2.[2016·新课标全国卷Ⅱ]已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=( ) A.{1}B.{1,2} C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3} 【答案】C 【解析】由已知可得B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z}={x|-1 3.[2016·新课标全国卷Ⅲ]设集合S={x|(x-2)·(x-3)≥0},T={x|x>0},则S∩T=( ) A.[2,3]B.(-∞,2]∪[3,+∞) C.[3,+∞)D.(0,2]∪[3,+∞) 【答案】D 【解析】集合S=(-∞,2]∪[3,+∞),结合数轴,可得S∩T=(0,2]∪[3,+∞). 4.[2015·新课标全国卷Ⅱ]已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=( ) A.{-1,0}B.{0,1} C.{-1,0,1}D.{0,1,2} 【答案】A 【解析】由题意知B={x|-2 5.[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B=( ) A.[-2,-1]B.[-1,2) C.[-1,1]D.[1,2) 【答案】A 【解析】∵A={x|x≥3或x≤-1},B={x|-2≤x<2},∴A∩B={x|-2≤x≤-1}=[-2,-1],故选A. 6.[2017·广西南宁模拟]已知集合M={x|x2-2x-3<0},N={x|x>a},若M⊆N,则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,-1]B.(-∞,-1) C.[3,+∞)D.(3,+∞) 【答案】A 【解析】M={x|(x-3)(x+1)<0}=(-1,3),又M⊆N,因此有a≤-1,即实数a的取值范围是(-∞,-1]. 7.[2017·北京高考]若集合A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},则A∩B=( ) A.{x|-2<x<-1}B.{x|-2<x<3} C.{x|-1<x<1}D.{x|1<x<3} 【答案】 A 【解析】∵A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},∴A∩B={x|-2<x<-1}.故选A. 8.[2017·全国卷Ⅰ]已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则( ) A.A∩B={x|x<0}B.A∪B=R C.A∪B={x|x>1}D.A∩B=∅ 【答案】A 【解析】 ∵B={x|3x<1},∴B={x|x<0}. 又A={x|x<1},∴A∩B={x|x<0},A∪B={x|x<1}.故选A. 9.[2018·重庆模拟]已知集合A={x∈N|πx<16},B={x|x2-5x+4<0},则A∩(∁RB)的真子集的个数为( ) A.1B.3 C.4D.7 【答案】B 【解析】 因为A={x∈N|πx<16}={0,1,2},B={x|x2-5x+4<0}={x|1 10.[2017·全国卷Ⅱ]设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=( ) A.{1,-3}B.{1,0} C.{1,3}D.{1,5} 【答案】 C 【解析】 ∵A∩B={1},∴1∈B.∴1-4+m=0,即m=3. ∴B={x|x2-4x+3=0}={1,3}.故选C. 11.[2017·山东高考]设函数y= 的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=( ) A.(1,2)B.(1,2] C.(-2,1)D.[-2,1) 【答案】D 【解析】 ∵4-x2≥0,∴-2≤x≤2,∴A=[-2,2]. ∵1-x>0,∴x<1,∴B=(-∞,1),∴A∩B=[-2,1).故选D. 12.[2017·全国卷Ⅲ]已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为( ) A.3B.2 C.1D.0 【答案】B
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