专题15 椭圆及其性质高考文数母题题源系列全国Ⅲ专版解析版.docx

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专题15椭圆及其性质高考文数母题题源系列全国Ⅲ专版解析版

专题15椭圆及其性质

【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设为椭圆C:

的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若为等腰三角形，则M的坐标为___________．

【答案】

【解析】由已知可得，

，∴．

设点的坐标为，则，

又，解得，

，解得（舍去），

的坐标为．

【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标．

【母题原题2】【2017年高考全国Ⅲ卷文数】已知椭圆C：

的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，

直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，

整理可得，即即，

从而，则椭圆的离心率，

故选A．

【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．

【命题意图】要求掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质．主要考查考生的数学运算能力及考生对数形结合思想、转化与化归思想的应用．

【命题规律】椭圆的定义、标准方程、几何性质一直是高考的命题热点，其中标准方程和几何性质考查比较频繁；直线与椭圆的位置关系常与向量、圆、三角形等知识综合考查，多以解答题的形式出现，难度中等偏上．

【答题模板】

1．求椭圆的方程有两种方法

（1）定义法．根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程．

（2）待定系数法．一般步骤如下：

第一步，作判断．根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，或者是两个坐标轴上都有可能（这时需要分类讨论）．

第二步，设方程．根据上述判断设方程为+=1（a>b>0）或+=1（a>b>0）．

第三步，找关系．根据已知条件，建立关于a，b，c的方程（组）（注意椭圆中固有的等量关系c2=a2–b2）．

第四步，定结果．解方程组，将解代入所设方程，得所求．

注意

当椭圆焦点位置不明确时，有两种解决方法：

（1）分类讨论；

（2）设椭圆方程为+=1（m>0，n>0，m≠n），或Ax2+By2=1（A>0，B>0，且A≠B）．

2．求椭圆离心率或其范围的方法

（1）求出a，b或a，c的值，代入e2===1–（）2直接求；

（2）根据条件得到关于a，b，c的齐次等式（不等式），结合b2=a2–c2转化为关于a，c的齐次等式（不等式），然后将该齐次等式（不等式）两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）；

（3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．

【知识总结】

1．椭圆的几何性质

标准方程

+=1（a>b>0）

+=1（a>b>0）

图形

几

何

性

质

范围

–a≤x≤a，–b≤y≤b．

–b≤x≤b，–a≤y≤a．

对称性

对称轴：

x轴、y轴；对称中心：

原点．

焦点

F1（–c，0），F2（c，0）

F1（0，–c），F2（0，c）

顶点

A1（–a，0），A2（a，0），

B1（0，–b），B2（0，b）．

A1（0，–a），A2（0，a），

B1（–b，0），B2（b，0）．

轴

线段A1A2，B1B2分别是椭圆的长轴和短轴，长轴长为2a，短轴长为2b．

焦距

|F1F2|=2c

离心率

e==∈（0，1）

a，b，c的关系

c2=a2–b2

2．椭圆的通径（过焦点且垂直于长轴的弦）长为，通径是最短的焦点弦．

3．若P是椭圆上一点，F为椭圆的焦点，则|PF|∈[a–c，a+c]，即椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a+c，最小值为a–c．

4．椭圆的焦点三角形：

椭圆上的点P（x0，y）与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形．

如图所示，设∠F1PF2=θ．

（1）当P为短轴端点时，θ最大．

（2）=|PF1|·|PF2|·sinθ=b2·=b2tan=c|y0|，当|y0|=b，即P为短轴端点时，取最大值，最大值为bc．

（3）焦点三角形的周长为2（a+c）．

【方法总结】

1．椭圆定义的应用

（1）利用定义确定平面内的动点的轨迹是否为椭圆．

（2）利用定义解决与焦点三角形相关的周长、面积及最值问题．利用定义和余弦定理可求得|PF1|·|PF2|，进而求得焦点三角形的周长和面积．

（3）已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解．

2．椭圆几何性质的应用技巧

（1）与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．

（2）椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，–a≤x≤a，–b≤y≤b，0

1．【西藏拉萨市2019届高三下学期第二次模拟考试数学】设椭圆的两焦点分别为，，以为圆心，为半径的圆与交于，两点，若为直角三角形，则的离心率为

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】如图所示，因为为直角三角形，所以，

所以，则，解得，故选B．

【名师点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中合理利用椭圆的定义和离心率的概念求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

2．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】已知椭圆的左右焦点分别为，过作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，且，则椭圆的离心率=

A．B．

C．D．

【答案】D

【解析】椭圆的左右焦点分别为，过且斜率为的直线为，

联立直线与椭圆方程，

消后，化简可得，

因为直线交椭圆于A，B，设，

由韦达定理可得，

且，可得，代入韦达定理表达式可得

，即，

化简可得，所以，故选D．

【名师点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于难题．

3．【四川省雅安市2019届高三第三次诊断考试数学】已知点，，直线：

．若以、为焦点的椭圆与直线有公共点，则椭圆的离心率最大值为

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】椭圆C：

1（a>b>0）的左右焦点分别是F1（–1，0），F2（1，0），

可得c＝1，则，可得（a2+b2）x2+4a2x+4a2–a2b2＝0，

＝16a4–4（a2+b2）（4a2–a2b2）≥0，可得4a2–（2a2–1）（5–a2）≥0，解得a，

∴．故选A．

【名师点睛】本题考查椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力．

4．【四川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测数学】已知椭圆C的方程为，焦距为，直线与椭圆C相交于A，B两点，若，则椭圆C的离心率为

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为，则，

由，可知，即，解得，

所以，把点代入椭圆方程得到，

整理得，即，

因，所以可得，故选A．

【名师点睛】本题考查通过对已知条件的转化，将椭圆上一点的坐标用表示，再代入椭圆方程求出离心率，属于中档题．

5．【四川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试数学】如图，已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆C上一点，O为坐标原点，若，且，则椭圆C的离心率是

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】设．由椭圆的定义，得，①．

在中，由余弦定理，得，②．

得：

，③

将③代入②，得．

在中，由余弦定理，得，④

在中，由余弦定理，得，⑤

④+⑤，得，

化简，得，故，故选C．

【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．

6．【2019年四川省达州市高考数学一诊】已知椭圆的左右焦点分别为、，抛物线与椭圆C在第一象限的交点为P，若，则椭圆C的离心率为

A．B．或

C．D．或

【答案】D

【解析】作抛物线的准线l，则直线l过点，过点P作PE垂直于直线l，垂足为点E，

由抛物线的定义知，易知，轴，则，

，

设，则，由椭圆定义可知，，

在中，由余弦定理可得，

整理得，解得或．

当时，；

当时，离心率为．

综上所述，椭圆C的离心率为或．故选D．

【名师点睛】本题考查椭圆的性质，考查抛物线的定义以及余弦定理，考查计算能力与推理能力，属于中等题．

7．【四川省成都市成都外国语学校2019届高三3月月考数学】已知椭圆：

，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是

A．1B．

C．D．

【答案】C

【解析】由0

∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，则|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8，∴|BF2|+|AF2|＝8–|AB|．

当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此时|AB|＝b2，则5＝8–b2，解得b，故选C．

【名师点睛】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，考查椭圆的通径公式，考查计算能力，属于中档题．

8．【四川省绵阳市2019届高三第二次（1月）诊断性考试数学】已知椭圆C：

的右焦点为F，点A（−2，2）为椭圆C内一点．若椭圆C上存在一点P，使得｜PA｜＋｜PF｜＝8，则m的取值范围是

A．B．［9，25］

C．D．［3，5］

【答案】A

【解析】椭圆C：

的右焦点F（2，0），左焦点为F'（–2，0），

由椭圆的定义可得2＝|PF|+|PF'|，即|PF'|＝2–|PF|，可得|PA|–|PF'|＝8–2，

由||PA|–|PF'||≤|AF'|＝2，可得–2≤8–2≤2，解得，所以，①

又A在椭圆内，所以，所以8m–16

与①取交集得，故选A．

【名师点睛】本题考查椭圆的定义和性质的运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．

9．【四川省成都市高新区2019届高三上学期“一诊”模拟考试数学】已知椭圆，则下列结论正确的是

A．长轴长为B．焦距为

C．短轴长为D．离心率为

【答案】D

【解析】由椭圆方程化为标准方程可得，所以，

长轴为，焦距，短轴，离心率，故选D．

【名师点睛】本题考查了椭圆的标准方程及a、b、c的含义，椭圆离心率的求法，属于基础题．

10．【四川省棠湖中学2019届高三上学期第二次月考数学】已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】在中，设，右焦点E，由椭圆的对称性，知是平行四边形，所以在中，由余弦定理得，，选C．

【名师点睛】本题的关键是要看到椭圆的对称性把，转化到焦点中，再应用比值及余弦定理，可得离心率．

11．【云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试数学】已知，为椭圆的左，右焦点，为的短轴的一个端点，直线与的另一个交点为，若为等腰三角形，则

A．B．

C．D．3

【答案】A

【解析】设|AF1|＝t（t>0），由椭圆的定义可得|AF2|＝2a–t，由题意可知，|AF2|>|BF2|＝a，

由于△BAF2是等腰三角形，则|AB|＝|AF2|，

即a+