51第二十三章旋转.docx
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51第二十三章旋转
第二十三章旋转
23.1图形的旋转
(1)
本节课要掌握:
1.旋转及其旋转中心、旋转角的概念.2.旋转的对应点及其它们的应用.
例1.如图,如果把钟表的指针看做三角形OAB,它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF,在这个旋转过程中:
(1)旋转中心是什么?
旋转角是什么?
(2)经过旋转,点A、B分别移动到什么位置?
解:
(1)旋转中心是O,∠AOE、∠BOF等都是旋转角.
(2)经过旋转,点A和点B分别移动到点E和点F的位置.
例2.如图,四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形.
(1)这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的?
(2)请画出旋转中心和旋转角.
(3)指出,经过旋转,点A、B、C、D分别移到什么位置?
解
(1)可以看做是由正方形ABCD的基本图案通过旋转而得到的.
(2)画图略.(3)点A、点B、点C、点D移到的位置是点E、点F、点G、点H.
最后强调,这个旋转中心是固定的,即正方形对角线的交点,但旋转角和对应点都是不唯一的.
例3.两个边长为1的正方形,如图所示,让一个正方形的顶点与另一个正方形中心重合,不难知道重合
部分的面积为
,现把其中一个正方形固定不动,另一个正方形绕其中心旋转,问在旋转过程中,两个正方形重叠部分面积是否发生变化?
说明理由.
分析:
设任转一角度,如图中的虚线部分,要说明旋转后正方形重叠部分面积不变,只要说明S△OEE`=S△ODD`,那么只要说明△OEF′≌△ODD′.
解:
面积不变.
理由:
设任转一角度,如图所示.
在Rt△ODD′和Rt△OEE′中
∠ODD′=∠OEE′=90°∠DOD′=∠EOE′=90°-∠BOEOD=OD
∴△ODD′≌△OEE′∴S△ODD`=S△OEE`
∴S四边形OE`BD`=S正方形OEBD=
《同步练习》
一、选择题
1.在26个英文大写字母中,通过旋转180°后能与原字母重合的有()A.6个B.7个C.8个D.9个
2.从5点15分到5点20分,分针旋转的度数为()A.20°B.26°C.30°D.36°
3.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=40°,以直角顶点C为旋转中心,将△ABC旋转到△A′B′C的位置,其中A′、B′分别是A、B的对应点,且点B在斜边A′B′上,直角边CA′交AB于D,则旋转角等于().A.70°B.80°C.60°D.50°
(1)
(2)(3)
二、填空题.
1.在平面内,将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为________,这个定点称为________,转动的角为________.
2.如图2,△ABC与△ADE都是等腰直角三角形,∠C和∠AED都是直角,点E在AB上,如果△ABC经旋转后能与△ADE重合,那么旋转中心是点_________;旋转的度数是__________.
3.如图3,△ABC为等边三角形,D为△ABC内一点,△ABD经过旋转后到达△ACP的位置,则,
(1)旋转中心是________;
(2)旋转角度是________;(3)△ADP是________三角形.
三、综合提高题.
1.阅读下面材料:
如图4,把△ABC沿直线BC平行移动线段BC的长度,可以变到△ECD的位置.
如图5,以BC为轴把△ABC翻折180°,可以变到△DBC的位置.
(4)(5)(6)(7)
如图6,以A点为中心,把△ABC旋转90°,可以变到△AED的位置,像这样,其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的,这种只改变位置,不改变形状和大小的图形变换,叫做三角形的全等变换.
回答下列问题
如图7,在正方形ABCD中,E是AD的中点,F是BA延长线上一点,AF=
AB.
(1)在如图7所示,可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法,使△ABE移到△ADF的位置?
(2)指出如图7所示中的线段BE与DF之间的关系.
2.一块等边三角形木块,边长为1,如图,现将木块沿水平线翻滚五个三角形,那么B点从开始至结束所走过的路径长是多少?
23.1图形的旋转
(2)
本节课应掌握:
1.对应点到旋转中心的距离相等;2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;3.旋转前、后的图形全等及其它们的应用.
例1.如图,△ABC绕C点旋转后,顶点A的对应点为点D,试确定顶点B对应点的位置,以及旋转后的三角形.
分析:
绕C点旋转,A点的对应点是D点,那么旋转角就是∠ACD,根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角,即∠BCB′=ACD,又由对应点到旋转中心的距离相等,即CB=CB′,就可确定B′的位置,如图所示.
解:
(1)连结CD
(2)以CB为一边作∠BCE,使得∠BCE=∠ACD
(3)在射线CE上截取CB′=CB
则B′即为所求的B的对应点.
(4)连结DB′
则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形.
例2.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,且DE=
,△ABF是△ADE的旋转图形.
(1)旋转中心是哪一点?
(2)旋转了多少度?
(3)AF的长度是多少?
(4)如果连结EF,那么△AEF是怎样的三角形?
分析:
由△ABF是△ADE的旋转图形,可直接得出旋转中心和旋转角,要求AF的长度,根据旋转前后的对应线段相等,只要求AE的长度,由勾股定理很容易得到.△ABF与△ADE是完全重合的,所以它是直角三角形.
解:
(1)旋转中心是A点.
(2)∵△ABF是由△ADE旋转而成的
∴B是D的对应点∴∠DAB=90°就是旋转角
(3)∵AD=1,DE=
∴AE=
=
∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点
∴AF=
(4)∵∠EAF=90°(与旋转角相等)且AF=AE
∴△EAF是等腰直角三角形.
例3.如图,K是正方形ABCD内一点,以AK为一边作正方形AKLM,使L、M在AK的同旁,连接BK和DM,试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系.
分析:
要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的知识来说明.
解:
∵四边形ABCD、四边形AKLM是正方形
∴AB=AD,AK=AM,且∠BAD=∠KAM为旋转角且为90°
∴△ADM是以A为旋转中心,∠BAD为旋转角由△ABK旋转而成的
∴BK=DM
作业设计
一、选择题
1.△ABC绕着A点旋转后得到△AB′C′,若∠BAC′=130°,∠BAC=80°,则旋转角等于()
A.50°B.210°C.50°或210°D.130°
2.在图形旋转中,下列说法错误的是()
A.在图形上的每一点到旋转中心的距离相等B.图形上每一点移动的角度相同
C.图形上可能存在不动的点D.图形上任意两点的连线与其对应两点的连线长度相等
3.如图,下面的四个图案中,既包含图形的旋转,又包含图形的轴对称的是()
二、填空题
1.在作旋转图形中,各对应点与旋转中心的距离________.2题3题
2.如图,△ABC和△ADE均是顶角为42°的等腰三角形,BC、DE分别是底边,图中的△ABD绕A旋转42°后得到的图形是________,它们之间的关系是______,其中BD=_________.
3.如图,自正方形ABCD的顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F,∠EAF=45°,在保持∠EAF=45°的前提下,当点E、F分别在边BC、CD上移动时,BE+DF与EF的关系是________.
三、综合提高题
1.如图,正方形ABCD的中心为O,M为边上任意一点,过OM随意连一条曲线,将所画的曲线绕O点按同一方向连续旋转3次,每次旋转角度都是90°,这四个部分之间有何关系?
2.如图,以△ABC的三顶点为圆心,半径为1,作两两不相交的扇形,则图中三个扇形面积之和是多少?
3.如图,已知正方形ABCD的对角线交于O点,若点E在AC的延长线上,AG⊥EB,交EB的延长线于点G,AG的延长线交DB的延长线于点F,则△OAF与△OBE重合吗?
如果重合给予证明,如果不重合请说明理由?
23.1图形的旋转(3)
本节课应掌握:
1.选择不同的旋转中心、不同的旋转角,设计出美丽的图案;
2作出几个复合图形组成的图案旋转后的图案要先求出图中的关键点──线的端点、角的顶点、圆的圆心等.
例1.如下图是菊花一叶和中心与圆圈,现以O为旋转中心画出分别旋转45°、90°、135°、180°、225°、270°、315°的菊花图案.
例2如图,如果上面的菊花一叶,绕下面的点O′为旋转中心,请同学画出图案,它还是原来的菊花吗?
例3.如图,如何作出该图案绕O点按逆时针旋转90°的图形.
分析:
该备案是一个比较复杂的图案,是作出几个复合图形组成的图案,因此,要先画出图中的关键点,这些关键点往往是图案里线的端点、角的顶点、圆的圆心等,然后再根据旋转的特征,作出这些关键点的对应点,最后再按原图案作出旋转后的图案.
解:
(1)连结OA,过O点沿OA逆时针作∠AOA′=90°,在射线OA′上截取OA′=OA;
(2)用同样的方法分别求出B、C、D、E、F、G、H的对应点B′、C′、D′、E′、F′、G′、H′;
(3)作出对应线段A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′F′、F′A′、A′G′、G′D′、D′H′、H′A′;
(4)所作出的图案就是所求的图案.
作业设计
一、选择题
1.如图,摆放有五杂梅花,下列说法错误的是(以中心梅花为初始位置)()
A.左上角的梅花只需沿对角线平移即可
B.右上角的梅花需先沿对角线平移后,再顺时针旋转45°
C.右下角的梅花需先沿对角线平移后,再顺时针旋转180
D.左下角的梅花需先沿对角线平移后,再顺时针旋转90°
2.同学们曾玩过万花筒吧,它是由三块等宽等长的玻璃镜片围成的,如图23-33是看到的万花筒的一个图案,图中所有三角形均是等边三角形,其中的菱形AEFG可以看成把菱形ABCD以A为中心()
3.下面的图形23-34,绕着一个点旋转120°后,能与原来的位置重合的是()
A.
(1),(4)B.
(1),(3)C.
(1),
(2)D.(3),(4)
二、填空题1题3题
1.如图,五角星也可以看作是一个三角形绕中心点旋转_______次得到的,每次旋转的角度是________.
2.图形之间的变换关系包括平移、_______、轴对称以及它们的组合变换.
3.如图,过圆心O和图上一点A连一条曲线,将OA绕O点按同一方向连续旋转三次,每次旋转90°,把圆分成四部分,这四部分面积_________.
三、综合提高题.
1.请你利用线段、三角形、菱形、正方形、圆作为“基本图案”绘制一幅以“校运动会”为主题的徽标.
2.如图,是某设计师设计的方桌布图案的一部分,请你运用旋转的方法,将该图案绕原点O顺时针依次旋转90°、180°、270°,并画出图形,你来试一试吧!
但是涂阴影时,要注意利用旋转变换的特点,不要涂错了位置,否则你将得不到理想的效果,并且还要扣分的噢!
3.如图,△ABC的直角三角形,BC是斜边,将△ABP绕点A逆时针旋转后,能与△ACP′重合,如果AP=3,求PP′的长.
23.2中心对称
(1)
本节课应掌握:
1.中心对称及对称中心的概念;2.关于中心的对称点的概念及其运用
例1.如图,四边形ABCD绕D点旋转180°,请作出旋转后的图案,写出作法并回答.
(1)这两个图形是中心对称图形吗?
如果是对称中心是哪一点?
如果不是,请说明理由.
(2)如果是中心对称,那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点.
分析:
(1)根据中心对称的定义便直接可知这两个图形是中心对称图形,对称中心就是旋转中心.
(3)旋转后的对应点,便是中心的对称点.
解:
作法:
(1)延长AD,并且使得DA′=AD
(2)同样可得:
BD=B′D,CD=C′D
(3)连结A′B′、B′C′、C′D,则四边形A′B′C′D为所求的四边形,如图23-44所示.
答:
(1)根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形,对称中心是D点.
(2)A、B、C、D关于中心D的对称点是A′、B′、C′、D′,这里的D′与D重合.
例2.如图,已知AD是△ABC的中线,画出以点D为对称中心,与△ABD成中心对称的三角形.
分析:
因为D是对称中心且AD是△ABC的中线,所以C、B为一对的对应点,因此,只要再画出A关于D的对应点即可.
解:
(1)延长AD,且使AD=DA′,因为C点关于D的中心对称点是B(C′),B点关于中心D的对称点为C(B′)
(2)连结A′B′、A′C′.
则△A′B′C′为所求作的三角形,如图所示.
例3.如衅,在△ABC中,∠C=70°,BC=4,AC=4,现将△ABC沿CB方向平移到△A′B′C′的位置.
(1)若平移的距离为3,求△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积.
(2)若平移的距离为x(0≤x≤4),求△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积y,写出y与x的关系式.
分析:
(1)∵BC=4,AC=4
∴△ABC是等腰直角三角形,易得△BDC′也是等腰直角三角形且BC′=1
(2)∵平移的距离为x,∴BC′=4-x
解:
(1)∵CC′=3,CB=4且AC=BC
∴BC′=C′D=1
∴S△BDC`=
×1×1=
(2)∵CC′=x,∴BC′=4-x
∵AC=BC=4
∴DC′=4-x
∴S△BDC`=
(4-x)(4-x)=
x2-4x+8
作业设计
一、选择题
1.在英文字母VWXYZ中,是中心对称的英文字母的个数有()个.A.1B.2C.3D.4
2.下面的图案中,是中心对称图形的个数有()个
A.1B.2C.3D.4
3.如图,把一张长方形ABCD的纸片,沿EF折叠后,ED′与BC的交点为G,点D、C分别落在D′C′的位置上,若∠EFG=55°,则∠1=()A.55°B.125°C.70°D.110°
二、填空题
1.关于某一点成中心对称的两个图形,对称点连线必通过_________.
2.把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形是_________图形.
3.用两个全等的直角非等腰三角形可以拼成下面图形中的哪几种:
_______(填序号)
(1)长方形;
(2)菱形;(3)正方形;(4)一般的平行四边形;(5)等腰三角形;(6)梯形.
三、综合提高题
1.仔细观察所列的26个英文字母,将相应的字母填入下表中适当的空格内.
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
对称
形式
轴对称
旋转
对称
中心
对称
只有一条对称轴
有两条对称轴
2.如图,在正方形ABCD中,作出关于P点的中心对称图形,并写出作法.
3.如图,是由两个半圆组成的图形,已知点B是AC的中点,画出此图形关于点B成中心对称的图形.
23.2中心对称
(2)
中心对称的两条基本性质:
1.关于中心对称的两个图形,对应点所连线都经过对称中心,而且被对称中心所平分;
2.关于中心对称的两个图形是全等图形及其它们的应用
例1.如图,已知△ABC和点O,画出△DEF,使△DEF和△ABC关于点O成中心对称.
分析:
中心对称就是旋转180°,关于点O成中心对称就是绕O旋转180°,因此,我们连AO、BO、CO并延长,取与它们相等的线段即可得到.
解:
(1)连结AO并延长AO到D,使OD=OA,于是得到点A的对称点D,如图所示.
(2)同样画出点B和点C的对称点E和F.
(3)顺次连结DE、EF、FD.
则△DEF即为所求的三角形.
例2.(学生练习,老师点评)如图,已知四边形ABCD和点O,画四边形A′B′C′D′,使四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于点O成中心对称(只保留作图痕迹,不要求写出作法).
例3.如图等边△ABC内有一点O,试说明:
OA+OB>OC.
分析:
要证明OA+OB>OC,必然把OA、OB、OC转为在一个三角形内,应用两边之和大于第三边(两点之间线段最短)来说明,因此要应用旋转.以A为旋转中心,旋转60°,便可把OA、OB、OC转化为一个三角形内.
解:
如图,把△AOC以A为旋转中心顺时针方向旋转60°后,到△AO′B的位置,则△AOC≌△AO′B.
∴AO=AO′,OC=O′B
又∵∠OAO′=60°,∴△AO′O为等边三角形.
∴AO=OO′
在△BOO′中,OO′+OB>BO′
即OA+OB>OC
作业设计
一、选择题
1.下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
A.直角B.等边三角形C.直角梯形D.两条相交直线
2.下列命题中真命题是()
A.两个等腰三角形一定全等B.正多边形的每一个内角的度数随边数增多而减少
C.菱形既是中心对称图形,又是轴对称图形
D.两直线平行,同旁内角相等
3.将矩形ABCD沿AE折叠,得到如图的所示的图形,已知∠CED′=60°,则∠AED的大小是()
A.60°B.50°C.75°D.55°
二、填空题
1.关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过__________,而且被对称中心所________.
2.关于中心对称的两个图形是_________图形.
3.线段既是轴对称图形又是中心对称图形,它的对称轴是_________,它的对称中心是__________.
三、综合提高题
1.分别画出与已知四边形ABCD成中心对称的四边形,使它们满足以下条件:
(1)以顶点A为对称中心,
(2)以BC边的中点K为对称中心.
2.如图,已知一个圆和点O,画一个圆,使它与已知圆关于点O成中心对称.
3.如图,A、B、C是新建的三个居民小区,我们已经在到三个小区距离相等的地方修建了一所学校M,现计划修建居民小区D,其要求:
(1)到学校的距离与其它小区到学校的距离相等;
(2)控制人口密度,有利于生态环境建设,试写居民小区D的位置.
23.2中心对称(3)
本节课应掌握:
1.中心对称图形的有关概念;2.应用中心对称图形解决有关问题
例3.求证:
如图任何具有对称中心的四边形是平行四边形.
分析:
中心对称图形的对称中心是对应点连线的交点,也是对应点间的线段中点,因此,直接可得到对角线互相平分.
证明:
如图,O是四边形ABCD的对称中心,根据中心对称性质,线段AC、BD必过点O,且AO=CO,BO=DO,即四边形ABCD的对角线互相平分,因此,四边形ABCD是平行四边形.
三、巩固练习
教材P72练习.
四、应用拓展
例4.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,若将矩形折叠,使C点和A点重合,求折痕EF的长.
分析:
将矩形折叠,使C点和A点重合,折痕为EF,就是A、C两点关于O点对称,这方面的知识在解决一些翻折问题中起关键作用,对称点连线被对称轴垂直平分,进而转化为中垂线性质和勾股定理的应用,求线段长度或面积.
解:
连接AF,
∵点C与点A重合,折痕为EF,即EF垂直平分AC.
∴AF=CF,AO=CO,∠FOC=90°,又四边形ABCD为矩形,∠B=90°,AB=CD=3,AD=BC=4
设CF=x,则AF=x,BF=4-x,
由勾股定理,得AC2=BC2+AB2=52
∴AC=5,OC=
AC=
∵AB2+BF2=AF2∴32+(4-x)=2=x2
∴x=
∵∠FOC=90°
∴OF2=FC2-OC2=(
)2-(
)2=(
)2OF=
同理OE=
,即EF=OE+OF=
作业设计
一、选择题
1.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()
A.等边三角形B.等腰梯形C.平行四边形D.正六边形
2.下列图形中,是中心对称图形,但不是轴对称图形的是().
A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形
3.如图所示,平放在正立镜子前的桌面上的数码“21085”在镜子中的像是()
A.21085B.28015C.58012D.51082
二、填空题
1.把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做__________.
2.请你写出你所熟悉的三个中心对称图形_________.
3.中心对称图形具有什么特点(至少写出两个)_____________.
三、解答题
1.在平面内,如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合,那么就称这个图形是旋转对称图形,转动的这个角称为这个图形的一个旋转角,例如:
正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合,所以正方形是旋转对称图形,应有一个旋转角为90°.
(1)判断下列命题的真假(在相应括号内填上“真”或“假”)
①等腰梯形是旋转对称图形,它有一个旋转角为180°;()
②矩形是旋转对称图形,它有一个旋转角为180°;()
(2)填空:
下列图形中是旋转对称图形,且有一个旋转角为120°是_____.(写出所有正确结论的序号)
①正三角形;②正方形;③正六边形;④正八边形.
3)写出两个多边形,它们都是旋转对称图形,却有一个旋转角为72°,并且分别满足下列条件:
①是轴对称图形,但不是中心对称图形;②既是轴对称图形,又是中心对称图形.
2.如图,将矩形A1B1C1D1沿EF折叠,使B1点落在A1D1边上的B处;沿BG折叠,使D1点落在D处且BD过F点.
(1)求证:
四边形BEFG是平行四边形;
(2)连接BB,判断△B1BG的形状,并写出判断过程.
3.如图,直线y=2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点,将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A1OB1.
(1)在图中画出△A1OB1;
(2)设过A、A1、B三点的函数解析式为y=ax2+bx+c,求这个解析式.
3.2中心对称(4)
本节课应掌握:
两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P(x,y),关于原点的对称点P′(-x,-y),及其利用这些特点解决一些实际问题.
例1.如图,利用关于原点对称的点的坐标的特点,作出与线段AB关于原点对称的图形.
分析:
要作出线段AB关于原点的对称线段,只要作出点A、点B关于原点的对称点A′、B′即可.
解:
点P(x,y)关于原点的对称点为P′(-x,-y),
因此,线段AB的两个端点A(0,-1),B(3,0)关于原点的对称点分别为A′(1,0),B(-3,0).
连结A′B′.
则就可得到与线段AB关于原点对称的线段A′B′.
例2.已知△ABC,A(1,2),B(-1,3),C(-2,4)利用关于原点对称的点的坐标的特点,作出△ABC关于原点对称的图形.
例3.如图,直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B两点,将直线AB绕点O顺时针旋转90°得到直线A1B1.
(1)在图中画出直线A1B1.
(2)求出线段A1B1中点的反比例函数解析式.
(3)是否存在另一条与直线AB平行的直线y=kx+b(我们发现互相平行的两条直线斜率k值相
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