全国大学生数学建模竞赛A题全国二等奖优秀论文设计.docx

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全国大学生数学建模竞赛A题全国二等奖优秀论文设计

太阳影子定位

摘要

如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法，该技术的日益成熟将有利于对视频中的场景进行大致定位和推算出拍摄时间。

可能会对部分案件的破解等事件产生极大的帮助。

为了更精确的计算视频中的拍摄地点和摄影时间，本文主要基于MATLAB与Excel

处理软件，运用了遗传优化算法与模拟退火算法等，采用了视频数据化法、图片灰度化等处理手法，使计算更简便精确，使模型更完整可靠。

针对问题一，根据权威文献给出的太阳高度角算法建立模型一，先计算出太阳时角和太阳赤纬角后得到太阳高度角，再经过三角函数转换得到直杆的影长。

随后我们还考虑到因地球的大气状态并非真空状态会使到达地球的阳光折射，于是对太阳高度角进行了修正，使结果更加精确。

针对问题二，可以把这个问题当做是第一问的逆过程。

直杆影子的理论值与实际值的最小误差所对应的经纬度即为最优解。

在模型一的基础上，建立模型二并利用遗传算法计算此优化模型。

利用所给的21组坐标数据得到最优的直杆地点若干。

针对问题三，相较于问题二多了一个未知参数，在问题二的模型中加入这个未知参数即可得到模型三，得到最优的直杆地点与日期若干。

针对问题四，第一问中，利用MATLAB将视频每隔1min截取一张图片，把图片灰度化，测出影子、直杆底端与顶端的坐标，算得图中影长。

再根据已知图中影长、直杆实际长度与图中直杆长度的比例算出影长，运用模型二并进行优化后得出结果。

第二问中，运用模型三得到最优的视频的拍摄地点与日期若干，再进行优化得到最后结

果

关键词：

遗传算法太阳高度角模拟退火算法最小二乘拟合问题粒子群算法

1

一、问题重述

如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析技术的一个重要方面。

太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。

现需通过数学建模解决以下四个问题。

1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应

用建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:

00-15:

00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。

2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直

杆所处的地点。

将建好的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。

3.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直

杆所处的地点和日期。

将模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。

4．已知一根直杆已通过某种方式估计出其高度为2米与其在太阳下的影子变化

的视频，建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用此模型给出若干个可能的拍摄地点。

如果拍摄日期未知，分析能否根据视频确定出拍摄地点与日期。

二、模型假设

⑴假设影子长度为物体最高点在地面的落点到物体底端的距离

⑵假设本文中影子顶点的坐标系的建立都是在地面上以正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向

⑶不考虑地球在一天中某一时间段的公转对太阳高度角产生的影响

⑷假设附件中的测量数据准确可靠

⑸假设题四中直杆高度的估计值刚好为真实值且杆垂直于地面

⑹忽略在题四中使用隔一段时间截图的方法采集的数据造成的误差

2

三、符号说明及名称解释

符号

意义

h

太阳高度角

DE

太阳赤纬角

t

时角

EQ

时差

N

按天数顺序排列的积日

TT

真太阳时

N

积日订正值

D

观测点的经度

观测点的纬度

l

直杆的长度

L1

计算所得的直杆影子的长度

L2

测量所得的直杆影子的长度

太阳直射点纬度

四、问题分析

4.1问题一分析

题一要求建立影子长度变化的数学模型，并分析影子长度关于各个参数的变化规律。

在忽略折射率的情况下，影子长度和太阳高度角相关，需要计算出太阳时角和太阳赤纬角，然后求出太阳高度角。

但由于大气层中存在水蒸气、二氧化碳和尘埃等物质，其密度与外太空的真空并不相同，因此当太阳光从外太空的真空传入大气层时，必将发生偏折，为了使结果更加精确，我们随后也会讨论折射率对太阳高度角的修正。

利用三角函数得出棒影长率（棒影长度与棒长之比）。

即可求出直杆的太阳影子随时间的长度变化。

3

4.2问题二分析

题二给出某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，可用勾股定理求出某时刻下直杆的实际测量影长。

再在问题一建立的数学模型基础上，已知影子顶点坐标数据的测量日期，杆长和直杆所处位置的经纬度为未知变量，以多组理论计算出的影长和实际测量影长差的平方和为目标函数，建立优化模型。

利用MATLAB的遗传算法工具箱寻找目标函数的最小值，即利用优化算法找到直杆所处地点的最优解。

4.3问题三分析

题三要求在已知某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据的情况下，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。

分析可知此问相较于题二多了一个未知参数太阳影子顶点坐标数据的测量日期，即在问题二的目标函数中增加一个未知变量来求某固定直杆所处位置与日期的最优解。

4.4问题四分析

题四提供了一个一根直杆在太阳下的影子变化的视频，要求建立模型并且给出若干个可能的拍摄地点。

最后提问如果拍摄日期未知，能否根据视频确定出拍摄地点与日期。

我们首先考虑利用MATLAB编程把视频中每一帧的图片都读取出来，然后转化为灰度图片，利用MATLAB里的工具得到图中相应的坐标值，从而求得图中的影长与杆长。

再利用图中杆长与估计得到的杆长之比得到影长。

然后可以用题二建立的模型得出若干个可能的拍摄地点。

如果拍摄日期未知，则可以用题三的模型得到若干个可能的拍摄时间和地点。

拍摄时间与地点的确定则需要进一步分析。

五、模型建立与求解

5.1问题一的模型建立与问题求解

5.1.1模型的建立

问题一要求建立物体的太阳影子长度变化的数学模型。

因对于物体本身，只有其自身的长度与太阳影子的长度有关，所以将物体看做直棒来建立模型。

可采用较为科学精确的棒影日照图分析法，得到立棒的顶点在阳光下在地面上的影子全天的移动轨迹，即可知影子长度变化。

依据下列两个公式：

sinhsin·sinDEcos·cosDE·cost

L1lcoth

可得：

L1lcot（arcsinh）lcot（arcsin（sinsinDEcoscosDEcost））[1]

4

由模型可知影子长度L1随着直杆长度l的增大而增大。

5.1.2参数的确定

模型中所需的参数确定如下：

（1）时间

①时差EQ指真太阳时与地方平均太阳时之差，计算公式为：

EQ0.00281.9857sinQ9.9059sin2Q7.0924cosQ0.6882cos2Q

其中，Q2*57.3（NNN0）/365.2422

N为积日订正值，由观测地点与格林尼治经度差产生的时间差订正值L和观测时刻与格林尼治0时时间差订正值W两项组成。

LDM/60/15WSF/60

式中，D为观测点的经度，M为分值，换算成与格林尼治时间差L，东经取负号，西经取正号；S为观测时刻的时值，F为分值。

最后两项时值再合并化为日的小数。

我国处于东经，L取负值，因此有：

N（WL）/24

N

0

79.67640.2422

Y1985

Y1985

INT0.25

式中，Y为年份，INTX为BASIC语言中求出不大于X的最大整数的标准函数。

②真太阳时TT

TTTMEQCTLcEQ

式中，TT为真太阳时；TM为地方平均太阳时（地平时）；CT为地方标准时（时区时），中国以120E地方时为标准，称为北京时；Lc为经度订正（4min/（°）），如果

地方子午圈在标准子午圈的东边，则Lc为正，反之为负；EQ为时差。

[2]

5