二次函数因动点产生的等腰三角形问题典型例题.docx
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二次函数因动点产生的等腰三角形问题典型例题
二次函数-因动点产生的等腰三角形问题
例1、如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,点D为边BC的中点,DE⊥BC交边AC于点E,点P为射线AB上的一动点,点Q为边AC上的一动点,且∠PDQ=90°.
(1)求ED、EC的长;
(2)若BP=2,求CQ的长;
(3)记线段PQ与线段DE的交点为F,若△PDF为等腰三角形,求BP的长.
图1备用图
思路点拨
1.第
(2)题BP=2分两种情况.
2.解第
(2)题时,画准确的示意图有利于理解题意,观察线段之间的和差关系.
3.第(3)题探求等腰三角形PDF时,根据相似三角形的传递性,转化为探求等腰三角形CDQ.
满分解答
(1)在Rt△ABC中,AB=6,AC=8,所以BC=10.
在Rt△CDE中,CD=5,所以
,
.
(2)如图2,过点D作DM⊥AB,DN⊥AC,垂足分别为M、N,那么DM、DN是
△ABC的两条中位线,DM=4,DN=3.
由∠PDQ=90°,∠MDN=90°,可得∠PDM=∠QDN.
因此△PDM∽△QDN.
所以
.所以
,
.
图2图3图4
①如图3,当BP=2,P在BM上时,PM=1.
此时
.所以
.
②如图4,当BP=2,P在MB的延长线上时,PM=5.
此时
.所以
.
(3)如图5,如图2,在Rt△PDQ中,
.
在Rt△ABC中,
.所以∠QPD=∠C.
由∠PDQ=90°,∠CDE=90°,可得∠PDF=∠CDQ.
因此△PDF∽△CDQ.
当△PDF是等腰三角形时,△CDQ也是等腰三角形.
①如图5,当CQ=CD=5时,QN=CQ-CN=5-4=1(如图3所示).
此时
.所以
.
②如图6,当QC=QD时,由
,可得
.
所以QN=CN-CQ=
(如图2所示).
此时
.所以
.
③不存在DP=DF的情况.这是因为∠DFP≥∠DQP>∠DPQ(如图5,图6所示).
图5图6
考点伸展
如图6,当△CDQ是等腰三角形时,根据等角的余角相等,可以得到△BDP也是等腰三角形,PB=PD.在△BDP中可以直接求解
.
例2、如图1,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;
(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
图1
思路点拨
1.第
(2)题是典型的“牛喝水”问题,点P在线段BC上时△PAC的周长最小.
2.第(3)题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性.
满分解答
(1)因为抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,设y=a(x+1)(x-3),
代入点C(0,3),得-3a=3.解得a=-1.
所以抛物线的函数关系式是y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.
(2)如图2,抛物线的对称轴是直线x=1.
当点P落在线段BC上时,PA+PC最小,△PAC的周长最小.
设抛物线的对称轴与x轴的交点为H.
由
,BO=CO,得PH=BH=2.
所以点P的坐标为(1,2).
图2
(3)点M的坐标为(1,1)、(1,
)、(1,
)或(1,0).
考点伸展
第(3)题的解题过程是这样的:
设点M的坐标为(1,m).
在△MAC中,AC2=10,MC2=1+(m-3)2,MA2=4+m2.
①如图3,当MA=MC时,MA2=MC2.解方程4+m2=1+(m-3)2,得m=1.
此时点M的坐标为(1,1).
②如图4,当AM=AC时,AM2=AC2.解方程4+m2=10,得
.
此时点M的坐标为(1,
)或(1,
).
③如图5,当CM=CA时,CM2=CA2.解方程1+(m-3)2=10,得m=0或6.
当M(1,6)时,M、A、C三点共线,所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0).
图3图4图5
例3、如图1,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置.
(1)求点B的坐标;
(2)求经过A、O、B的抛物线的解析式;
(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?
若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
图1
思路点拨
1.用代数法探求等腰三角形分三步:
先分类,按腰相等分三种情况;再根据两点间的距离公式列方程;然后解方程并检验.
2.本题中等腰三角形的角度特殊,三种情况的点P重合在一起.
满分解答
(1)如图2,过点B作BC⊥y轴,垂足为C.
在Rt△OBC中,∠BOC=30°,OB=4,所以BC=2,
.
所以点B的坐标为
.
(2)因为抛物线与x轴交于O、A(4,0),设抛物线的解析式为y=ax(x-4),
代入点B
,
.解得
.
所以抛物线的解析式为
.
(3)抛物线的对称轴是直线x=2,设点P的坐标为(2,y).
①当OP=OB=4时,OP2=16.所以4+y2=16.解得
.
当P在
时,B、O、P三点共线(如图2).
②当BP=BO=4时,BP2=16.所以
.解得
.
③当PB=PO时,PB2=PO2.所以
.解得
.
综合①、②、③,点P的坐标为
,如图2所示.
图2图3
考点伸展
如图3,在本题中,设抛物线的顶点为D,那么△DOA与△OAB是两个相似的等腰三角形.
由
,得抛物线的顶点为
.
因此
.所以∠DOA=30°,∠ODA=120°.
例4、如图1,已知一次函数y=-x+7与正比例函数
的图象交于点A,且与x轴交于点B.
(1)求点A和点B的坐标;
(2)过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作直线l//y轴.动点P从点O出发,以每秒1个单位长的速度,沿O—C—A的路线向点A运动;同时直线l从点B出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线l交x轴于点R,交线段BA或线段AO于点Q.当点P到达点A时,点P和直线l都停止运动.在运动过程中,设动点P运动的时间为t秒.
①当t为何值时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形?
若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.
图1
思路点拨
1.把图1复制若干个,在每一个图形中解决一个问题.
2.求△APR的面积等于8,按照点P的位置分两种情况讨论.事实上,P在CA上运动时,高是定值4,最大面积为6,因此不存在面积为8的可能.
3.讨论等腰三角形APQ,按照点P的位置分两种情况讨论,点P的每一种位置又要讨论三种情况.
满分解答
(1)解方程组
得
所以点A的坐标是(3,4).
令
,得
.所以点B的坐标是(7,0).
(2)①如图2,当P在OC上运动时,0≤t<4.由
,得
.整理,得
.解得t=2或t=6(舍去).如图3,当P在CA上运动时,△APR的最大面积为6.
因此,当t=2时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.
图2图3图4
②我们先讨论P在OC上运动时的情形,0≤t<4.
如图1,在△AOB中,∠B=45°,∠AOB>45°,OB=7,
,所以OB>AB.因此∠OAB>∠AOB>∠B.
如图4,点P由O向C运动的过程中,OP=BR=RQ,所以PQ//x轴.
因此∠AQP=45°保持不变,∠PAQ越来越大,所以只存在∠APQ=∠AQP的情况.
此时点A在PQ的垂直平分线上,OR=2CA=6.所以BR=1,t=1.
我们再来讨论P在CA上运动时的情形,4≤t<7.
在△APQ中,
为定值,
,
.
如图5,当AP=AQ时,解方程
,得
.
如图6,当QP=QA时,点Q在PA的垂直平分线上,AP=2(OR-OP).解方程
,得
.
如7,当PA=PQ时,那么
.因此
.解方程
,得
.
综上所述,t=1或
或5或
时,△APQ是等腰三角形.
图5图6图7
考点伸展
当P在CA上,QP=QA时,也可以用
来求解.
例5、如图1,在矩形ABCD中,AB=m(m是大于0的常数),BC=8,E为线段BC上的动点(不与B、C重合).连结DE,作EF⊥DE,EF与射线BA交于点F,设CE=x,BF=y.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)若m=8,求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?
(3)若
,要使△DEF为等腰三角形,m的值应为多少?
图1
思路点拨
1.证明△DCE∽△EBF,根据相似三角形的对应边成比例可以得到y关于x的函数关系式.
2.第
(2)题的本质是先代入,再配方求二次函数的最值.
3.第(3)题头绪复杂,计算简单,分三段表达.一段是说理,如果△DEF为等腰三角形,那么得到x=y;一段是计算,化简消去m,得到关于x的一元二次方程,解出x的值;第三段是把前两段结合,代入求出对应的m的值.
满分解答
(1)因为∠EDC与∠FEB都是∠DEC的余角,所以∠EDC=∠FEB.又因为∠C=∠B=90°,所以△DCE∽△EBF.因此
,即
.整理,得y关于x的函数关系为
.
(2)如图2,当m=8时,
.因此当x=4时,y取得最大值为2.
(3)若
,那么
.整理,得
.解得x=2或x=6.要使△DEF为等腰三角形,只存在ED=EF的情况.因为△DCE∽△EBF,所以CE=BF,即x=y.将x=y=2代入
,得m=6(如图3);将x=y=6代入
,得m=2(如图4).
图2图3图4
考点伸展
本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系,例如:
由第
(1)题得到
,
那么不论m为何值,当x=4时,y都取得最大值.对应的几何意义是,不论AB边为多长,当E是BC的中点时,BF都取得最大值.第
(2)题m=8是第
(1)题一般性结论的一个特殊性.
再如,不论m为小于8的任何值,△DEF都可以成为等腰三角形,这是因为方程
总有一个根
的.第(3)题是这个一般性结论的一个特殊性.
例6、如图1,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,E是AB的中点,过点E作EF//BC交CD于点F,AB=4,BC=6,∠B=60°.
(1)求点E到BC的距离;
(2)点P为线段EF上的一个动点,过点P作PM⊥EF交BC于M,过M作MN//AB交折线ADC于N,连结PN,设EP=x.
①当点N在线段AD上时(如图2),△PMN的形状是否发生改变?
若不变,求出△PMN的周长;若改变,请说明理由;
②当点N在线段DC上时(如图3),是否存在点P,使△PMN为等腰三角形?
若存在,请求出所有满足条件的x的值;若不存在,请说明理由.
图1图2图3
思路点拨
1.先解读这个题目的背景图,等腰梯形ABCD的中位线EF=4,这是x的变化范围.平行线间的距离处处相等,AD与EF、EF与BC间的距离相等.
2.当点N在线段AD上时,△PMN中PM和MN的长保持不变是显然的,求证PN的长是关键.图形中包含了许多的对边平行且相等,理顺线条的关系很重要.
3.分三种情况讨论等腰三角形PMN,三种情况各具特殊性,灵活运用几何性质解题.
满分解答
(1)如图4,过点E作EG⊥BC于G.
在Rt△BEG中,
,∠B=60°,
所以
,
.
所以点E到BC的距离为
.
(2)因为AD//EF//BC,E是AB的中点,所以F是DC的中点.
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