数学必修第一册课后试题第四章42第1课时人教A版.docx

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数学必修第一册课后试题第四章42第1课时人教A版

4.4.2　对数函数的图象和性质

第1课时　对数函数的图象和性质

（教师独具内容）

课程标准：

能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．

教学重点：

对数函数的图象及性质．

教学难点：

底数a对图象的影响及对数函数性质的应用.

【知识导学】

知识点

一　　　对数函数的图象和性质

知识点

二　　　指数函数与对数函数的关系

【新知拓展】

底数对函数图象的影响

对数函数y＝log2x，y＝log3x，y＝log

x，y＝log

x的图象如图所示，可得如下规律：

①y＝logax与y＝log

x的图象关于x轴对称；

②当a＞1时，底数越大图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，底数越小图象越靠近x轴．

1．判一判（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）对数函数的图象一定在y轴右侧．（　　）

（2）当0

（3）函数y＝logax的定义域和值域均为（0，＋∞）．（　　）

答案　

（1）√　

（2）×　（3）×

2．做一做（请把正确的答案写在横线上）

（1）函数y＝log3x（1≤x≤9）的值域为（　　）

A．[0，＋∞）B．R

C．（－∞，2]D．[0,2]

（2）若对数函数y＝log（1－2a）x，x∈（0，＋∞）是增函数，则a的取值范围为________．

（3）已知y＝ax在R上是增函数，则y＝logax在（0，＋∞）上是________函数．（填“增”或“减”）

答案　

（1）D　

（2）（－∞，0）　（3）增

题型一对数函数的图象和性质

例1　如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d,1,0的大小关系为________．

[解析]　由题图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a>1，b>1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0

过点（0,1）作平行于x轴的直线l（图略），则直线l与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b>a>1>d>c>0.

[答案]　b>a>1>d>c>0

金版点睛

根据对数函数的图象判断底数大小的方法

作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．

　已知0

答案　D

解析　因为0

例2　若函数y＝loga（x＋b）＋c（a>0，且a≠1）的图象恒过定点（3,2），则实数b，c的值分别为_______．

[解析]　∵函数的图象恒过定点（3,2），∴将（3,2）代入y＝loga（x＋b）＋c，得2＝loga（3＋b）＋C．又当a>0，且a≠1时，loga1＝0恒成立，∴c＝2，由loga（3＋b）＝0，得3＋b＝1，∴b＝－2.故填－2,2.

[答案]　－2,2

金版点睛

画对数函数图象时要注意的问题

（1）明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．

（2）建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a>1，还是0

（3）牢记特殊点．对数函数y＝logax（a>0，且a≠1）的图象经过点：

（1,0），（a,1）和

.

　函数y＝loga（x＋1）－2（a>0，且a≠1）的图象恒过点________．

答案　（0，－2）

解析　因为函数y＝logax（a>0，且a≠1）的图象恒过点（1,0），则令x＋1＝1，得x＝0，此时y＝loga（x＋1）－2＝－2，所以函数y＝loga（x＋1）－2（a>0，且a≠1）的图象恒过点（0，－2）.

题型二对数式的大小比较

例3　比较下列各组中两个值的大小：

（1）log31.9，log32；

（2）log23，log0.32；

（3）logaπ，loga3.14（a>0，a≠1）．

[解]　

（1）因为y＝log3x在（0，＋∞）上是增函数，所以log31.9

（2）因为log23>log21＝0，log0.32log0.32.

（3）当a>1时，函数y＝logax在（0，＋∞）上是增函数，则有logaπ>loga3.14；

当0

综上所得，当a>1时，logaπ>loga3.14；当0

金版点睛

比较对数式大小的常用方法

（1）比较同底的两个对数式的大小，常利用对数函数的单调性．

（2）比较不同底数的两个对数式的大小，常用以下两种方法：

①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性比较大小；②在同一象限内利用对数函数图象的位置关系比较大小．

（3）比较底数与真数都不同的两个对数式的大小，常借助中间量（如1,0，－1等）．

（4）比较多个对数式的大小，则应先根据每个数的结构特征，以及它们与中间量“0”和“1”的大小情况进行分组，再比较各组内的对数式的大小即可．

（5）比较含参数的两个对数式的大小，要注意对底数是否大于1进行分类讨论，有时也要注意挖掘所给对数式的隐含条件．例如：

比较loga（b2－b＋1）与loga

的大小时，要注意隐含条件：

b2－b＋1＝

2＋

≥

>

.

　比较下列各组中两个值的大小：

（1）3log45,2log23；

（2）log30.2，log40.2；

（3）log3π，logπ3；

（4）log0.20.1,0.20.1.

解　

（1）∵3log45＝log4125,2log23＝log29＝log481，且函数y＝log4x在（0，＋∞）上是增函数，又125>81，∴3log45>2log23.

（2）∵0>log0.23>log0.24，∴

<

，

即log30.2

（3）∵函数y＝log3x在（0，＋∞）上是增函数，且π>3，∴log3π>log33＝1.

同理，1＝logππ>logπ3，所以log3π>logπ3.

（4）∵函数y＝log0.2x在（0，＋∞）上是减函数，且0.1<0.2，∴log0.20.1>log0.20.2＝1.

∵函数y＝0.2x在R上是减函数，且0<0.1，

∴0.20.1<0.20＝1.

∴log0.20.1>0.20.1.

题型三与对数有关的函数的值域问题

例4　求下列函数的值域：

（1）y＝log2（x2＋4）；

（2）y＝log

（3＋2x－x2）．

[解]　

（1）y＝log2（x2＋4）的定义域是R.

因为x2＋4≥4，所以log2（x2＋4）≥log24＝2.

所以y＝log2（x2＋4）的值域为[2，＋∞）．

（2）设u＝3＋2x－x2＝－（x－1）2＋4≤4.

因为u>0，所以0

又y＝log

u在（0,4]上为减函数，

所以log

u≥log

4＝－2，

所以y＝log

（3＋2x－x2）的值域为[－2，＋∞）．

金版点睛

（1）求与对数函数相关的复合函数的值域（最值），关键是根据单调性求解，若需换元，需考虑新元的取值范围.

（2）对于形如y＝logaf（x）（a>0，且a≠1）的复合函数，其值域的求解步骤如下：

①分解成y＝logau，u＝f（x）两个函数；

②求f（x）的定义域；

③求u的取值范围；

④利用y＝logau的单调性求解.

　函数y＝lg（1＋32－x2）的值域为（　　）

A．（－∞，1）B．（0,1]

C．[0，＋∞）D．（1，＋∞）

答案　B

解析　∵2－x2≤2，∴0<32－x2≤9，∴1<1＋32－x2≤10，∴0

题型四与对数函数有关的函数图象问题

例5　作出函数y＝|log2（x＋1）|＋2的图象．

[解]　第一步，作y＝log2x的图象，如图①所示．

第二步，将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2（x＋1）的图象，如图②所示．

第三步，将y＝log2（x＋1）在x轴下方的图象作关于x轴的对称变换，得y＝|log2（x＋1）|的图象，如图③所示．

第四步，将y＝|log2（x＋1）|的图象沿y轴方向向上平移2个单位长度，便得到所求函数的图象，如图④所示．

金版点睛

（1）一般地，函数y＝f（x±a）±b（a，b为正数）的图象可由函数y＝f（x）的图象变换得到.

将y＝f（x）的图象向左或向右平移a个单位长度可得到函数y＝f（x±a）的图象，再向上或向下平移b个单位长度可得到函数y＝f（x±a）±b的图象（记忆口诀：

左加右减，上加下减）.

（2）含有绝对值的函数的图象变换是一种对称变换，一般地，y＝f（|x－a|）的图象是关于x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f（x）|的图象是将y＝f（x）的图象在x轴上方的部分保留，将在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换得到的.

（3）y＝f（x）的图象与y＝f（－x）的图象关于y轴对称，y＝f（x）的图象与y＝－f（x）的图象关于x轴对称.

　当x∈（1,2）时，不等式（x－1）2

A．（0,1）B．（1,2）

C．（1,2]D．

答案　C

解析　设f1（x）＝（x－1）2，f2（x）＝logax，要使当x∈（1,2）时，不等式（x－1）21时，如图所示，要使当x∈（1,2）时，f1（x）＝（x－1）2的图象在f2（x）＝logax的下方，只需f1

（2）≤f2

（2），即（2－1）2≤loga2，loga2≥1，所以1

1．函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值是（　　）

A．5B．

C．

D．

答案　A

解析　∵函数y＝logax的图象逐渐上升，

∴函数y＝logax为单调增函数，∴a>1，故选A．

2．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则（　　）

A．a>c>bB．b>c>a

C．c>b>aD．c>a>b

答案　D

解析　a＝log32log22＝1，由对数函数的性质可知log52

3．函数f（x）＝log3（x2＋1）的值域为（　　）

A．（0，＋∞）B．[0，＋∞）

C．（1，＋∞）D．[1，＋∞）

答案　B

解析　因为x2＋1≥1，且f（x）在[1，＋∞）上单调递增，所以log3（x2＋1）≥log31＝0，故该函数的值域为[0，＋∞）．

4．若函数f（x）＝－5loga（x－1）＋2（a>0，且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．

答案　（2,2）

解析　令x－1＝1，得x＝2，即f

（2）＝2，故P（2,2）．

5．若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且x∈（0，＋∞）时，f（x）＝lg（x＋1），求f（x）的表达式，并画出大致图象．

解　∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）＝0.

又当x∈（－∞，0）时，－x∈（0，＋∞），

∴f（－x）＝lg（1－x）．

又f（－x）＝－f（x），

∴f（x）＝－lg（1－x），

∴f（x）的解析式为

f（x）＝

f（x）的大致图象如图所示．

以下为“如何撰写一份出色的教案”

教案是备课内容简要而有序的记录,是支持教师上课的范本,简单说,教案是教师备课的备忘录。

新的课程改革环境中,如何撰写教案,才能带动教师的积极性,发挥教案在常规教学中的应有的作用

首先，要打破传统教案的固定、僵化模式，允许教案因人、因课程、因教学内容而异，倡导书写个性化、创新性教案。

同时要改变教案检查的传统理念和标准，重新界定教案的功能和地位。

书写教案的终极目的不是为了迎合检查而是为了促进教师实现个性化的教学；不是苛求环节的完备与否而是充分张扬教师的个性；不是约束教学活动的范式而是促进教学生成的载体。

唯其如此，才能调动教师写教案的积极性，提高教学效率。

其次，倡导教案“留白”。

所谓的教案“留白”，就是指教案的开放性和灵活性。

具体来说就是教案的书写在内容上不要过于详尽，形式上不要过于琐碎，结构上不要过于封闭和程式化，而是要体现出内容上的概要性、形式上的模糊性和结构上的不确定性，以便能够适应新情境、容纳新内容、确立新策略，为教学中师生间的互动共振、互生新知、互建新情留有余地。

这样的教案能够在备课和课堂教学之间形成一种特殊的“张力”，有利于教师在教学中保持一种宽阔的思路和开放的观念，更容易纳入新的内容，适应新的情境，随时改变原有的设计，实现课堂教学的生态化。

教案在教学过程中的作用主要有四点：

一是每次教学的基本计划，明确本次教学的目标及教育资源的使用计划；

二是教学活动的依据，教学活动必须按教学准备有序有效实施；

三是教学研究的成果，教案是对教材、学生、教学方法相结合的研究成果；

四是教学实施的工具，教学过程中教案是参照系，可以提示教学内容、重点、难点、目标、思路，帮助教师有效完成每一次教学

教师写好教案应做到以下方面：

一、项目填写要齐全、教学环节要完备。

教案项目包括题目、教具、教法、教学重点、教学难点、教学目标、任课班级、授课时间等，一般都有固定表格，填写要规范，如有变动必须马上注明。

教学重点、教学难点、教学目标是在对学生教材与培养目标科学分析的基础上形成的，概括必须准确、科学，教学环节是教学全过程的总和，一般包括导入语（由旧课导入新课）、教学主要内容、板书设计、重点提问（互动环节）、课后思考（或作业），教学环节完备、教学过程才能完整。

二、重点、难点要突出。

重点、难点和教学目标不能仅停留在表格中，必须在教学实施过程中予以体现，教学内容的组织必须紧紧围绕这一课的重点、难点和目标展开，对重点给与重视，对难点分析明白，这一切都在于服务实现这一课的具体教学目标，而这一具体目标是一门课程总目标的一个子目标，因而要做到每一课教案和全部课程目标体系上的有机统一。

三、教学材料处理要灵活。

教案不能写成教材的缩写，不能写成教材的提纲，也不能完全脱离教材自搞一套。

因为教材是死的，教学是鲜活的；教材只是提供了教学参考材料，不能代替全部教学，更不能代替教师备课和教学中的创造性劳动。

所以教案中对教学材料的处理要紧紧围绕教学目标形成有机整体，一要完整，二要逻辑严密，三要通过创新形成特色。

四、案例教学材料要绝对“新鲜”。

经济全球化和信息化发展使世界变小了，市场变大了，技术更新快了。

教材即使最新出版，由于其组稿、编辑、出版、发行等环节，有些内容很快落后于经济社会发展与技术应用的实践。

高职教育是培养实用技能人才的教育，教育内容很大程度上决定着人才培养质量，如何解决这一问题呢？

靠教师的创造性劳动，即在备课过程中树立最新的实践性教育理念，用最新鲜的材料去充实教学内容，用最新、最能说明问题的案例去阐发理论，才能提高教育教学水平。

所以高职教育教学管理中，科学规定教师一课时的备课工作量是2—3小时，一个高校教师每周课时量规定在十课时左右。

这是提高教学质量和实现技能人才培养目标的前提条件和具体保证。

五、板书设计要力求创新。

教师的教学活动是极富个性特点的创造性劳动，其个性特征最突出地体现在每次课的板书设计中。

所以教师备课时要在充分研读教材的基础上，为每一节课设计出具有如下特点的板书方案：

一是严密的逻辑性，板书顺序是逻辑推理的高度概括再现；二是概括性，高度凝练概括本课的教学主要内容；三是符合审美要求，板书设计要符合审美规律，给人以明确清晰、美观大方的良好审美感受；四是结构的完整性，即对一个知识点的全面完整表述；五是创新性，每个人即使在讲同一内容时由于文化背景、思维方式、表达方式、习惯等因素的差异作用，板书都体现出自己的特点，即个性化。

因此板书设计可以借鉴、参考，但决不能照搬照抄。

自己的特点，即个性化。

因此板书设计可以借鉴、参考，但决不能照搬照抄。

六、要不断充实完善。

教案撰写不是一次性劳动，初稿完成后，需要不断充实完善。

一是因为初稿往往有顾此失彼之处；二是教材研究与教学实施常有灵感产生，出现新的闪光点及时补充进去；三是需要用新材料与新信息对教案进行补充；四是备课不是一次性劳动，一节课的备课也不是一次有效，过期作废，需要从局部与整体的联系角度补充不足；五是集中备课或教研组活动中从课程之间的衔接上或交叉中获得提示、补充。

充实完善不是推翻重来，可以利用备注栏，也可以形成一页纸粘在一角，对照研读。

七、教案以手写为主，条理清晰，字迹工整。

教案撰写是创造性劳动，是对教师研究能力、写作能力、概括分析能力的有效训练，也是对教师书写水平、概括能力、材料组织等综合素质的反映，所以教案是教师创造性劳动的结晶，也是检验教师质量的一个重要依据。

手写教案对教师要求更高，更能真实检查教师备课质量、更具有可比性，因此客观上要求教师要写一手好字。

出色的手写教案也能为学生提供一个学习的鲜活样本。

八、关于电子课件。

电子课件是计算机辅助教学手段的应用，是信息化时代教育教学手段不断改进的成果，对传统教学手段是一种改进和有益补充，但高职教育实践证明，电子课件是使用计算机辅助教学时的一个工具条件，它直观、容量大，许多用讲授法难于实现的教学目标可以通过计算机辅助手段的展示、演示、模拟得以实现，还可以节约教学过程中教师的一些板书时间，可以大大提高教学效率。

但是教育教学是一种特殊的实践活动，一种创造性的劳动，电子课件的过度使用易于禁锢教师思维，限制了教师临场发挥和创造能力的提高。