湖北省浠水县实验高级中学届高三仿真模拟考试二数学理试题Word版含答案.docx
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湖北省浠水县实验高级中学届高三仿真模拟考试二数学理试题Word版含答案
浠水实验高中2017年高考仿真模拟考试
(二)
数学(理科)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若复数满足,其中为虚数单位,则()
A.B.C.D.
2.已知集合A={x|x2-x>0},B={x|-<x<},则()
A、A∩B=B、A∪B=RC、BAD、AB
3.下列说法正确的是()
A、,“”是“”的必要不充分条件
B、“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件
C、命题“,使得”的否定是:
“,”
D、命题,则是真命题
4.如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的表面三角形
中为直角三角形的个数为()
A.2B.3C.4D.5
5.在区间上任选两个数和,则的概率为()
A.B.C.D.
6.将函数图象上的点向右平移
个单位长度得到点,若位于函数的图象上,则()
A.,的最小值为B.,的最小值为
C.,的最小值为D.,的最小值为
7.已知正项非常数等差数列的前项和为,且成等比数列,则()
A.B.C.D.
8.一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法可以设计如图所示的程序框图,若输入的为6时,输出结果为2.45,则可以是()
A、0.6B、0.1
C、0.01D、0.05
9.甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念,则在
甲乙相邻的条件下,甲丙也相邻的概率为()
A、B、C、D、
10.如图,扇形中,,是
中点,是弧上的动点,是线段上的动点,
则的最小值为()
A.B.C.D.
11.已知三棱锥中,
,则该三棱锥的外接球的体积等于()
A.B.C.D.
12.已知函数,若关于的方程恰好有4个不相等的实根,则的取值范围是()
A.B.C.D.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知直线与圆相切,则实数=.
14.的展开式中,满足的的系数之和为.
15.已知正项数列满足,且,其中为数列的前项和,若正实数使得不等式恒成立,则正实数的最大值为.
16.斜率为的直线经过抛物线的焦点F,且与抛物线交于A,B两个不同的点,与轴交于点P,若,则.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分12分)
已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2+b2=λab.
(Ⅰ)若λ=,B=,求sinA;
(Ⅱ)若λ=4,AB边上的高为,求C.
18、(本小题满分12分)
如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面ABC,∠ACB=90,AC=CB=2,
M,N分别为AB,A1C的中点.
(Ⅰ)求证:
MN∥平面BB1C1C;
(Ⅱ)若平面CMN⊥平面B1MN,求直线AB
与平面B1MN所成角的正弦值.
19.(本小题满分12分)
某地政府拟在该地一水库上建造一座水电站,用泄流水
量发电.图4是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成
的日泄流量X(单位:
万立方米)的频率分布直方图(不完
整),已知,历年中日泄流量在区间[30,60)
的年平均天数为156,一年按364天计.
(Ⅰ)请把频率分布直方图补充完整;
(Ⅱ)该水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每30万立方米的日泄流量才够运行一台发电机,如60≤X<90时才够运行两台发电机,若运行一台发电机,每天可获利润为4000元,若不运行,则该台发电机每天亏损500元,以各段的频率作为相应段的概率,以水电站日利润的期望值为决策依据,问:
为使水电站日利润的期望值最大,该水电站应安装多少台发电机?
20、(本小题满分12分)
已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的离心率为,点Q(b,)在椭圆上,O为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知点P,M,N为椭圆C上的三点,若四边形OPMN为平行四边形,判断四边形OPMN的面积S是否为定值,如果是定值并求出该定值,如果不是,说明理由.
21、(本小题满分12分)
已知函数f(x)=sinx+tanx-2x.
(Ⅰ)讨论函数f(x)在(-,)上的单调性;
(Ⅱ)若x∈(0,),f(x)>mx2,求m的取值范围.
请考生在第(22),(23)两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
22、(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程为(t为参数,0≤φ<),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=1,l与C交于不同的两点P1,P2.
(Ⅰ)求φ的取值范围;
(Ⅱ)以φ为参数,求线段P1P2中点轨迹的参数方程.
23、(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
已知x,y∈(0,+∞),x2+y2=x+y.
(Ⅰ)求+的最小值;
(Ⅱ)是否存在x,y,满足(x+1)(y+1)=5?
并说明理由.
参考答案
1—12BBACDCDBDDAA;
13、2和12;14、;15、20;16、
(17)解:
(Ⅰ)由已知B=,a2+b2=ab结合正弦定理得:
4sin2A-2sinA+1=0,于是sinA=.…4分
因为0<A<,所以sinA<,取sinA=…6分
(Ⅱ)由题意可知S△ABC=absinC=c2,得:
absinC=(a2+b2-2abcosC)=(4ab-2abcosC).从而有:
sinC+cosC=2,即sin(C+)=1又<C+<,所以,C=.…12分
(18).解:
(Ⅰ)连接AC1,BC1,则N∈AC1且N为AC1的中点,又∵M为AB的中点,
∴MN∥BC1,
又BC1平面BB1C1C,MN平面BB1C1C,
故MN∥平面BB1C1C.…4分
(Ⅱ)由A1A⊥平面ABC,得AC⊥CC1,BC⊥CC1.
以C为原点,分别以CB,CC1,CA所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
设CC1=2λ(λ>0),
则M(1,0,1),N(0,λ,1),B1(2,2λ,0),
=(1,0,1),=(-1,λ,0),=(2,λ,-1).
取平面CMN的一个法向量为m=(x,y,z),由·m=0,·m=0得:
令y=1,得m=(λ,1,-λ)
同理可得平面B1MN的一个法向量为n=(λ,1,3λ)…8分
∵平面CMN⊥平面B1MN,∴m·n=λ2+1-3λ2=0
解得λ=,得n=(,1,),又=(2,0,-2),
设直线AB与平面B1MN所成角为θ,则sinθ=|cosn,|==.
所以,直线AB与平面B1MN所成角的正弦值是.…12分
(19).解:
(Ⅰ)在区间[30,60)的频率为---------------1分
,----------2分,设在区间[0,30)上,,
则,解得,--------------3分
补充频率分布直方图如右;----------------------------6分
(Ⅱ)记水电站日利润为Y元.由(Ⅰ)知:
不能运行发电机的概率为,
恰好运行一台发电机的概率为,恰好运行二台发电机的概率为,
恰好运行三台发电机的概率为,
①若安装1台发电机,则Y的值为-500,4000,其分布列为
Y
-500
4000
P
E(Y)=;---------------8分
②若安装2台发电机,则Y的值为-1000,3500,8000,其分布列为
Y
-1000
3500
8000
P
E(Y)=;------------------10分
③若安装3台发电机,则Y的值为-1500,3000,7500,12000,其分布列为
Y
-1500
3000
7500
12000
P
E(Y)=;
∵
∴要使水电站日利润的期望值最大,该水电站应安装3台发电机.---------12分
(20)解:
(Ⅰ)由e2==,得=,
将Q代入椭圆C的方程可得b2=4,所以a2=8,故椭圆C的方程为+=1.…4分
(Ⅱ)当直线PN的斜率k不存在时,PN方程为:
x=或x=-,
从而有|PN|=2,
所以S=|PN|·|OM|=×2×2=2.…5分
当直线PN的斜率k存在时,
设直线PN方程为:
y=kx+m(m≠0),P(x1,y1),N(x2,y2).
将PN的方程代入C整理得:
(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,
所以x1+x2=,x1·x2=,…6分
y1+y2=k(x1+x2)+2m=,由=+得:
M(,),
将M点坐标代入椭圆C方程得:
m2=1+2k2.…8分
点O到直线PN的距离d=,|PN|=|x1-x2|,
S=d·|PN|=|m|·|x1-x2|=·|x1-x2|==2.
综上,平行四边形OPMN的面积S为定值2.…12分
(21)解:
(Ⅰ)f(x)=cosx+-2…2分
因为x∈(-,),所以cosx∈(0,1],于是
f(x)=cosx+-2≥cos2x+-2≥0(等号当且仅当x=0时成立).
故函数f(x)在(-,)上单调递增.…4分
()由(Ⅰ)得f(x)在(0,)上单调递增,又f(0)=0,所以f(x)>0,
(ⅰ)当m≤0时,f(x)>0≥mx2成立.…5分
(ⅱ)当m>0时,
令p(x)=sinx-x,则p(x)=cosx-1,
当x∈(0,)时,p(x)<0,p(x)单调递减,又p(0)=0,所以p(x)<0,
故x∈(0,)时,sinx<x.(*)…7分
由(*)式可得f(x)-mx2=sinx+tanx-2x-mx2<tanx-x-mx2,
令g(x)=tanx-x-mx2,则g(x)=tan2x-2mx
由(*)式可得g(x)<-2mx=(x-2mcos2x),…9分
令h(x)=x-2mcos2x,得h(x)在(0,)上单调递增,
又h(0)<0,h()>0,所以存在t∈(0,)使得h(t)=0,即x∈(0,t)时,h(x)<0,
所以x∈(0,t)时,g(x)<0,g(x)单调递减,又g(0)=0,所以g(x)<0,
即x∈(0,t)时,f(x)-mx2<0,与f(x)>mx2矛盾.
综上,满足条件的m的取值范围是(-∞,0].…12分
(22)解:
(Ⅰ)曲线C的直角坐标方程为x2+y2=1,将代入x2+y2=1得
t2-4tsinφ+3=0(*),由16sin2φ-12>0,得|sinφ|>,又0≤φ<,
所以,φ的取值范围是(,);…5分
(Ⅱ)由(*)可知,=2sinφ,代入中,
整理得P1P2的中点的轨迹方程为
(φ为参数,<φ<)…10分
(23)解:
(Ⅰ)+==≥=2,
当且仅当x=y=1时,等号成立.
所以+的最小值为2.…5分
(Ⅱ)不存在.因为x2+y2≥2xy,
所以(x+y)2≤2(x2+y2)=2(x+y),又x,y∈(0,+∞),所以x+y≤2.
从而有(x+1)(y+1)≤[]2=4,
因此不存在x,y,满足(x+1)(y+1)=5.…10分
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