浅谈数形结合解值域.docx
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浅谈数形结合解值域
浅谈数形结合解值域
——我对数形结合思想的体会
数学是研究空间形式和数量关系的科学,而数学思想的研究与应用又是其中重要的组成部分。
数学思想、数学方法又是密不可分,对于数学方法来说,思想是其相应的方法的精神实质和理论基础,方法则是实施有关思想的技术手段。
在数学思想中,有一类思想是体现基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果,这些思想可以称之为基本数学思想。
中学阶段的基本数学思想包括:
分类讨论的思想;数形结合的思想,变换与转化的思想,整体思想,函数与方程的思想,抽样统计思想,极限思想等等。
中学数学教学中处处渗透着基本数学思想。
把它落实到学生学习和运用数学的思维活动上,就能在发展学生的数学能力方面发挥出重要作用。
在这些数学思想方法中数形结合思想是一种很重要的方法,它贯穿于整个中学数学的教学课程中。
它是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析研究对象的代数含义,又揭示其几何意义,使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来,并充分利用这种结合,寻找解题思路,使问题得到解决。
它的实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,在代数与几何的结合上寻找解题思路。
它包含两个方面:
“以形助数”,即借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系;“以数辅形”,即借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性。
正如我国著名的数学家华罗庚先生所说“数缺形时少直观,形离数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休”。
恰当地指出了“数”与“形”的相互依赖、相互制约的辩证关系,是对数形结合方法最通俗的、最深刻的剖析。
数形结合是解决数学问题的一个有力工具,也是中学数学中极为重要的基本方法之一。
数形结合是感知向思维过度的中间环节,是帮助学生理解和掌握教材的重要手段。
它渗透在学习新知识和运用知识解决问题的过程之中。
这就需要教师在教学过程中把握时机,选择适当方法,使学生在潜移默化的过程中逐步领悟并学会运用这一思想方法去解决问题。
数形结合是将抽象的数学语言与直观图形结合起来,使抽象思维与形象思维结合起来,发挥数与形两种信息的转换及其优势互补与整合,巧妙应用数形结合的思想方法,不仅能直观地发现解题的途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化解题的过程。
数形结合在解题过程中应用十分广泛,如在解方程和解不等式问题中,在求函数的值域和最值问题中,在求复数和三角函数问题中,在线性规划和解析几何问题中,都有体现.运用数形结合思想解题,不仅直观易于寻找解题途径,而且能避免繁杂的计算和推理,简化解题过程,在选择、填空题解答中更显优越。
高中阶段,我们就值域这部分教学,讲解了不下十种方法:
简单函数的直接讨论法、分离常数法、(化为二次函数的)判别式法、(利用反函数思想的)反解法、函数有界性法、函数单调性法、基本不等式法(或对号函数法)、导数法、数形结合法等,这还不包括换元法、配方法等方法的结合。
而在这诸多的方法中,我们始终能看到一种方法,自始至终发挥着举足轻重的作用,那就是数形结合的方法!
下面就数形结合思想在函数值域中的作用,结合教学实例,通过值域教学应用数形结合的思想,在如何培养、提升学生的数形结合能力方面的尝试,做一个简单的分析。
1.直接讨论法
对于一些比较简单的函数,其值域可通过分析、讨论得到。
例1.求函数y=2x-3,x∈[-1,3]的值域。
解:
(代数法)∵-1≤x≤3,-2≤2x≤6,-5≤2x-3≤3,
∴-5≤y≤3,所求函数的值域是[-5,3]
(几何法)如果教学时辅以图像,几何形式凸现出直观、简洁的优势
。
(如图1)
图1图2
2.配方法
配方法是求二次函数值域最基本、有效的方法之一。
例2.已知函数y=2x2+x+1求①x∈R②x∈(-∞,-2]
③x∈[-2,0]④x∈[-1,1]⑤x∈[1,2)的值域。
解:
将函数配方得:
y=2(x+
)2+
,由二次函数的图像及性质可知,如图2
所求函数的值域分别是:
(-∞,
],(-∞,7],[
,7],
[
,4],[4,11)
3.分离常数法
例3.求函数
的值域。
解:
(代数法)函数可化为
∵x+2≠0,∴
≠0,∴y≠3,所求值域(-∞,3)∪(3,+∞)
(几何法)画出该函数的图像,(如图3)
值域一目了然。
小结:
形如
的函数,图3
其基本图形的本质是反比例函数,基本方法是分离常数法。
练习:
函数
的值域是.
答案:
[-2,3)
4.基本不等式法
利用基本不等式,求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
但具有更广泛应用价值的应该是对号函数及其图像。
例4:
求函数
分别在下列范围的值域.
①
②
③
④
⑤
⑥
解:
原函数变形为:
y=4x+
+2,此函数是由函数
图像上各点向上平移2个单位得到的。
而函数
的图像如图4,
图4
故原函数的值域分别为:
①
②
③
④
⑤
⑥
当且仅当4x=
即x=时,等号成立,此时y取最小值6,这个结果只有条件②④成立。
条件①当且仅当4x=
即x=时,函数达到极大、极小值,其它条件下都应用函数单调性处理问题,而不能应用基本不等式。
从这个意义上讲,对号函数应用更广泛、更具有一般性。
例5:
求函数
的值域。
若x∈[2,3],求此函数的值域。
解:
令t=x-1,则t﹥0,则
,即
,
当t>0时,
,(当且仅当
时,即t=
时取等号)
其图像类似图4,若x∈[2,3]时,t∈[1,2],则
故原函数的值域为:
.若x∈[2,3]时,值域为
小结:
通过换元将函数转化为对号函数,这是解决这一类函数值域问题的通性通法。
要特别注意“一正、二定、三等号”中当且仅当条件的分析。
5.其它
例6:
函数
的值域.
解:
令
,则4x2+9y2=36(y≥0),此时t=2x+y,由
得40x2-36tx+9t2-36=0,令△=(-36t)2-160(9t2-36)≥0,得-
≤t≤
.如图5当直线y=-2x+t过点(-3,0)时,t=-6为最小值.当直线与椭圆上半部分相切时,t最大值为
.由此t的取值范围即所求值域[-6,
].
图5图6
例7:
函数
的最值.
分析:
很多时候,函数的最值问题、取值范围问题就等价于值域问题。
解:
令
,则x2+2y2=16,
x≥0,y≥0,且
=x+y.则直线y=-x+
与椭圆x2+2y2=16相切时,纵截距
取得最大值,过点(0,
)时,
取得最小值
.如图6∴解方程组
,得
,
令△=0,得
=
∵
≥0,∴
的最大值
最小值
.
点拨:
数学观察能力要求透过现象,发现本质,挖掘题中隐含条件.
练习:
求函数
的最大值.
例8:
已知
,求m的取值范围.
解:
∵
可看作点(0,0)
到直线tx+y+2t-3=0的距离,如图7,
而直线tx+y+2t-3=0化为t(x+2)+y-3=0,图7
该直线过定点P(-2,3),∴原点(0,0)到该直线的最大距离|OP|=
,
∴
即
,
小结:
类比形如形如
形式,联想斜率;形如ax+by形式联想纵截距(线性规划常用);形如
形式联想到定比分点公式;
形如
或
形式联想平面上两点距离公式;
联想数轴上两点距离。
函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目.
练习:
1.若直线l:
y=kx+1与曲线C:
只有一个公共点,则实数k的取值范围是.(解题如图8
图8
2.函数y=a|x|和y=x+a的图象恰有两个公共点,则实数a的取值范围是( )
A.(1,+∞)B.(-1,1)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,-∞)∪(1,+∞)
(点评)该题考查了一次函数图象与图象的对称等知识点,体现了运动变换的数学思想。
用数形结合的解法简捷,另辟蹊径,别有一番数学之美。
总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,虽有法可依,但不能生搬硬套,就题型、套路做题只会让数学面目可憎,永远不能灵活解题,轻松学习,如果学会经常应用数形结合思想去考虑问题,往往会事半功倍。
思考题:
已知函数
,
.
(1)求
的最大值
;
(2)当
,求
的最大值.
略解:
(1)当
,即
时,
;
当
时,即
时,
;
时,
.
所以,
(2)当
时,
,
当
时,
的最大值为
,
综上,当
,
的最大值为
.
利用图形的直观性来讨论函数的值域(或最值),求解变量的取值范围,运用数形结合思想考查化归转化能力、逻辑思维能力,是函数的教学中的一项重要课程。
数形结合思想在解题过程中应用十分广泛,不仅直观易于寻找解题途径,而且能避免繁杂的计算和推理,简化解题过程,在选择、填空中更显优越,巧妙运用数形结合思想方法来解决一些抽象数学问题,可起到事半功倍的效果。
数形结合把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考,使抽象思维与形象思维结合,通过“以形助数”或“以数解形”,使得复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而达到优化解题途径的目的。
数形结合思想贯穿于整个中学阶段,是最重要、最常用的数学思想方法之一,是中学数学的精髓。
然而数学思想方法教学并不是一个单一的过程,各种思想方法是相互联系,相互渗透,往往几种数学思想、方法交织在一起。
数学思想方法的教学是循环往复、螺旋上升的过程。
在教学过程中依据具体情况在一段时间内突出渗透与明确一种数学思想或方法,效果可能更好些。
总之,在教学中要注重数形结合思想方法的培养,在培养学生数形结合思想的过程中,要充分挖掘教材内容,将数形结合思想渗透于具体的问题中,在解决问题中让学生正确理解“数”与“形”的相对性,使之有机地结合起来。
当然,要掌握好数形结合的思想方法并能灵活运用,就要熟悉某些问题的图形背景,熟悉有关数学式中各参数的几何意义,建立结合图形思考问题的习惯,在学习中不断摸索,积累经验,加深和加强对数形结合思想方法的理解和运用。
用数学思想指导知识,方法的灵活运用,培养思维的深刻性、抽象性。
通过组织引导对解法的简洁性的反思评估、不断优化思维品质、培养思维的严谨性、批判性。
丰富的合理的联想,是对知识的深刻理解及类比、转化、数形结合、函数与方程等数学思想运用的必然。
数学方法、数学思想的自然运用往往使我们运算简捷、推理机敏,是提高数学能力的必由之路。
”授之以鱼,不如授之以渔”,方法的掌握、思想的形成,才能最终使学生受益终生。
以上是本人的一些粗浅的认识,有待进一步开掘、改进。
错漏之处,欢迎批评指正。
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