届湖南省长郡中学雅礼中学等四校高三联考线.docx
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届湖南省长郡中学雅礼中学等四校高三联考线
长沙一中长郡中学师大附中雅礼中学2020届高三四校(线上)联考数学(理科)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,则满足条件的集合B的个数为()
A.3B.4C.7D.8
【答案】D
【解析】
【分析】
可以求出集合,由可得,从而求集合的子集个数即可.
【详解】解:
,
∵,
∴,
∴集合的子集个数为个.
故选:
D.
【点睛】本题考查并集的运算及理解,是基础题.
2.已知为虚数单位,,复数,则()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由复数的除法运算,可得,即可求解,得到答案.
【详解】由题意,复数,得,
所以,故选B.
【点睛】本题主要考查了复数的运算,其中解答中熟记复数的基本运算法则,准确化简是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
3.已知,,,若,则()
A.6B.C.16D.20
【答案】D
【解析】
【分析】
代入坐标可求出,利用模的坐标运算列方程可得,进而可求出的坐标,则可求.
【详解】解:
,,
,
又,
,
解得,
,
.
故选:
D.
【点睛】考查根据点的坐标求向量的坐标的方法,向量坐标的加法运算,向量减法的几何意义,以及根据向量坐标求向量长度的方法,是基础题.
4.已知数列满足(),,且,则()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由(),可知数列是等比数列,利用微积分基本定理可求得,从而可求得,而由可知,从而可求得答案.
【详解】解:
由(),知数列是等比数列,
又,
所以,又,
所以,
所以,
所以则.
故选:
C.
【点睛】本题考查数列递推式的应用,考查微积分基本定理及等比数列的性质,求得是关键,考查运算求解能力,属于中档题.
5.将函数的图象向左平移()个单位长度后得到函数的图象,若使成立的a、b有,则下列直线中可以是函数图象的对称轴的是()
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角函数平移关系求出的解析式,结合成立的有,求出的关系,结合最小值建立方程求出的值即可.
【详解】解:
将函数的图象向左平移()个单位长度后得到函数的图象,
即,
若成立,
即,
即,
则与一个取最大值1,一个取最小值−1,
不妨设,
则,
得,
则,
∵,
∴当时,,
当时,,
,
则或,
即或(舍),
即,
由,
得,
当时,对称轴方程为.
故选:
D.
【点睛】本题考查三角函数的图象平移,以及三角函数的图象和性质,结合三角函数的最值性建立方程关系求出的大小,结合最小值求出的值是解决本题的关键.考查分析问题解决问题的能力,有一定难度.
6.《海岛算经》中有这样一个问题,大意为:
某粮行用芦席围成一个粮仓装满米,该粮仓的三视图如图所示(单位:
尺,1尺米),已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,则估算出该粮仓存放的米约为()
A.43斛B.45斛C.47斛D.49斛
【答案】D
【解析】
【分析】
首先判断该几何体的形状,然后根据其体积计算公式计算即可.
【详解】解:
观察发现该几何体为圆台和圆柱的结合体,
其体积为:
(尺),
则该粮仓存放的米约为(斛).
故选:
D.
【点睛】考查了由三视图判断几何体的知识,解题的关键是首先判断几何体的形状,难度不大.
7.已知点在内,且满足,现在内随机取一点,此点取自的概率分别记为,则()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分别延长到,到,到,使得,,,则有,得到点为的重心,所以,进而求得,,,得出面积之间的关系,即可求解.
【详解】由题意,分别延长到,到,到,
使得,,,则有,
所以点为的重心,所以,
又,,,
从而得到,
则,即.故选C.
【点睛】本题主要考查了平面向量的应用,以及几何概型思想的应用,其中解答中根据响亮的运算求得点的位置,得出面积之间的关系是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.
8.已知双曲线C:
(,)的右焦点为,点A、B分别在直线和双曲线C的右支上,若四边形(其中O为坐标原点)为菱形且其面积为,则()
A.B.C.2D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设点,,因为,则,根据点在双曲线上可得一个关于方程,根据面积又可得一个关于的方程,在加上,列方程求解即可.
【详解】解:
如图:
设点,,因为,则,
又,则,化简得,
①,
又②,
③,
∴由①②③得.
故选:
A.
【点睛】本题考查双曲线的性质的应用,考查学生计算能力,根据条件列方程是本题的关键,是中档题.
9.当x为实数时,表示不超过x的最大整数,如.已知函数(其中),函数满足、,且时,,则方程的所有根的个数为()
A.3B.4C.5D.6
【答案】D
【解析】
分析】
由,,得函数的图象关于直线及直线对称,又由可得的周期,通过作图观察的方法可得结果.
【详解】解:
由,,得函数的图象关于直线及直线对称,
,
则为周期函数,且最小正周期为4.
对于,当时,
当时,;
当时,;
当时,;
当时,;
…;
当时,;
当时,;
当时,;
当时,;
当时,;
…
综合已知条件可在同一直角坐标系内画出函数及的图象,
由图可知,函数与函数共有6个交点,
即方程的根的个数为6.
故选:
D.
【点睛】此题考查了函数的图象和性质,由数形结合求解,画出函数的图像很关键,是中档题.
10.对四位数(,、c,),若、、,称为“吉祥数”,则“吉祥数”的个数为()
A.1695B.1696
C.1697D.1698
【答案】A
【解析】
【分析】
由数的特点,先确定位置上的数,再安排位置上的数,列举出来算出个数即可.
【详解】解:
由数的特点,先确定位置上的数,再安排位置上的数,列表如下:
其中第一列是取的数,第一行是取的数,中间是满足吉祥数的组合的数量,
如:
,组合有种可能,
则吉祥数的个数为:
,
故选:
A.
【点睛】本题考查列表分类求数量,关键是要在列举中发现规律,进而方便计算出结果,是中档题.
11.中,所有内角都不是钝角,有以下命题:
①;②;③;④.其中正确命题的个数是()
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】
【分析】
利用三角公式变形和三角函数的性质逐一判断.
【详解】解:
①,则或,则或,故错误;
②
,故正确;
③
,故正确;
④,故正确.
故选:
C.
【点睛】本题考查三角形中角的关系的判断,考查应用公式变形的熟练程度,是中档题.
12.如图所示,将方格纸中每个小方格染三种颜色之一,使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻两个小方格的颜色不同,称他们的公共边为“分割边”,则分割边条数的最小值为()
A.33B.56C.64D.78
【答案】B
【解析】
【分析】
记分隔边的条数为,首先将方格按照按图分三个区域,分别染成三种颜色,粗线上均为分隔边,将方格的行从上至下依次记为,列从左至右依次记为,行中方格出现的颜色数记为,列中方格出现的颜色个数记为,三种颜色分别记为,对于一种颜色,设为含有色方格的行数与列数之和,定义当行含有色方格时,,否则,类似的定义,计算得到,再证明,再证明对任意均有,最后求出分隔边条数的最小值.
【详解】记分隔边的条数为,首先将方格按照按图分三个区域,分别染成三种颜色,粗线上均为分隔边,
此时共有56条分隔边,即,
其次证明:
,
将将方格的行从上至下依次记为,列从左至右依次记为,行中方格出现的颜色数记为,列中方格出现的颜色个数记为,三种颜色分别记为,对于一种颜色,设为含有色方格的行数与列数之和,定义当行含有色方格时,,否则,类似的定义,
所以,
由于染色的格有个,设含有色方格的行有个,列有个,则色的方格一定再这个行和列的交叉方格中,
从而,
所以①,
由于在行中有种颜色的方格,于是至少有条分隔边,
类似的,在列中有种颜色的方格,于是至少有条分隔边,
则②
③
下面分两种情形讨论,
(1)有一行或一列所有方格同色,
不妨设有一行均为色,则方格的33列均含有的方格,又色的方格有363个,故至少有11行有色方格,于是④
由①③④得
,
(2)没有一行也没有一列的所有方格同色,
则对任意均有,
从而,由式②知:
,
综上,分隔边条数的最小值为56.
故选:
B.
【点睛】本题主要考查染色问题,考查计数原理,考查分析推理能力,是一道难度极大的题目.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若的展开式中第项为常数项,则______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意利用二项展开式的通项公式,求得,从而得到 的值.
【详解】解:
的展开式中第项为
,再根据它为常数项,
可得,求得,
故答案为:
.
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题.
14.我国古代数学家祖暅提出原理:
“幂势既同,则积不容异”.其中“幂”是截面积,“势”是几何体高.原理的意思是:
夹在两个平行平面间的两个几何体,被任一平行于这两个平行平面的平面所截,若所截的两个截面的面积恒相等,则这两个几何体的体积相等.如图
(1),函数的图象与x轴围成一个封闭区域A(阴影部分),将区域A(阴影部分)沿z轴的正方向上移6个单位,得到一几何体.现有一个与之等高的底面为椭圆的柱体如图
(2)所示,其底面积与区域A(阴影部分)的面积相等,则此柱体的体积为______.
【答案】
【解析】
【分析】
阴影区域在上为半个圆,所以柱体的底面积为半圆的面积减去函数在上的积分,有了底面积,又知道高为6,即可得到柱体的体积.
【详解】解:
由题意得,阴影区域在上为半个圆,
底面积圆,
所以该柱体的体积为.
故答案为:
.
【点睛】本题考查定积分在求曲边梯形面积上的应用,考查计算能力.
15.已知变量x、y满足约束条件,在实数x、y中插入7个实数,使这9个数构成等差数列的前9项,则、,则数列的前13项和的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
画出约束条件表示的平面区域,结合图形计算该等差数列的公差,写出数列的前13项和,求出它的最大值.
【详解】解:
画出约束条件表示的平面区域,如图所示;
解方程组,得;
记这个等差数列为,其公差为,
则,
所以数列的前13项和为
,
作出直线,
由图形可知,当直线过点时,取得最大值,
所以的最大值为.
故答案为:
.
【点睛】本题考查了二元一次不等式组表示平面区域应用问题,也考查了等差数列应用问题,是中档题.
16.若有且仅有一个正方形,其中心位于原点,且其四个顶点在曲线上,则实数______.
【答案】
【解析】
【分析】
设正方形对角线所在的直线方程为,则其斜率唯一确定,转化为二元方程只有唯一实数根,利用根的判别式求解即可.
【详解】解:
设正方形对角线所在的直线方程为,
则对角线所在的直线方程为.
由,解得,
所以,
同理,,
又因为,所以,
即,即.
令得,
因为正方形唯一确定,则对角线与唯一确定,于是
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