立体几何垂直证明题常见模型及方法精编版doc.docx

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立体几何垂直证明题常见模型及方法

证明空间线面垂直需注意以下几点：

①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。

②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方

法之一。

③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结

论。

垂直转化：

线线垂直线面垂直面面垂直；

基础篇

类型一：

线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）

（1）共面垂直：

实际上是平面内的两条直线的垂直（只需要同学们掌握以下几种模型）

○1等腰（等边）三角形中的中线

2菱形（正方形）的对角线互相垂直○3勾股定理中的三角形

○

○41:

1:

2的直角梯形中○5利用相似或全等证明直角。

例：

在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1,求证：

A1OOE

（2）异面垂直（利用线面垂直来证明，高考中的意图）例1在正四面体ABCD中，求证ACBD

变式

1如图，在四棱锥

P

ABCD

中，底面

ABCD

是矩形，已知

AB

3,AD2,PA2,PD

22,PAB

60．

证明：

AD

PB；

1

变式2如图，在边长为

2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，

将△AED,△DCF分别沿DE,DF折起，使A,C两点重合于A'.

A'

求证:

A'D

EF；

E

D

B

G

F

变式3如图，在三棱锥PABC中，⊿PAB是等边三角形，∠

PAC=∠PBC=90o证明：

AB⊥PC

类型二：

线面垂直证明

方法○1利用线面垂直的判断定理

例2：

在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1,求证：

A1O平面BDE

变式1：

在正方体ABCD

A1B1C1D1中，,求证：

AC1

平面BDC1

变式2：

如图：

直三棱柱

ABC－A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90.E为BB1

的中点，D点在AB上且DE=3.

求证：

CD⊥平面A1ABB1；

2

变式

3

：

如图，在四面体

ABCD

中，O、E

分别是

BD、BC

的中点，

CA

CB

CD

BD2,AB

AD

2.

A

求证：

AO

平面BCD；

D

O

B

E

C

变式4如图，在底面为直角梯形的四棱锥

PABCD中，

AD∥BC，

ABC90°，PA

平面ABCD．PA3，AD

2，AB

23，BC

6

1求证：

BD

平面PAC

P

A

D

E

○

利用面面垂直的性质定理

B

C

2

例3：

在三棱锥P-ABC中，PA

底面ABC,面PAC

面PBC，求证：

BC

面PAC。

方法点拨：

此种情形，条件中含有面面垂直。

变式1,在四棱锥PABCD，底面ABCD是正方形，侧面PAB是等腰三角形，且

面PAB底面ABCD,求证：

BC面PAB

变式2：

3

类型3：

面面垂直的证明。

（本质上是证明线面垂直）

例1如图，已知AB

平面ACD，DE

平面ACD，△ACD为等边三角形，

B

AD

DE2AB，F为CD的中点.

E

（1）

求证：

AF//平面BCE；

A

（2）

求证：

平面BCE平面CDE；

CD

F

例2

如图，在四棱锥

P

ABC

PA

底面

ABCD

中，

，

AB

AD，AC

CD，ABC60°

ABBC，E是PC的中点．

，PA

（1）证明CD

AE；

（2）证明PD

平面ABE；

P

E

变式1已知直四棱柱ABCD—A′B′C′D′的底面是菱形，

棱CC′与BB′上的点，且EC=BC=2FB=2．

（1）求证：

平面AEF⊥平面AA′C′C；

AD

C

B

ABC60，E、F分别是

4

举一反三

1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题：

a//b

a

M

a

M

a//M

①

bM

②

b

a//b

③

b

b∥M④

b⊥M.

a

M

M

a

a

b

其中正确的命题是

（

）

A.①②

B.①②③

C.②③④

D.①②④

2.下列命题中正确的是

（

）

A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面

B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线

D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面

3.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF

把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面

体P—DEF中，必有（）

A.DP⊥平面PEF

B.DM⊥平面PEF

C.PM⊥平面DEF

D.PF⊥平面DEF

4.设a、b是异面直线，下列命题正确的是

（

）

A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和

a、b都相交

B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和

a、b都垂直

C.过a一定可以作一个平面与

b垂直

第3题图

D.过a一定可以作一个平面与

b平行

5.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:

l=β∩γ,l∥α,mα和m⊥γ,那么必有（）

A.α⊥γ且l⊥m

B.α⊥γ且m∥β

C.m∥β且l⊥m

D.α∥β且α⊥γ

6.AB是圆的直径，

C是圆周上一点，PC垂直于圆所在平面，若

BC=1,AC=2,PC=1，则

P到AB的距离为

（）

A.1

B.2

2

5

3

5

C.

D.

55

7.有三个命题：

①垂直于同一个平面的两条直线平行；

②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直

其中正确命题的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

8.d是异面直线a、b的公垂线，平面α、β满足a⊥α，b⊥β，则下面正确的结论是

（）

A.α与β必相交且交线m∥d或m与d重合

B.α与β必相交且交线m∥d但m与d不重合

C.α与β必相交且交线m与d一定不平行

D.α与β不一定相交

9.设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，给出下列命题

①若m⊥α，则m∥l；②若m⊥l，则m∥α；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则

m⊥α，

其中真命题的序号是（）

．．．

5

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

10.已知直线l⊥平面α，直线m平面β，给出下列四个命题：

①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β.

其中正确的命题是（）

A.③与④B.①与③C.②与④D.①与②

二、思维激活

11.如图所示，△ABC是直角三角形，AB是斜边，三个顶点在平面α的同侧，它们在α内的射影分别为A′，B′，C′，如果△A′B′C′是正三角形，且AA′＝3cm，BB′＝

5cm，CC′＝4cm，则△A′B′C′的面积是.

第11题图

第13题图

第12

题图

12.如图所示,在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中,当底面四边形

ABCD满足条件

时,

有A1C⊥B1D1（注:

填上你认为正确的一种条件即可

不必考虑所有可能的情形）

13.如图所示，在三棱锥V—ABC中，当三条侧棱VA、VB、VC之间满足条件

时，

有VC⊥AB.（注：

填上你认为正确的一种条件即可

）

三、能力提高

14.如图所示,三棱锥V-ABC中,AH⊥侧面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC边上的

高.

（1）求证:

VC⊥AB;

（2）若二面角E—AB—C的大小为30°,求VC与平面ABC

所成角的大小.

第14题图

15.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.

（1）求证：

MN∥平面PAD.

（2）求证：

MN⊥CD.

（3）若∠PDA＝45°，求证：

MN⊥平面PCD.

6

第15题图

16.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD＝60°，AB

＝4，AD＝2，侧棱PB＝15，PD＝3.

（1）求证：

BD⊥平面PAD.

（2）若PD与底面ABCD成60°的角，试求二面角P—BC—A的大小.

第16题图

17.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1

的中点，求证：

AB1⊥A1M．

18.如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB＝1∶2，MC与BD交于P.

（1）求证：

NP⊥平面ABCD.

（2）求平面PNC与平面CC′D′D所成的角.

（3）求点C到平面D′MB的距离.

第18题图

7

第4课线面垂直习题解答

1.A两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平

行.

2.C

由线面垂直的性质定理可知.

3.A

折后DP⊥PE,DP⊥PF，PE⊥PF.

4.D

过a上任一点作直线

b′∥b,则a，b′确定的平面与直线b平行.

5.A

m⊥γ且m

α,则必有α⊥γ,又因为l=β∩γ则有l

γ,而m⊥γ则l⊥m,

故选A.

6.D

P作PD⊥AB于D，连CD，则CD⊥AB，AB=

2

2

，

ACBC

5

ACBC2

CD，

AB5

∴PD=PC2

CD2

4

3

5

1

.

5

5

7.D由定理及性质知三个命题均正确.

8.A显然α与β不平行.

9.D垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面

垂直.

10.B∵α∥β，l⊥α，∴l⊥m

11.3cm2设正三角A′B′C′的边长为a.

2

∴AC2=a2+1,BC2=a2+1,AB２=a2+4，又AC2+BC2=AB2，∴a2=2．

S△A′B′C′=

3a2

3cm2．

4

2

12.在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中当底面四边形

ABCD满足条件AC⊥BD（或任何能推导出

这个条件的其它条件，例如

ABCD是正方形，菱形等）时,有A1C⊥B1D1（注:

填上你认为正确

的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形）.

点评：

本题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，

此题实质考查了

三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活.

13.VC⊥VA，VC⊥AB.由VC⊥VA，VC⊥AB知VC⊥平面VAB.

14.

（1）证明:

∵H为△VBC的垂心,

∴VC⊥BE,又AH⊥平面VBC,

∴BE为斜线AB在平面VBC上的射影,∴AB⊥VC.

（2）解:

由

（1）知VC⊥AB,VC⊥BE,

∴VC⊥平面ABE,在平面ABE上,作ED⊥AB,又AB⊥VC,

∴AB⊥面DEC.

∴AB⊥CD,∴∠EDC为二面角E—AB—C的平面角，∴∠EDC=30°,∵AB⊥平面VCD,

8

∴VC在底面ABC上的射影为CD.

∴∠VCD为VC与底面ABC所成角,又VC⊥AB,VC⊥BE,

∴VC⊥面ABE,∴VC⊥DE,

∴∠CED=90°,故∠ECD=60°,

∴VC与面ABC所成角为60°.

15.证明：

（1）如图所示，取PD的中点E，连结AE，EN，

则有EN∥CD∥AB∥AM，EN＝1CD＝1AB＝AM，故AMNE为平行四边形.

22

∴MN∥AE.

∵AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD.

（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB.

又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD.

∴AB⊥AE，即AB⊥MN.

又CD∥AB，∴MN⊥CD.

第15题图解

（3）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD.

又∠PDA＝45°，E为PD的中点.

∴AE⊥PD，即MN⊥PD.又MN⊥CD，

∴MN⊥平面PCD.

16.如图

（1）证：

由已知AB＝4，AD＝２，∠BAD＝60°，

2

2

2

·ABcos60°＝4+16-2×2×4×

1

＝12.

故BD

＝AD

+AB-2AD

2

又AB2＝AD2+BD2，

∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，

即AD⊥BD.在△PDB中，PD＝3，PB＝15，BD＝12，

∴PB2＝PD2+BD2，故得PD⊥BD.又PD∩AD＝D，

∴BD⊥平面PAD.

（2）由BD⊥平面PAD，BD平面ABCD.∴平面PAD⊥平面ABCD.作PE⊥AD于E，

又PE平面PAD，

第16题图解

∴PE⊥平面ABCD，∴∠PDE是PD与底面ABCD所成的角.

∴∠PDE＝60°，∴PE＝PDsin60°＝

3

3

3

.

2

2

作EF⊥BC于F，连PF，则PF⊥BF，

∴∠PFE是二面角P—BC—A的平面角.

又EF＝BD＝12，在Rt△PEF中，

3

PE

2

3

tan∠PFE＝

23

.

EF

4

故二面角P—BC—A的大小为arctan3.

4

9

17.连结AC1，∵

AC

3

2

CC1

.

MC1

6

C1A1

2

∴Rt△ACC1∽Rt△MC1A1，∴∠AC1C=∠MA1C1，

∴∠A1MC1+∠AC1C=∠A1MC1+∠MA1C1=90°.

∴A1M⊥AC1,又ABC-A1B1C1为直三棱柱，

∴CC1⊥B1C1，又B1C1⊥A1C1，∴B1C1⊥平面AC1M.

由三垂线定理知AB1⊥A1M.

点评：

要证AB1⊥A1M，因B1C1⊥平面AC1，由三垂线定理可转化成证

AC1⊥A1M，而

⊥

一定会成立．

AC1A1M

18.

（1）证明：

在正方形ABCD中，

∵△MPD∽△CPB，且MD＝1

BC，

2

∴DP∶PB＝MD∶BC＝1∶2.

又已知D′N∶NB＝1∶2，

由平行截割定理的逆定理得NP∥DD′，又DD′⊥平面ABCD，

∴NP⊥平面ABCD.

（2）∵NP∥DD′∥CC′，

∴NP、CC′在同一平面内，CC′为平面NPC与平面CC′D′D所成二面角的棱.

又由CC′⊥平面ABCD，得CC′⊥CD，CC′⊥CM，

∴∠MCD为该二面角的平面角.

在Rt△MCD中可知

∠MCD＝arctan1，即为所求二面角的大小.

2

（3）由已知棱长为

a可得，等腰△MBC面积S1＝a2

，等腰△MBD′面积S2＝

6

a2，设所

2

4

求距离为h，即为三棱锥

C—D′MB的高.

∵三棱锥D′—BCM体积为1SDD

1Sh，

1

2

3

3

S1a

6a.

∴h

S2

3

10

空间中的计算

基础技能篇

类型一：

点到面的距离

方法1：

直接法—把点在面上的射影查出来，然后在直角三角形中计算例1：

在正四面体ABCD中，边长为a，求点A到面BCD的距离。

变式1在正四棱锥V-ABCD中，底面ABCD边长为a,侧棱长为b.求顶点V到底面ABCD的距离。

变式2在正四棱锥V-ABCD中，底面ABCD边长为a,侧棱长为b.求顶点A到底面VCD的距离。

方法2：

等体积法求距离---在同一个三棱锥中利用体积不变原理，通过转换不同的底和高来达到目的。

例2已知在三棱锥V—ABC中，VA,VB,VC两两垂直，VA=VB=3，VC=4，求点V到面ABC的距离。

变式1：

如图所示的多面体是由底面为

ABCD的长方体被截面

AEC1F所截而得到的，其

中AB4,BC2,CC13,BE1．

（1）求BF的长；

（2）求点C到平面AEC1F的距离．

变式2

如图，在四棱锥O

ABCD中，底面ABCD是四边长为

1的菱形，ABC

O

4

OA

面ABCD,OA

2,．求点B到平面OCD的距离．

11

AD

BC

变式3在正四面体ABCD中，边长为a，求它的内切求的半径。

类型二：

其它种类的距离的计算（点到线，点到点）

例3如图，在四棱锥O

ABCD中，底面ABCD是四边长为

1的菱形，ABC,OA

4

面ABCD,OA2

M为OC的中点，求AM和点A到直线OC的距离．

O

A

BC

举一反三

1．正三棱锥P-ABC高为2，侧棱与底面所成角为45，则点A到侧面PBC的距离是

A．45B

．65

C．6D．46

2．如图，已知正三棱柱

ABC

A1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A点

出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周．．到达A1点的最短路线的长为

A．10B．20

C

．30D．40

二、填空题：

3．太阳光照射高为

3

m的竹竿时，它在水平地面上的射影

为1m，同时，照射地面上一圆球时，如图所示，其影子

的长度AB等于3

3cm,则该球的体积为_________．

4．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为___

2

23

主视图

左视图俯视图

D

．

三、解答题：

5．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝2C1N．求点B1到平面AMN的距离．

6．一个多面体的直观图及三视图如图所示：

（其中M、N分别是AF、BC的中点）.

12

（1）求证：

MN∥平面CDEF；

（2）求多面体A—CDEF的体积．

7．一个多面体的直观图和三视图如图所

示，其中M、N分别是AB、AC的中点，

G是DF上的一动点.

（1）求证：

GNAC;

（2）当FG=GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP//平面FMC,并给出证明．

F

E

a

G