8上全等三角形证明经典50题含答案.docx
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8上全等三角形证明经典50题含答案
1.已知:
AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD
解:
延长AD至ijE,使AD=DE
.D是BC中点
.•.BD=DC
在Z^ACD和4BDE中
AD=DE
ZBDE=/ADC
BD=DC
・•.ACD^zBDE
.•.AC=BE=2
・•・在AABE中
AB-BEVAEVAB+BE
・.AB=4
即4-2V2ADV4+2
1vADv3
.•.AD=2
1-
2.已知:
D是AB中点,ZACB=90,求证:
CD-AB2
延长CD与P,使D为CP中点。
连接AP,BP
•••DP=DC,DA=DB
ACBP为平行四边形
又/ACB=90
・•・平行四边形ACBP为矩形
AB=CP=1/2AB
3.已知:
BC=DE,ZB=ZE,/C=/D,F是CD中点,求证:
/1=/2
证明:
连接BF和EF
•••BC=ED,CF=DF,ZBCF=/EDF
•••三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)
BF=EF,ZCBF=/DEF
连接BE
在三角形BEF中,BF=EF
ZEBF=ZBEFo
•••ZABC=ZAEDo
ZABE=ZAEB。
••AB—AEo
在三角形ABF和三角形AEF中
AB=AE,BF=EF,
ZABF=ZABE+ZEBF=ZAEB+ZBEF=ZAEF
三角形ABF和三角形AEF全等。
ZBAF=ZEAF(Z1=/2)。
4.已知:
/1=/2,CD=DE,EF//AB,求证:
EF=AC
过C作CG//E咬AD的延长线于点G
CG//EF,可得,ZDERDGD
DE=DC
ZFDE=ZGDC(对顶角)
/.AEFD^ACGD
EF=CG
/CGD=/EFD
又,EF//AB
/EFD=Z1
Z1=Z2
・./CGD=/2
・•.△AGC等腰三角形,
AC=CG
又EF=CG
.EF=AC
5.已知:
AD平分/BAC,AC=AB+BD,求证:
/B=2ZC
证明:
延长AB取点E,使AE=AC,连接DE
.AD平分/BAC
ZEAD=/CAD
•.AE=AC,AD=AD
・•.AED^ZACD
(SAS)
zE=ZC
-.AC=AB+BD
.•.AE=AB+BD
.AE=AB+BE
.•.BD=BE
・•.ZBDE=ZE
・•・"BC=ZE+ZBDE
zABC=2ZE
・•・"BC=2ZC
6.已知:
AC平分/BAD,CEXAB,ZB+ZD=180°,求证:
AE=AD+BE
证明:
在AE上取F,使EF=EB,连接CF
•.CEXAB
•JDEB=ZCEF=90°
•.EB=EF,CE=CE,
•••^CEB^zGEF
.•.ZB=ZCFE
.ZB+ZD=180°,zCFE+ZCFA=180
.•.ZD=ZCFA
.AC平分/BAD
ZDAC=ZFAC
.AC=AC
•.ADCW公FC(SAS)
.AD=AF
•.AE=AF+FE=AD+BE
7.已知:
AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD
解:
延长AD至I]E,使AD=DE
•••D是BC中点
BD=DC
AC用△BD曲
AD=DE
ZBDE=ZADC
•.△ACD^ABDE
AC=BE=2
••・在△ABE
AB-BEVAEVAB+BE
•••AB=4
即4-2V2AD<4+2
1VADV3
AD=2
1-
8,已知:
D是AB中点,ZACB=90,求证:
CD-AB2
B:
延长AD至ijE,使AD=DE
•••D是BC中点
BD=DC
在△AC用△BD呼
AD=DE
/BDE=/ADC
BD=DC
・.△ACD^ABDE
AC=BE=2
・•・在△ABE
AB-BEVAEVAB+BE
・••AB=4
即4-2V2AD<4+2
1VADV3
AD=2
9.已知:
BC=DE,ZB=ZE,/C=/D,F是CD中点,求证:
/1=/2
证明:
连接BF和EF。
•••BC=ED,CF=DF,ZBCF=ZEDF。
•••三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。
BF=EF,ZCBF=/DEF。
连接BE。
在三角形BEF中,BF=EF。
/EBF=/BEF。
又「ZABC=/AED。
ZABE=ZAEB。
AB=AE。
在三角形ABF和三角形AEF中,
AB=AE,BF=EF,
ZABF=ZABE+ZEBF=ZAEB+ZBEF=/AEF。
三角形ABF和三角形AEF全等。
ZBAF=ZEAF(Z1=/2)。
10.已知:
/1=Z2,CD=DE,EF//AB,求证:
EF=AC
过C作CG//E咬AD的延长线于点G
CG//EF,可得,/EFDGD
DE=DC
/FDE=/GDC(对顶角)
・.△EFD^ACGD
EF=CG
/CGD=/EFD
又EF//AB
・./EFD=Z1
Z1=Z2
CGD=/2
・•.△AGC等腰三角形,
AC=CG
又EF=CG
.EF=AC
11.已知:
AD平分/BAC,AC=AB+BD,求证:
/B=2ZC
证明:
延长AB取点E,使AE=AC,连接DE
.AD平分/BAC
ZEAD=/CAD
•.AE=AC,AD=AD
.•.丛ED^ZACD(SAS)
zE=ZC
•.AC=AB+BD
.•.AE=AB+BD
.AE=AB+BE
.•.BD=BE
••.ZBDE=ZE
•./ABC=/E+ZBDE
••・"BC=2ZE
ZABC=2/C
12.已知:
AC平分/BAD,CEXAB,ZB+ZD=180,求证:
AE=AD+BE
在AE上取F,使EF=EB,连接CF
•.CEXAB
.,.ZCEB=ZCEF=90
.EB=EF,CE=CE,
••.ZEEB^zGEF
.•.ZB=ZCFE
.ZB+ZD=180,zCFE+ZCFA=180
.•.ZD=ZCFA
.AC平分/BAD
ZDAC=ZFAC
又「AC=AC
..加DC0公FC(SAS)
.•.AD=AF
.•.AE=AF+FE=AD+BE
12.如图,四边形ABCD中,AB//DC,BE、CE分别平分/ABC、ZBCD,且点E在AD
上。
求证:
BC=AB+DC
在BC上截取BF=AB,连接EF
.BE平分/ABC
,"BE=ZFBE
又•.BE=BE
・•・zABE^HBE(SAS)
・•・"=ZBFE
•.AB//CD
.・"+ZD=180o
.ZBFE+ZCFE=180o
••.ZD=ZCFE
又・./DCE=ZFCE
CE平分/BCD
CE=CE
•.zDCEW•CE(AAS)
,BC=BF+CF=AB+CD
13.已知:
AB//ED,ZEAB=ZBDE,AF=CD,EF=BC,求证:
/F=ZC
AB||ED,得:
/EAB+ZAED=ZBDE+ZABD=180度,
•••ZEAB=ZBDE,
,"ED=/ABD,
••・四边形ABDE是平行四边形。
•.得:
AE=BD,
•.AF=CD,EF=BC,
••・三角形AEF全等于三角形DBC,
.•.ZF=ZCo
14.已知:
AB=CD,ZA=/D,求证:
/B=ZC
证明:
设线段AB,CD所在的直线交于E,(当AD AD>BC时,E点是射线AB,DC的交点)。 则: MED是等腰三角形。 而AB=CD ••BE=CE(等量加等量,或等量减等量) •.ZBEC是等腰三角形 .•.ZB=ZC. 15. PC-PB P是/BAC平分线AD上一点,AC>AB,求证: 在AC上取点巳 使AE=AB。 •••AE3B AP=AP /EAP=/BAE, ・.△EAP^ABAP PE=PBo PCVEC+PE •••PCvAC—AE)+PB PC-PB 16.已知/ABC=3ZC,/1=/2,BEXAE,求证: AC-AB=2BE 证明: 在AC上取一点D,使得角DBC二角C •./ABC=3/C •./ABD=ZABCDBC=3/C-/C=2/C; •./ADB=ZC+/DBC=2/C; .•.AB=AD ••.AC-AB=AC-AD=CD=BD 在等腰三角形ABD中,AE是角BAD的角平分线, ••.AE垂直BD •••BEXAE ,点E一定在直线BD上, 在等腰三角形ABD中,AB=AD,AE垂直BD •・•点E也是BD的中点 .•.BD=2BE •.BD=CD=AC-AB ••.AC-AB=2BE 17.已知,E是AB中点,AF=BD,BD=5,AC=7,求DC •・•作AG//BD交DE延长线于G 2•.AGE全等BDE .AG=BD=5 3••AGFsCDF AF=AG=5 ,DC=CF=2 18.如图,在^ABC中,BD=DC,Z1=Z2,求证: AD±BC. A 解: 长 AD至BC于点E, B一1.•BD=DCC△BDC等腰三角形 ・・./DBC=ZDCB 又・./1=/2,/DBC+/1=/DCB+/2 即/ABC=ZACB ・•.△ABC等腰三角形 AB=AC 在△AB丽△ACD^ {AB=AC /1=/2 BD=DC ,△ABD口△AC匿全等三角形(边角边) BAD=ZCAD A弱△ABC勺中垂线 AE±BC AD±BC 19.如图,OM平分/POQ,MA±OP,MB±OQ,A>B为垂足,AB交OM于点N. 求证: /OAB=/OBA 证明: .OM平分/POQ ••.ZPOM=/QOM .MA±OP,MB±OQ dMAO=/MBO=90 .OM=OM ・•.AOM^/BOM(AAS) .•.OA=OB .ON=ON •.AON^/BON(SAS) ・•.QAB=/OBA,ZONA=ZONB ."NA+ZONB=180 ••.dDNA=ZONB=90 ・•.OM±AB 20.(5分)如图,已知AD//BC,ZPAB的平分线与/CBA的平分线相交于E,CE的连线 交AP于D.求证: AD+BC=AB. AP相交于F点, ZPAB+ZCBA=180°,又,AE,BE均为/PAB和/CBA的角平分线 ZEAB+ZEBA=90°,AEB=90°,EAB为直角三角形 在三角形ABF中,AE^BF,且AE为/FAB的角平分线 ••・三角形FAB为等腰三角形,AB=AF,BE=EF 在三角形DEF与三角形BEC中, ZEBC=ZDFE,且BE=EF,ZDEF=/CEB, ••・三角形DEF与三角形BEC为全等三角形,,DF=BC ・•.AB=AF=AD+DF=AD+BC 21.如图,4ABC中,AD是/CAB的平分线,且AB=AC+CD,求证: /C=2ZB 使AE=AC连接ED AB=AC+CD CD=CE 可得/B=ZE zTDE为等腰 ZACB=2ZB 22.(6分)如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DEXACTE,BFLAC于F, 若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M. (1)求证: MB=MD,ME=MF (2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立? 若成立 请给予证明;若不成立请说明理由. ①② (1)连接BE,DF. DE±ACFE,BF±AC于F, ・./DEC=ZBFA=90°,DE//BF, 在Rt△DEC^Rt△BFM, •••AF=CE,AB=CD, Rt△DEgRt△BFA),( DE=BF. ••・四边形BEDF是平行四边形. MB=MD,ME=MF; (2)连接BE,DF. DE±ACFE,BF±AC于F, •./DEC=ZBFA=90°,DE//BF, 在Rt△DE由Rt△BFM, •••AF=CE,AB=CD, Rt△DEgRt△BFA),( DE=BF. ••・四边形BEDF是平行四边形. MB=MD,ME=MF. 23.已知: 如图,DC//AB,且DC=AE,E为AB的中点, (1)求证: △AED^/EBC. (2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除^EBC外,请再写出两个与^AED的面积相 (直接写出结果,不要求证明) 证明: .DC//AB ••.ZCDE=ZAED .DE=DE,DC=AE ,AED^zEDC ・•・E为AB中点 .AE=BE .•.BE=DC .DC//AB ••.ZDCE=ZBEC •.CE=CE ••.ZEBC^zEDC ,AED^zEBC 24.(7分)如图,△ABC中,ZBAC=90度,AB=AC,BD是/ABC的平分线,BD的延 长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F. 求证: BD=2CE. B 证明: •••ZCEB=ZCAB=90° ••・ABCE四点共元 •.ZABE=ZCBE .•.AE=CE ZECA=ZEAC 取线段BD的中点G,连接AG,则: AG=BG=DG J3AB=ZABG 而: ZECA=ZGBA(同弧上的圆周角相等) ZECA=ZEAC=ZGBA=/GAB 而: AC=AB •••^AEC^AGB .EC=BG=DG •.BE=2CE 25、如图: DF=CE,AD=BC,ZD=/C。 求证: △AED^/BFC。 证明: DF=CE, DFEF=CE-EF, 即DE=CF, 在△AE用△BF中, •••AD=BC,ZD=ZC,DE=CF • .△AED^ABBASO 26、(10分)如图: 求证: AM是GABC的中线。 证明: •.BE||CF ,ZE=/CFM,ZEBM=/FCM •.BE=CF ••.ZBEM^zCFM •.BM=CM •••AM是那BC的中线. 27、(10分)如图: 在△ABC中,BA=BC,D是AC的中点。 求证: BD^AC。 ・「ABD和ABCD的三条边都相等 ,ABD=ABCD ,"DB=/CD ,"DB=ZCDB=90° .-.BD±AC BF=CF 28、(10分)AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点。 求证: 在Z^ABD与GACD中 AB=AC BD=DC AD=AD 1.ABD^ZACD ,"DB=/ADC 2•.ZBDF=ZFDC 在ABDF与^FDC中 BD=DC ZBDF=ZFDC DF=DF 3•.ZFBD^zECD .•.BF=FC 29、(12分)如图: AB=CD,AE=DF,CE=FB。 求证: AF=DE •.AB=DC AE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FB,ABE=z^CDF •••ZDCB=/ABF AB=DCBF=CE MBF=Z^CDE .•.AF=DE 30.公园里有一条“Z"字形道ABCD,如图所示,其中AB//CD,在AB,CD,BC三段 路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE=CF,M在BC的中点,试说明三只石凳E,F,M恰好在一条直线上. AE 证明: 连接EF •••AB//CD B=ZC 是BC中点 .•.BM=CM 在△BEMF口△CFM^ BE=CF ZB=ZC BM=CM ・.△BEM^ACFMAS) CF=BE CDF. 31.已知: 点A、F、E、C在同一条直线上,AF=CE,BE//DF,BE=DF.求证: △ABE^A .AF=CE,FE=EF. .•.AE=CF. •.DF/ZBE, ,“EB=ZCFD(两直线平行,内错角相等) •.BE=DF •••: △ABE^ACASI 32.已知: 如图所示,AB=AD,BC=DC,E、F分别是DC、BC的中点,求证: AE AF。 连接BD; •.AB=ADBC=D ••.ZADB=/ABDZCDB=/ABD;两角相力口,ZADC=ZABC; ,DE=BF; •.AB=ADDE=BF 证明: 在AADC,AABC中 .AC=AC,ZBAC=ZDAC,ZBCA=ZDCA ・•.ADC^zABC(两角加一边) •.AB=AD,BC=CD 在ADEC与4BEC中 ZBCA=ZDCA,CE=CE,BC=CD •••ZDEC^zBEC(两边夹一角) JDEC=/BEC 34.已知AB//DE,BC//EF,D,C在AF上,且AD=CF,求证: ABC^DEF. •.AD=DF .•.AC=DF •.AB//DE ・./A=ZEDF X.BC//EF ・./F=ZBCA ・.△ABC^ADAFA() 35.已知: 如图,AB=AC,BDAC,CEAB,垂足分别为D、E,BD、CE相交于点F, 求证: BE=CD. 证明: .BD±AC ZBDC=90° •.CEXAB ZBEC=90° ZBDC=/BEC=90° •.AB=AC ZDCB=ZEBC ••.BC=BC •••RtABDC率t旭EC(AAS) .•.BE=CD 36、如图,在^ABC中,AD为/BAC的平分线,DE,AB于E,DF±AC于Fo 求证: DE=DF. 证明: ・.AD是/BAC的平分线 ZEAD=/FAD 1.DEXAB,DF±AC 2•.ZBFD=ZCFD=90° .・"ED与/AFD=90° 在Z^AED与^FD中 ZEAD=/FAD AD=AD ZAED=ZAFD 3.AED^zAFD(AAS) .•.AE=AF 在Z^AEO与祥FO中 ZEAO=/FAO AO=AO AE=AF .•.丛EO^zaFO(SAS) ,"OE=ZAOF=90° .-.AD±EF 37.已知: 如图,ACBC于C,DEAC于E,ADAB于A,BC=AE.若AB=5,求 AD的长? AD±AB ••.ZBAC=/ADE 又;AC±B(3rC,DE±AC于E 根据三角形角度之和等于180度 ••.ZABC=/DAE •.BC=AE,GABC空DAE(ASA) .AD=AB=5 38.如图: AB=AC,MELAB,MFLAC,垂足分别为E、F,ME=MF。 求证: MB=MC 证明: •.AB=AC .•.ZB=ZC .ME±AB,MFLAC ZBEM=ZCFM=90°在ABME和ACMF中•••ZB=ZCZBEM=ZCFM=90°ME=MF・•・ZBME^zCMF(AAS).•.MB=MC. 39.如图,给出五个等量关系: ①ADBC②ACBD③CEDE④DC ⑤DABCBA.请你以其中两个为条件,另三个中的一个为结论,推出一个正确的结 论(只需写出一种情况),并加以证明. 已知: ①AD=BC,⑤/DAB=ZCBA 求证: △DAB^ACBA 证明: •••AD=BC,/DAB=ZCBA又「AB=AB・.△DAB^ACBA 40.在^ABC中,ACB90,ACBC,直线MN经过点C,且ADMN于D, BEMN于E.⑴当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证: ①ADC色CEB; ②DEADBE; (2)当直线MN绕点C旋转到图2 立吗? 若成立,请给出证明;若不 图1 ⑴ CD,.ZADC=ZACB=/BEC=90°, ZCAD+ZACD=90°,zBCE+ZCBE=90°,zACD+ZBCE=90°. ZCAD=/BCE. -.AC=BC, ..ADC^zCEB. ②••必DC^zCEB,.•.CE=AD,CD=BE. •.DE=CE+CD=AD+BE (2)•••ZADC=ZCEB=ZACB=90°,,"CD=/CBE. X/AC=BC, ・•.ACD^zCBE. .•.CE=AD,CD=BE. .•.DE=CE-CD=AD-BE (2) 41.如图所示,已知AEXAB,AFLAC,AE=AB,AF=AC。 求证: (1)EC=BF;ECXBF (1).AE±AB,AFLAC, ZBAE=ZCAF=90°, ZBAE+ZBAC=ZCAF+ZBAC, 即/EAC=ZBAF,在Z^ABF和祥EC中, •.AE=AB,ZEAC=ZBAF,AF=AC, ・••ABFjEC(SAS), .•.EC=BF; (2)如图,根据 (1),那BF0公EC, "EC=/ABF, .AE±AB,ZBAE=90°, ・•・"EC+ZADE=90°, ・••"DE=ZBDM(对顶角相等), ・•.ZABF+ZBDM=90°, 在ABDM中,/BMD=180-ZABF-ZBDM=180-90=90 ・••ECXBF. 42.如图: BEXAC,CFXAB,BM=AC,CN=AB。 求证: (1)AM=AN; (2)AM± AN。 4, 3 BC 证明: (1) 1.BEXAC,CFXAB ・•・"BM+ZBAC=90°,zACN+ZBAC=90 "BM=ZACN 2.BM=AC,CN=AB..ABM*AC .•.AM=AN 3.ABM*AC ZBAM=ZN 4.ZN+ZBAN=90 ZBAM+ZBAN=90 即/MAN=90 .-.AM±AN 43.如图,已知/A=/D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证: BC//EF 在Z^ABF和ACDE中 AB=DE ZA=ZD AF=CD 二.ABF三zCDE(边角边) .•.FB=CE 在四边形BCEF中 FB=CE BC=EF ••・四边形BCEF是平行四边形 5•.BC||EF 44.如图,已知AC//BD,EA、EB分别平分/CAB和/DBA,CD过点E,则AB与AC+BD 相等吗? 请说明理由 「Ed 在AB上取点N,使彳导AN=AC 6••ZCAE=/EAN .AE为公共, 7••^CAE^zEAN ,"NE=/ACE 又.AC平彳亍BD 8•・"CE+ZBDE=180 而/ANE+ZENB=180 9•.ZENB=ZBDE ZNBE=/EBN .BE为公共边 10.ZEBN0ZEBD .•.BD=BN .•.AB=AN+BN=AC+BD 45、(10分)如图,已知: AD是BC上的中线,且DF=DE,求证: BE//CF. 证明: .「AD是^ABC勺中线 BD=CD 11•DF=DE(已知) /BDE=ZFDC・.△BDE^AFDC贝U/EBD=/FCD BE//CF(内错角相等,两直线平行)。 46、(10分)已知: 如图,AB=CD,DEXAC,BFXAC,E,F是垂足,DE求证: AB//CD. 证明: 1.DEXAC,BFXAC 2•.ZCED=ZAFB=90o X/AB=CD,BF=DE •••Rt次BF至tzdCDE(HL) ・•.AF=CE ZBAF=ZDCE .ABZ/CD 求证: AB=CD 47、(10分)如图,已知/1=Z2,Z3= .AB=CD 48、(10分)如图,已知AC±AB,DB±AB,AC=BE,AE=BD,试猜想线段CE与DE 的大小与位置关系,并证明你的结论. CE>DE。 当/AEB越小,则DE越小。 证明: 过D作
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