挑战中考数学压轴题全套.docx
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挑战中考数学压轴题全套
第一部分函数图象中点的存在性问题
§1.1因动点产生的相似三角形问题§1.2因动点产生的等腰
三角形问题§1.3因动点产生的直角三角形问题§1.4因动
点产生的平行四边形问题§1.5因动点产生的面积问题§1.6
因动点产生的相切问题§1.7因动点产生的线段和差问题
第二部分
图形运动中的函数关系问题
§2.
1
由比例线段产生的函数关系问题
第三部分
图形运动中的计算说理问题
§3.
1
代数计算及通过代数计算进行说理问题
§3.
2
几何证明及通过几何计算进行说理问题
第四部分
图形的平移、翻折与旋转
§4.
1
图形的平移§
4.2图形的翻折§4.3图形的旋转
§4.4三角形§4.5四边形§4.6圆§4.7函数的图象及性质
§1.1因动点产生的相似三角形问题
课前导学相似三角形的判定定理有3个,其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件,因此探求两个三角形相似的动态问题,一般情况下首先寻找一组对应角相等.
判定定理2是最常用的解题依据,一般分三步:
寻找一组等角,分两种情况列比例方程,解方程并检验.如果已知/A=ZD,探求△ABC 和-ABDE两种情况列方程. ACDFACDE 应用判定定理1解题,先寻找一组等角,再分两种情况讨论另外两组对应角相等. 应用判定定理3解题不多见,根据三边对应成比例列连比式解方程(组) 还有一种情况,讨论两个直角三角形相似,如果一组锐角相等,其中一个直角三角形的 锐角三角比是确定的,那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题. 求线段的长,要用到两点间的距离公式,而这个公式容易记错.理解记忆比较好. 如图1,如果已知AB两点的坐标,怎样求A、B两点间的距离呢? 我们以AB为斜边构造直角三角形,直角边与坐标轴平行,这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了.水平距离BC的长就是AB两点间的水平距离,等于AB两点的横坐标相减; 例1湖南省衡阳市中考第28题 二次函数y=ax2+bx+c(0)的图象与x轴交于A—3,0)、耳1,0)两点,与y轴交于点Q0,—3m)(m>0),顶点为D. (1)求该二次函数的解析式(系数用含m的代数式表示); (2)如图1,当m^2时,点P为第三象限内抛物线上的一个动点,设△APC勺面积为 S,试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值; (3)如图2,当m取何值时,以A、DC三点为顶点的三角形与厶OB®似? 动感体验请打开几何画板文件名“14衡阳28”,拖动点P运动,可以体验到,当点P运动到AC的中点的正下方时,△APC的面积最大.拖动y轴上表示实数m的点运动,抛物线的形状会改变,可以体验到,/ACD^DZADC都可以成为直角. 思路点拨1•用交点式求抛物线的解析式比较简便. 2.连结OP△APC可以割补为: △COP勺和,再减去厶AOC 3•讨论△ACDWAOBC相似,先确定厶ACD是直角三角形,再验证两个直角三角形是否相似.4•直角三角形ACD^在两种情况. 图文解析 (1)因为抛物线与x轴交于A(—3,0)、B(1,0)两点,设y=a(x+3)(x—1).代入点C(0,—3n),得—3m=—3a.解得a=m 所以该二次函数的解析式为y=njx+3)(x—1)=mf+2mx-3m 22 (2)如图3,连结OP当m=2时,C(0,—6),y=2x+4x—6,那么F(x,2x+4x— 由于Saaof= 13 OA(yp)=(2x+4x—6)=—3x—6x+9,Sacof= —3x,&ao=9, 3 所以S=S^AF(=S^aof+Sacof—Saoc=—3x—9x=3(x)2 2 1 OC(xF)= 2 27 图5 (3)如图4,过点D作y轴的垂线,垂足为E.过点A作x轴的垂线交 由y=mx+3)(x—1)=mx+1)—4m得D(—1,—4m)•在Rt△OBC中,OB: OC=1: 如果△ADCWAOBC相似,那么△ADC是直角三角形,而且两条直角边的比为1: 3m DE于F. 3m X 6). ①如图4, 当/ACD=90°时, OA OC 所以 33m 解得m=1. EC ED m1 CA OC 3 OC CA OC 此时- °C3 .所以 所以△CDApAOBC CD ED OB CD OB ②如图5, 当/ADC=90°时, FA FD 所以 4m2 解得m子. ED EC 1m 此时DA FD 2 2.2, 而°C 3m 3力 .因此△DCAWAOBC不相似 DC EC m OB 2 综上所述,当m=1时,△CDA^AOBC 考点伸展第 (2)题还可以这样割补: 如图6,过点F作x轴的垂线与AC交于点H. 由直线ACy=—2x—6,可得H(x,—2x—6).又因为F(x,2x2+4x—6),所以HF=—2x2 C两点间的水平距离3,所以 27 ~4 21题 —6x•因为△PCH有公共底边HP,高的和为A 323 S=S^apc=S\aph+S\cph=(—2x—6x)=3(x)2 22 例22014年湖南省益阳市中考第 10,BC=4,点P沿线 如图1,在直角梯形ABCDKAB/CDADLAB/B=60°°AB= 段AB从点A向点B运动,设AP=x•21cnjy (1)求AD的长; (2)点P在运动过程中,是否存在以AP、D为顶点的三角形与以P、CB为顶点的三角形相似? 若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由;图1 (3)设厶ADPWAPCB勺外接圆的面积分别为S、S2,若S=S+S2, 求S的最小值.动感体验 请打开几何画板文件名“14益阳21”,拖动点P在AB上运动,可以体验到,圆心O的运动轨迹是线段BC的垂直平分线上的一条线段•观察S随点P运动的图象,可以看到,S有最小值,此时点P看上去象是AB的中点,其实离得很近而已. 思路点拨1•第 (2)题先确定厶PCB是直角三角形,再验证两个三角形是否相似. 2•第(3)题理解△PCB的外接圆的圆心O很关键,圆心O在确定的BC的垂直平分线上,同时又在不确定的BP的垂直平分线上.而BP与AP是相关的,这样就可以以AP为自变 量,求s的函数关系式.图文解析 (1)如图2,作CHLAB于H,那么AD=CH 在Rt△BCH中,ZB=60°BC=4,所以BH=2,CH=2^3.所以AD=2^3• (2)因为△APD是直角三角形,如果△APDWAPCB相似,那么△PCB-定是直角三角形.①如图3,当ZCPB=90°时,AP=10—2=8. 所以AP=8_=◎,而PC=;3.此时△APDW^PCB^相似. 所以ap=2_= AD2/33 AD2亦3PB 所以ZAPD=60°.此时△APD^ACBP 综上所述,当x=2时,△APDo^CBP(3)如图5,设△ADP勺外接圆的圆心为G那么点G是斜边DP的中点.设厶PCB勺外接圆的圆心为0,那么点0在BC边的垂直平分线上,设这条直线与BC交于点E,与AB交于点F.设AP=2m作OMLBP于M那么BM=PM=5—m在Rt△BEF中,BE=2,ZB=60°,所以BF=4.在Rt△OFM中,FM=BF—BM=4—(5—m=m-1,ZOFh=30°,所以OMk乜(m1) 3 所以OB=BM+OM=(5m)2’(m1)2.在Rt△ADP中,dP=aD+aP=12+4ni.所以GP =3+m.于是S=S+S2=nGP+OB)=3m2(5m)21(m1)2= 3 3(7m232m85)•所以当m 时,s取得最小值,最小值为 7 113 "T 图5 图6 考点伸展关于第(3)题,我们再讨论个问题. 问题1,为什么设Al2m呢? 这是因为线段AB=AHPWBM=A冉2BM=10. 这样BMk5-m后续可以减少一些分数运算•这不影响求S的最小值. 问题2,如果圆心O在线段EF的延长线上,S关于m的解析式是什么? 如图6,圆心0在线段EF的延长线上时,不同的是FM=BM-BF=(5—m—4=1—m此时0B=BM+0M=(5m)2! (1m)2•这并不影响S关于m的解析式. 3 例32015年湖南省湘西市中考第26题 如图1,已知直线y=—x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点,抛物线y=—x2+bx+c经过AB两点,点P在线段OA上,从点O出发,向点A以每秒1个单位的速度匀速运动;同时,点Q在线段AB上,从点A出发,向点B以每秒迈个单位的速度匀速运动,连结PQ设运动时间为t秒. (1)求抛物线的解析式; (2)问: 当t为何值时,△APQ为直角三角形; (3)过点P作PE/y轴,交AB于点E,过点Q作QF/y轴,交抛物线于点F,连结EF,当EF//PQ时,求点F的坐标; (4)设抛物线顶点为M连结BPBMMQ问: 是否存在t的值,使以B QM为顶点的三角形与以OB、P为顶点的三角形相似? 若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.图1动感体验 请打开几何画板文件名15湘西26”,拖动点P在OA上运动,可以体验到,△APQ有两个时刻可以成为直角三角形,四边形EPQF有一个时刻可以成为平行四边形,△MBQfABOP 有一次机会相似.思路点拨 1•在△APQ中/A=45°,夹/A的两条边APAQ都可以用t表示,分两种情况讨论直角三角形APQ2•先用含t的式子表示点P、Q的坐标,进而表示点E、F的坐标,根据PE= 将A(3,0) 2 政0,3)分别代入y=—x+bx+C,得 93b c3. C°,解得b 2, 3. QF列方程就好了.3.AMB(与△BOP都是直角三角形,根据直角边对应成比例分两种情况讨论.图文解析 (1)由y=—x+3,得A(3,0),B(0,3). 所以抛物线的解析式为y=—x2+2x+3. (2)在厶APC中,/PAQ=45°,AP=3—t,AQ=.2t.分两种情况讨论直角三角形APQ①当/PQA=90°时,AP=J? AQ解方程3—t=2t,得t=1(如图2). ②当/QPA=90°时,AQ=.2AP.解方程.2t=.2(3—t),得t=1.5(如图3). 图2图3图4 (3)如图4,因为PE//QF当EF/PQ时,四边形EPQ是平行四边形. 所以EP=FQ所以yE—yp=屮一yQ.因为xp=t,xq=3-1,所以yE=3-1,yQ=t,yF=-(3 222 -1)+2(3-1)+3=-t+4t.因为yE-yp=屮一yQ,解方程3-1=(-1+4t)-1,得t=1,或t=3(舍去).所以点F的坐标为(2,3). (4)由y=—x2+2x+3=-(x-1)2+4,得M1,4) 由A(3,0)、B(0,3),可知AE两点间的水平距离、竖直距离相等,AB=3、.2 由E(0,3)、M1,4),可知EM两点间的水平距离、竖直距离相等,EM=,2. 所以/MEQZBOP=90°.因此△MB@ABO相似存在两种可能: 1当OB时,弋2 BQOP'3迈姻 2当OP时,近 BQOB'3逅72t 考点伸展第(3)题也可以用坐标平移的方法: 由 Rt,0),E(t,3-1),Q(3-t,t),按 3.解得t9(如图5).t4 I.整理,得t2-3t+3=0.此方程无实根. 3 照P-E方向,将点Q向上平移,得F(3-1,3).再将F(3-1,3)代入y=—x2+2x+3,得 t=1,或t=3.§1.2因动点产生的等腰三角形问题课前导学我们先回顾两个画图问题: 1•已知线段AB=5厘米,以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个? 顶点C的轨迹是什么? 2.已知线段AB=6厘米,以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个? 顶点C的轨迹是什么? 已知腰长画等腰三角形用圆规画圆,圆上除了两个点以外,都是顶点C. 已知底边画等腰三角形,顶角的顶点在底边的垂直平分线上,垂足要除外. 在讨论等腰三角形的存在性问题时,一般都要先分类. 如果△ABC是等腰三角形,那么存在①AB=AC②BA=BC③CA=CB三种情况. 解等腰三角形的存在性问题,有几何法和代数法,把几何法和代数法相结合,可以使得 解题又好又快.几何法一般分三步: 分类、画图、计算.哪些题目适合用几何法呢? 如果△ABC的/A(的余弦值)是确定的,夹/A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来,那么就用几何法.①如图1,如果AB=AC直接列方程;②如图2,如果BA=BC那 11 么一ACABcosA;③如图3,如果CA=CB那么一ABACcosA. 22 代数法一般也分三步: 罗列三边长,分类列方程,解方程并检验. 如果三角形的三个角都是不确定的,而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来,那 么根据两点间的距离公式,三边长(的平方)就可以罗列出来. 图1图2图3图1 例92014年长沙市中考第26题 如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a*0)的对称轴为y轴,且经过(0,0)和(a,1)两点,点P在该抛物线上运动,以点P为圆心的OP总经过定点A(0,2). 16 (1)求a、b、c的值; (2)求证: 在点P运动的过程中,OP始终与x轴相交;(3)设0P与x轴相交于MX1,0)、N(x2,0)两点,当△AMN为等腰三角形时,求圆心P的纵坐标. 动感体验请打开几何画板文件名“14长沙26”,拖动圆心P在抛物线上运动,可以体验到,圆与x轴总是相交的,等腰三角形AMN存在五种情况. 思路点拨1.不算不知道,一算真奇妙,原来OP在x轴上截得的弦长MN=4是定值. 2.等腰三角形AMF存在五种情况,点P的纵坐标有三个值,根据对称性,MA=MN和NA =NM时,点P的纵坐标是相等的. 图文解析 (1)已知抛物线的顶点为(0,0),所以y=ax2.所以b=0,c=0. 将(.a,-)代入y=ax2,得丄a2.解得a1(舍去了负值). 16164 (2)抛物线的解析式为y】x2,设点P的坐标为(X,】X2). 44 已知A(0,2),所以PA{x2(-1x22)2J右x4—4>£x2. 1 而圆心P到x轴的距离为-X2,所以半径PA>圆心P到x轴的距离. 4 所以在点P运动的过程中,OP始终与x轴相交. (3)如图2,设MN的中点为H,那么PH垂直平分MN 在Rt△PMH中,PM2PA2—x44,PH2(-x)2丄x4,所以mH=4. 16416 所以MH=2.因此MN=4,为定值.等腰△AMN? 在三种情况: 如图3,当AM=AN时, 此时x=OH=232.所以点P的纵坐标为-x2-(232)2(-.31)2423. 44 如图5,当NA=NM时,根据对称性,点P的纵坐标为也为423. ③如图6,当NA=NM=4时,在Rt△AON中,OA=2,AN=4,所以ON=2.3. 此时x=OH=232.所以点P的纵坐标为1x2 4 考点伸展如果点P在抛物线y1x2上运动,以点P为圆心的OP总经过定点B(0,1), 4 那么在点P运动的过程中,OP始终与直线y=—1相切•这是因为: 设点P的坐标为(x」x2).已知B(0,1),所以PBx2(1x21)2(1x21)21x21. 4\4\44 而圆心P到直线y=—1的距离也为! x21,所以半径PB-圆心P到直线y=—1的距 4 离.所以在点P运动的过程中,OP始终与直线y=—1相切. 例102014年湖南省张家界市中考第25题 别为(10,0)和(兰,兰) 55 ,以OB为直径的OA经过C点, 如图1,在平面直角坐标系中,o为坐标原点,抛物 线y=ax2+bx+c(a*0)过OBC三点,BC坐标分 直线I垂直x轴于B点. (1)求直线BC的解析式; (2)求抛物线解析式及顶点坐标; (3)点M是OA上一动点(不同于OB),过点M作 OA的切线,交y轴于点E,交直线I于点F,设线段ME长为mMF长为n,请猜想mn的值,并证明你的结论;(4)若点P从O出发,以每秒1个单位的速度向点B作直线运 动,点Q同时从B出发,以相同速度向点C作直线运动,经过t(0vtw8)秒时恰好使△ BPC为等腰三角形,请求出满足条件的t直图1 动感体验请打开几何画板文件名“14张家界25”,拖动点M在圆上运动,可以体验到, △EAF保持直角三角形的形状,AM是斜边上的高.拖动点Q在BC上运动,可以体验到,△ BPQ有三个时刻可以成为等腰三角形. 思路点拨1.从直线BC的解析式可以得到/OBC勺三角比,为讨论等腰三角形BPQ乍铺垫.2.设交点式求抛物线的解析式比较简便.3.第(3)题连结AEAF容易看到AM是直 角三角形EAF斜边上的高.4.第(4)题的△PBC中,/B是确定的,夹/B的两条边可以用含t的式子表示.分三种情况讨论等腰三角形. 图文解析 (1)直线BC的解析式为y3x15. (2)因为抛物线与x轴交于OB(10,0) 42 两点,设y=ax(x—10).代入点C(18兰),得24a18(丝).解得a—. 5'555524 所以y2X(X10)—X225X—(X5)2125.抛物线的顶 2424122424 点为(5,竺).(3)如图2,因为EF切OA于M所以AMLEF.由24 AE=AEAO=AM可得Rt△AO降Rt△AME 所以/1=Z2.同理/3=Z4.于是可得/EAF=90°. 所以/5=Z1.由tan/5=tan/1,得MAME MFMA' 所以MEMF=MA,即卩mn=25. 图2 (4)在厶BPQ中,cos/B=4,BF=10-1,BQ=t.分三种情况讨论等腰三角形BPQ 5 1如图3,当BP=BQ时,10—t=t.解得t=5. 11480 2 50 13 考点伸展在第(3)题条件下,以EF为直径的OG与X轴相切于点A. 如图4,当PB=PQ时,-BQBPcosB.解方程—t—(10t),得t一. 22513 如图6,这是因为AG既是直角三角形EAF斜边上的中线,也是直角梯形EOBF勺中位线,因此圆心G到X轴的距离等于圆的半径,所以OG与X轴相切于点A. 例112014年湖南省邵阳市中考第26题 2 在平面直角坐标系中,抛物线y=x—(m^n)x+mn(m>n)与x轴相交于A、B两点(点A位于点B的右侧),与y轴相交于点C. (1)若m=2,n=1,求A、B两点的坐标; (2)若AB两点分别位于y轴的两侧,C点坐标是(0,—1),求/ACB勺大小; (3)若m=2,△ABC是等腰三角形,求n的值.动感体验 请打开几何画板文件名"14邵阳26”,点击屏幕左下方的按钮 (2),拖动点A在X轴正半轴上运动,可以体验到,△ABC保持直角三角形的形状.点击屏幕左下方的按钮(3),拖 动点B在X轴上运动,观察△ABC的顶点能否落在对边的垂直平分线上,可以体验到,等腰 三角形ABC有4种情况.思路点拨 1.抛物线的解析式可以化为交点式,用mn表示点A、B、C的坐标. 2.第 (2)题判定直角三角形ABC可以用勾股定理的逆定理,也可以用锐角的三角比. 3.第(3)题讨论等腰三角形ABC先把三边长(的平方)罗列出来,再分类解方程.图文解析 (1)由y=X2—(m+n)x+mn=(x—m)(x—n),且m>n,点A位于点B的右侧,可知A(m0),B(n,0).若m=2,n=1,那么A(2,0),B(1,0).. 别位于y轴的两侧,那么 OAOB=m—n)=—mn=1.所以OC=OAOB所以 OC OA OB OC (2)如图1,由于C(0,mn,当点C的坐标是(0,—1),mn=-1,OG=1.若AB两点分 所以tan/1=tan/2.所以/1=Z2.又因为/1与/3互余,所以/2与/3互余. 所以/ACB=90°.(3)在厶ABC中,已知A(2,0),耳n,0),C(0,2n). 讨论等腰三角形ABC用代数法解比较方便: 由两点间的距离公式,得AB=(n—2)2, BC=5n2,AC=4+4n2.①当AB=AC时,解方程(n—2)2=4+4n2,得n-(如图2). 3 ②当CA=CB时,解方程4+4n2=5n2,得n=—2(如图3),或n=2(AB重合,舍 考点伸展第 (2)题常用的方法还有勾股定理的逆定理. 由于C(0,mn,当点C的坐标是(0,—1),mn=—1. 由A(m0),
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