高中数学第三单元导数及其应用习题课导数的应用教学案新人教B版选修11.docx
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高中数学第三单元导数及其应用习题课导数的应用教学案新人教B版选修11
2019-2020年高中数学第三单元导数及其应用习题课导数的应用教学案新人教B版选修1-1
学习目标 1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用.
知识点一 函数的单调性与其导数的关系
定义在区间(a,b)内的函数y=f(x)
f′(x)的正负
f(x)的单调性
f′(x)>0
单调递________
f′(x)<0
单调递________
知识点二 求函数y=f(x)的极值的方法
解方程f′(x)=0,当f′(x0)=0时,
(1)如果在x0附近的左侧________,右侧________,那么f(x0)是极大值.
(2)如果在x0附近的左侧________,右侧________,那么f(x0)是极小值.
知识点三 函数y=f(x)在[a,b]上最大值与最小值的求法
1.求函数y=f(x)在(a,b)内的极值.
2.将函数y=f(x)的________与端点处的函数值________比较,其中________的一个是最大值,________的一个是最小值.
类型一 函数与其导函数之间的关系
例1 已知函数y=xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),则y=f(x)的图象大致是( )
反思与感悟 研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时,注意抓住各自的关键要素,对于原函数,要重点考查其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应考察其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并考察这些区间与原函数的单调区间是否一致.
跟踪训练1 设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf′(x)的图象可能是( )
类型二 构造函数求解
命题角度1 比较函数值的大小
例2 已知定义域为R的奇函数y=f(x)的导函数为y=f′(x),当x≠0时,f′(x)+
<0,若a=
f(
),b=-
f(-
),c=(ln
)f(ln
),则a,b,c的大小关系正确的是( )
A.a C.a 反思与感悟 本例中根据条件构造函数g(x)=xf(x),通过g′(x)确定g(x)的单调性,进而确定函数值的大小,此类题目的关键是构造出恰当的函数. 跟踪训练2 已知函数f(x)在定义域[0,+∞)上恒有f(x)>f′(x).若a= ,b= ,则a与b的大小关系为________.(用“>”连接) 命题角度2 求解不等式 例3 定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数f′(x)满足f(x) A.(-∞,0)B.(-∞,2) C.(0,+∞)D.(2,+∞) 反思与感悟 根据所求结论与已知条件,构造函数g(x)= ,通过导函数判断g(x)的单调性,利用单调性得到x的取值范围. 跟踪训练3 函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为( ) A.(-1,1)B.(-1,+∞) C.(-∞,-1)D.(-∞,+∞) 命题角度3 利用导数证明不等式 例4 已知x>1,证明不等式x-1>lnx. 反思与感悟 利用函数的最值证明不等式的基本步骤 (1)将不等式构造成f(x)>0(或<0)的形式. (2)利用导数将函数y=f(x)在所给区间上的最小值(或最大值)求出. (3)证明函数y=f(x)的最小值(或最大值)大于零(或小于零)即可证得原不等式成立. 跟踪训练4 证明: 当x>0时,2+2x<2ex. 类型三 利用导数研究函数的极值与最值 例5 已知函数f(x)=x3+ax2+b的图象上一点P(1,0),且在点P处的切线与直线3x+y=0平行. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)在区间[0,t](0 (3)在 (1)的结论下,关于x的方程f(x)=c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根,求实数c的取值范围. 反思与感悟 (1)求极值时一般需确定f′(x)=0的点和单调性,对于常见连续函数,先确定单调性即可得极值点,当连续函数的极值点只有一个时,相应的极值点必为函数的最值点. (2)求闭区间上可导函数的最值时,对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断,只需要直接与端点的函数值比较即可获得. 跟踪训练5 已知函数f(x)=ax3+(a-1)x2+48(a-2)x+b的图象关于原点成中心对称. (1)求a,b的值; (2)求f(x)的单调区间及极值; (3)当x∈[1,5]时,求函数的最值. 1.已知函数f(x)=x3+bx2+cx的图象如图所示,则x +x 等于( ) A. B. C. D. 2.设f(x)、g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数,且f′(x)g(x)-f(x)g′(x)<0,则当a A.f(x)g(x)>f(b)g(b) B.f(x)g(a)>f(a)g(x) C.f(x)g(b)>f(b)g(x) D.f(x)g(x)>f(a)g(a) 3.若函数f(x)=(x-2)(x2+c)在x=2处有极值,则函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为________. 4.函数f(x)=x3-3x-1,若对于区间[-3,2]上的任意x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实数t的最小值是________. 5.已知x>0,求证: x>sinx. 导数作为一种重要的工具,在研究函数中具有重要的作用,例如函数的单调性、极值与最值等问题,都可以通过导数得以解决.不但如此,利用导数研究得到函数的性质后,还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题,所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法. 答案精析 知识梳理 知识点一 增 减 知识点二 (1)f′(x)>0 f′(x)<0 (2)f′(x)<0 f′(x)>0 知识点三 2.极值 f(a),f(b) 最大 最小 题型探究 例1 C [当0 ∴f′(x)<0,故y=f(x)在(0,1)上为减函数, 排除A、B选项. 当1 ∴f′(x)>0,故y=f(x)在(1,2)上为增函数,因此排除D.] 跟踪训练1 A [∵函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x), 且函数f(x)在x=-2处取得极小值, ∴当x>-2时,f′(x)>0; 当x=-2时,f′(x)=0; 当x<-2时,f′(x)<0. ∴当-2 当x=-2时,xf′(x)=0; 当x<-2时,xf′(x)>0. 由此观察四个选项,故选A.] 例2 B [令g(x)=xf(x), 则g(-x)=(-x)f(-x)=xf(x), ∴g(x)是偶函数. g′(x)=f(x)+xf′(x), ∵f′(x)+ <0, ∴当x>0时,xf′(x)+f(x)<0, 当x<0时,xf′(x)+f(x)>0. ∴g(x)在(0,+∞)上是减函数. ∵ , ∴g( ) ). 又∵g(x)是偶函数, ∴g(- )=g( ),g(ln )=g(ln2), ∴g(- ) ) ). 故选B.] 跟踪训练2 a>b 解析 设g(x)= , 则当x≥0时,g′(x)= <0, 所以g(x)在[0,+∞)上是减函数, 所以g (2)>g(3),即 > , 所以a>b. 例3 C [设g(x)= , 则g′(x)= . ∵f(x) ∴g′(x)>0,即函数g(x)单调递增. ∵f(0)=2,∴g(0)= =2, 则不等式等价于g(x)>g(0). ∵函数g(x)单调递增, ∴x>0,∴不等式的解集为(0,+∞),故选C.] 跟踪训练3 B [令g(x)=f(x)-2x-4,∵f′(x)>2, 则g′(x)=f′(x)-2>0. 又由g(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=0, 得g(x)>0,即g(x)>g(-1)的解为x>-1, ∴f(x)>2x+4的解集为(-1,+∞).] 例4 证明 设f(x)=x-1-lnx,x∈(1,+∞), 则f′(x)=1- = , 因为x∈(1,+∞), 所以f′(x)= >0, 即函数f(x)在(1,+∞)上是增函数, 又x>1, 所以f(x)>f (1)=1-1-ln1=0, 即x-1-lnx>0,所以x-1>lnx. 跟踪训练4 证明 设f(x)=2+2x-2ex, 则f′(x)=2-2ex=2(1-ex). 当x>0时,ex>e0=1, ∴f′(x)=2(1-ex)<0. ∴函数f(x)=2+2x-2ex在(0,+∞)上是减函数. ∴f(x) 即当x>0时,2+2x-2ex<0, ∴2+2x<2ex. 例5 解 (1)因为f′(x)=3x2+2ax,曲线在P(1,0)处的切线斜率为f′ (1)=3+2a,即3+2a=-3,a=-3. 又函数过(1,0)点,即-2+b=0,b=2. 所以a=-3,b=2,f(x)=x3-3x2+2. (2)由f(x)=x3-3x2+2, 得f′(x)=3x2-6x. 由f′(x)=0,得x=0或x=2. ①当0 ②当2 x 0 (0,2) 2 (2,t) t f′(x) 0 - 0 + f(x) 2 ↘ -2 ↗ t3-3t2+2 f(x)min=f (2)=-2, f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个. 因为f(t)-f(0)=t3-3t2=t2(t-3)<0, 所以f(x)max=f(0)=2. (3)令g(x)=f(x)-c=x3-3x2+2-c, 则g′(x)=3x2-6x=3x(x-2). 当x∈[1,2)时,g′(x)<0; 当x∈(2,3]时,g′(x)>0. 要使g(x)=0在[1,3]上恰有两个相异的实根, 则 即 解得-2 即实数c的取值范围为(-2,0]. 跟踪训练5 解 (1)∵函数f(x)的图象关于原点成中心对称, 则f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x), 即-ax3+(a-1)x2-48(a-2)x+b =-ax3-(a-1)x2-48(a-2)x-b, 于是2(a-1)x2+2b=0恒成立, ∴ 解得a=1,b=0. (2)由 (1)得f(x)=x3-48x, ∴f′(x)=3x2-48=3(x+4)(x-4), 令f′(x)=0,得x1=-4,x2=4, 令f′(x)<0,得-4 得x<-4或x>4. ∴f(x)的单调递减区间为(-4,4),单调递增区间为(-∞,-4)和(4,+∞), ∴f(x)极大值=f(-4)=128, f(x)极小值=f(4)=-128. (3)由 (2)知,函数在[1,4]上单调递减,在[4,5]上单调递增,对f(4)=-128, f (1)=-47,f(5)=-115, ∴当x∈[1,5]时,函数的最大值为-47,最小值为-128. 当堂训练 1.C [由题意可知f(0)=0,f (1)=0, f (2)=0, 可得1+b+c=0,8+4b+2c=0, 解得b=-3,c=2, 所以函数的解析式为 f(x)=x3-3x2+2x, 所以f′(x)=3x2-6x+2. 令3x2-6x+2=0, 可得x1+x2=2,x1x2= , 所以x +x =(x1+x2)2-2x1x2 =4-2× = .] 2.C [由条件,得 [ ]′= <0. ∴ 在(a,b)上是减函数, ∴ < < , ∴f(x)g(b)>f(b)g(x).] 3.-5 解析 ∵函数f(x)=(x-2)(x2+c)在x=2处有极值, ∴f′(x)=(x2+c)+(x-2)×2x. ∵f′ (2)=0,∴c+4=0,∴c=-4, ∴f′(x)=(x2-4)+(x-2)×2x, ∴函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为 f′ (1)=(1-4)+(1-2)×2=-5. 4.20 解析 由f′(x)=3x2-3=0,得x=±1, 则f(x)min=f(-3)=-19, f(x)max=f(-1)=1, 由题意知,|f(x1)-f(x2)|max =|-19-1|=20, ∴t≥20,故tmin=20. 5.证明 设f(x)=x-sinx(x>0), 则f′(x)=1-cosx≥0对x∈(0,+∞)恒成立, ∴函数f(x)=x-sinx在(0,+∞)上单调递增, 又f(0)=0, ∴f(x)>0对x∈(0,+∞)恒成立, ∴x>sinx(x>0).
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- 高中数学 第三 单元 导数 及其 应用 习题 教学 新人 选修 11