线性常微分方程的若干初等解法探讨数学毕业论文.docx

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线性常微分方程的若干初等解法探讨数学毕业论文

线性常微分方程的若干初等解法探讨

作者：

XX

指导教师：

葛玉丽

摘要：

介绍求解常微分方程的几种初等解法，如常数变易法，积分因子法，拉普拉斯变换法等，在学习过程中，通过对不同类型的方程解法，揭示了常微分方程的求解规律，从而找到最优解法.

关键词：

常数变易法；积分因子；特征根法；拉普拉斯变换

0引言

常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据着重要位置，学好常微分方程基本理论与方法对进一步学习研究数学理论和实际应用均非常重要，对于常微分方程的初等解法，既是常微分方程理论中有自身特色的部分，也与实际问题密切相关；恰当对初等解法进行归类，能正确而又敏捷地判断一个给定的方程属于何种类型，从而能按照所介绍的方法进行分解.

1一阶常微分方程的求解方法

1.1方程能解出y

1.1.1变量分离方程1

形如斜f（X）J）的方程称为变量分离方程.f（x）,"y）分别是x,y

的连续函数.

例1空・口^0.

dyy

解将变量分离得「ye"dy二e3xdx；

两边积分得：

1^^^1e3x■1c;

236

因而通解为：

3ey_2e3x=c（c为任意常数）.

这是一种相当简洁的解法，是最基本的解法，对于比较复杂的方

程，需经过一系列变换，最后利用变量分离求解.

1.1.2常数变易法

对于一阶线性齐次方程—P（x）y=0它的通解为y=ce_呛皿从

此出发，将通解中的任意常数c换成待定函数u（x），假设丫丸&归"朋

（1）为一阶线性非齐次方程y'p（x）y=q（x）

（2）的解，为了确定u（x），将

（1）代入八p（x）y=q（x）的左边，得到

p（x）dx

yp（x）y二u（x）e

从而得到u（x）e_PS"=q（x），即u（x）=qge'gdx

积分后得到u（x）q（x）ep（x）dxdx-c,其中c为任意常数把u（x）代入

（1）中，得到方程

（2）的通解为y二e屮恥（q（x）^^x）dxdxc）

例2解方程：

y（1-xy2）dx=xdy.

解方程变形为-xy令z二y，，

dxx

则主一2y‘或；

dxdx

代入变形方程为：

空2x-空；

dxx

利用常数变易法，其中p（x）2,q（x）—2x;

x

2

则它的通解为z—Z.弓；

2x

2

代回原来的变量y，得到〔一xc,；

y2x

此外，方程还有解

常数变易法实际上也是一种变量替换法，虽然用其来解一阶非齐次线性微分方程时和变量代换法并无原则区别，但将它推广到解高阶线性微分方程21和线性微分方程组时就显出了它的优越性，变易常数

思想是解微分方程的重要数学思想，对非线性方程（如贝努利方程，黎卡提方程）3】也可使用常数变易法求解，并且常数变易法在数学分析中有很多应用，比如求解中值问题及存在性问题，祥见文献41

1.1.3积分因子法

把一阶线性微分方程dy二P（x）yQ（x）

（1）改写为如下的对称形dx

式：

dy—P（x）ydx=Q（x）dx

（2），一般而言，

（2）不是恰当方程，但以

因子M（x）<-P（x）dx乘

（2）两侧，得到方程：

e_p（）dxdy一e—pgp（x）ydx二e—pgQ（x）dx，即d（*p（x）dxy）=MP（x）dxQ（x）dx它是恰当方程，由此可直接积分，得到e—PgdXy二Q（x）^^x）dxdxc

这样就求出了方程的通解八epg（Q（x）「""Sx•c）（3）c为任意

常数，其中u（x）为积分因子，一般情况下，积分因子是很难寻求的，只有在很特殊的情况下才很容易求得•

4

例3求解（x2yx3cosy）dx（x2y「x「'siny）dy二0.

2

解因为^=1-x3siny,』二2xy-1-2x3siny；

.y:

x

则方程不是全微分方程，若把原方程改写为

2

22

（ydx-xdy）x（dxydy）x（xcosydxsinydy）=0

2

可以看出积分因子，因为上式两端同乘以A，有

xx

ydx-xdyx2

22

即-d（y）d（x丄）d（工cosy）=0

x22

22

从而得到方程的通积分丄X丄•冬cosy-c,

x22

或X3cosy2x2xy2ex_2y=0.

此解法，目的明确，方法自然，学生很容易接受，逐步改变了一

上来就直接用任意常数变易法求解一阶线性微分方程的方法，取而代

之是按上述方法一步步求解，这一过程使我们顺利掌握了一阶线性微分方程的通解，同时更容易理解任意常数变易法，这样从不同角度，用不同方法解决了同一问题，更能深刻的体会到任意常数变易法的巧妙之处.

1.2方程不能解出y

这时把x看作是y的函数，再看是否能解出x；成为方程X、f（x,y）可用以上方法求解；但对于不能显性表示为y丄f（x,y）或x丄f（x,y）或M（x,y）dx-N（x,y）dy=0的方程，可分为两类：

1.2.1方程能就y（或x）解出y=f（x,y）（或x二f（y,y））

这时令y'p（或x'p）把问题转化为求解关于p与x（或y）之

间的一阶方程p=fx（x,p）fp（x,p）（或-=fy（y,p）fp（y,卩）虫），再利

dxpdy

用以上方法，求得通解为门（x,p,c）二0（或：

（y,p,c）二0）则它与

y=f（x,p）（或x二f（y,p））—起构成原方程的通解的参数形式.

例4研究克莱洛（claivaut）方程y=xy「:

（y）

（1）.

解令y丄p代入原方程y二xpjp）假定「（p）两次可微且

;:

'（p）0;

两端对x求导，得（X（p））亚=0

dx

取dp=0则p=c；dx

代入

（1）得到通解八ex「（c）

取x+A（p）=O，则「x+A（P：

O即/+珂p）=0

y=xy7®（y）、y=xp+®（p）

由于八（p）-0，则

（2）中第一式存在隐函数p=p（x），代入第二式就

得到一个解y=xp（x）•「（p（x）），则这个解也可以由联立方程

来表达.

'y=ex+®（c）

、x+®'（c）=0

故克莱洛方程除了通解y=cx「（c）之外，还有一个由

{:

;cx（;育所决定的解-

例5求解y（y-1）ey'.

解令y=p，代入原方程y=（p-1）ep；

两边同时对x求导，则y'=epdp•（p-1）ep並,

dxdx

p=pep?

dx

则当p=0时,y--1；当p7时，epdp二dx，则x二epc,c为任意常数，

x=ep十c

则得到方程参数形式的通解{p，p=0；

y=（pT）ep

且当p=0时，y=-1也是方程的解.

总结：

由于此方程的形式与前面所分析的类型不一致，，可以先观察所给的方程的形式，利用变量代换的思想，经过一系列变换，化为我们最熟悉的形式.

1.2.2方程不能就y,y'或x解出

对于形如F（x,y）=0或F（y,y'）=0的方程，引入参数t，将方程表示为参数形式，再注意到关系式dy二y'dx，就将问题转化为求解关于y（或x）与t的一阶方程，且其导数dy（或dX）已表示为t的已知函

dtdt

数，最后的工作就是求积分的问题.

例6求解xy'2=1.

解令y'=cost=：

p，则原方程可化为：

x2cos21=1，

贝卩x=sint，p=cost；

由于dy二pdx,

则dy=cos2tdt,

两边同时积分，则y」」sin2tc;

24

则原方程的通解为x=sint,y=-^sin2tc.

24

例7y_x3（1_y）=0.

解令y=tx=p，代入原方程为（t3-1•tx）x3=0;则x#-t2;

由P=y，贝Sdy=pdx,p=1-t3；

即dy二P二dt二p-p-2t）dt=（1-t3）（-；7-2t）dt=（2t-t-Rdt,

dtttt

2

两边同时积分：

—c；

52t

2高阶常微分方程的求解方法

高阶常系数线性微分方程的一般形式是

y（n）aiy（n"an」ya.y二g（x）

（1）其中aj（i=1,2川，n）为

常数，g（x）为连续函数；依据常系数线性微分方程的通解结构理论，知方程

（1）的通解可表示成该方程的一个特解与其对应的齐次方程的通解之和.

方程

（1）对应的齐次方程y（n）•aiy（nJI）•|||•an」y•a*y=0，由于它具有线性结构，一般采用Euler待定指数函数法可以得到通解，因而非齐次方程

（1）的通解的计算只需寻到它的一个特解即可；有关特解的计算方法较多，如常数变易法5，待定系数法6】，积分法7】等，因此接下来介绍线性微分方程的求解方法的几种归类.

2.1常数变易法

例8已知齐次线性微分方程的基本解组x1,x2，求下列方程对应的非齐次线性微分方程的通解：

x"-X=cost,%=e?

x2二e」.

解应用常数变易法，令x二C1（t）e?

•C2（t）e‘，将它代入方程，则可

得：

G（t）e?

q（t）e」=0,

q（t）et_e」c2（t）=cost

解得：

cost_t'costt

G（t）e',C2（t）et；

22

sint-cost_t

G（t）eA,

由此

4

—sint-costt±，

5（t）es

4

则原方程的通解为

总结：

利用一阶常微分方程的常数变易法的思想，推广到高阶常微分方程，关键是找出决定Ci（t）,C2（t）的方程组，从而求出高阶方程的通解.

由此可知，常数变易法一般用于给定非齐次线性微分方程特解的

方程，这种方法简洁明了，但是比较局限，是最基本的解法.

2.2特征根法

主要是利用把微分方程的求解问题化为代数方程的求根问题的

思想.我们知道简单的一阶方程y'a^0，其中a为常数，它有特解y乂曲，由于y（n）-ajz•an」yany=0与yay=0都是常系数线性

齐次方程，因而猜想方程y（n）+^2）+|H+an」y'+any=0也有形如y=e"的解，其中■是待定常数，为了确定出使

y=/为y（n）Fyg+lll+an』y+a・y=0

的解的■，先将它代入方程中，实际上有（丸n+印钏4+|H+anJ+an）e"=p（九）e样，其中p（丸）=丸n+a上n_十川+an/+an称为特征多项式.则y=e"为方程y（n）七胪"1）+|n+an」y+any=0的解的充要条件是p（，）=0，即，应是方程p（■）=0的根.

下面分两种情况讨论：

10特征根互异：

首先，假设p（H0有n个互异的实根ddlll'n，这时，依上述讨论，方程y（n）a1y（n4Miran4y'an^0有n个特解

yi=e匕y2=e/,|H,yn=尹，则函数y=c,e"乜沙+川+厲尹为方程y（n）yyn（—1川an4y4y=0的通解，其中g,C2」|I,c为任意常数.

例9求方程y-y4y-4y=0的通解.

解特征方程为■彳J".4：

—0，

故特征根为‘1=1,'2=2i,'3--2i，因而基本解组为ex,cos2x,sin2x,故所求通解为y=Gexqcos2xc3sin2x,其中c1,c2,c3为任意常数.

20特征根有重根：

设入是k重特征根（）,由上述讨论知，e肪是y（n）+町2+|H+an」y+a』=0的一个解，但这时由于互异的特征根的个数小于n,故相应地线性无关的解的个数也小于n,要得到通

解，这些特解是不够的，对应于!

，除解e"x外还应补上哪些解呢？

先来研究二阶常系数方程y'•py•qy=0,8】并设p2=4q，特征方程为・2p「q=0，特征根为\JP「｛2「4q,.2「P：

2—4q，即77P；

'1二’2

p_Px

易见，’i二-扌为二重特征根，因而，首先有特解％二e2；现在求已知方程的和yi线性无关的另一个特解，由

*1-p（x）dx

y=cyic%=edx知，

y1

取c*=0,c=1,则另一特解可取为

1_Jp（x）dx—：

xe®"gx

5.辛dx=ee^dx^xe，

p

即当’1=「p是二重特征根时，二阶方程除了有解％二J/之外，

2

_px

还有与它线性无关的另一个特解y2=xe2.

根据以上讨论，对于一般的情形，我们有如下的定理：

如果方程y（n）yyn—1|）「azyany=0有两两互异的特征根

対，丸2,1",丸p，它们的重数分别为耳，口2,1朴,mp，m之1，且m+叫+IH+mp二n，

则与它们对应的方程的特解是

elX,xelX,|H，xm」elX;y,xe竺川,xm2'e'2x；

IHIIIIIHIIIIHIIIHIIIIII

e'px,xe'px,|H，xm2e'px;

例10求方程y4—5y"'9y"-7y'・2y=：

0的通解.

解特征方程是■4-539^2=\-—2）（'-1）^0

故特征根是

，1=2,‘2=，3='4=1,

则它们对应的解为：

2xxx2x

e,e,xe,xe,

故所求通解为：

y=Qe2xC2exC3xexC4x2ex，其中CiCC©为任

意常数.

总结：

欧拉待定指数函数法，即特征根法，在高阶常微分方程中占据了十分重要的位置，要熟练掌握不同类型的解法，从而对于给定的方程能游刃有余.

2.3n阶常系数线性非齐次方程解法

对于形如y（n）aiy（n_1^||an4yan^f（x）的解法，它的通解等于

其对应的齐次方程y（n）a1y（n4^HanJy'an^0的通解与它本身的一

个特解之和.

2.3.1比较系数法（待定系数法）

下面分两种类型讨论：

10设f（t）=（b°tm^tm4J||bm4tbm）e"，其中■及bj（i=0,1,川,m）为实常数.

当，不是特征根时，y（n）-刖⑴①•III•an^y'a“y=f（x）有形如

%（x）二Q（x）‘e勺特解，其中Qm（x）二q°xm•qxmill「qm^x•qm

当■是k（k-1）重特征根时，y（n）yyZ〉•ll「a^）y'a*y二f（x）有形如yi（x）=xkQm（x）ex的特解，其中Qm（x）=q°xm+护心+|||"皿"“皿,对于y（x）中的Qm（X）的系数，则可以由待定系数法求得.

例11求方程y-5y6y=6x2—10x2的通解

解先求对应齐次方程y”_5y「6y=0的通解，其特征方程是

■2-5.；”-6=0；

故特征根为“2,〔,2=3从而，对应齐次线性方程通解为2x丄3x

y~eC2e；

由于一0不是特征根，因而已知方程有形如、=局Bx，c的特解.为确定代B,C将它代入原方程中，由于y'2AxB,y、2A,

故2A-52AxB）6（Ax2Bxc）=6x2-10x2.

比较上式等号两端x的同次幕系数，可得A.1,B=0,C=0,故已知方程特解为％=x2，则原方程的通解为y=x2•Ge2x•C2e3x.

例12求方程y-4八4y=2e2x.

解军由于，_4「4=0贝廿J‘1=，2=2

故齐次方程通解为：

y=e2x（c,c2），

由于兔=2为二重特征根，故有乂=Ax2e2x,

故A=1,%=x2e2x,

则原方程的通解为y=x2e2xe2x（c,c2x）.

2设f（t）=[A（t）cos：

tB（t）sin：

t]e：

t，其中―为常数，而A（t）,B（t）是带实系数t的多项式，其中一个的次数为m，—个的次数不超过m，则有形如x=tk[P（t）costQ（t）sint]e：

t的特解.其中k为特征方程

P（■）0的根的重数，而P（t）,Q（t）均为特定的带实系数的次数不高于m的t的多项式

1找_i_fXifX_1妆

根据欧拉公式，有cos：

x=ee,sin:

x=ee

22i

iR亠j-fiip：

」妆

则f（t）=A（t）eee：

xB（t）-ee—A~t）e（：

5B~t）e（：

』）x

22i

再利用迭加原理，于是有两种形式：

（1）如果:

不是特征根，则特解具有形式

yi^e：

x[Qm

（1）cosxQm

（2）sin*]其中Qm⑴（x）Q⑵（x）是系数待定的m次多项式.

（2）如果:

是k重特征根，则特解应具有形状

比=xkeax[Qm⑴（x）cos：

xQm

（2）（x）sinx].

例13求解方程x"x=sint—cos2t.

解先求对应的齐次方程x'x=0，我们有，21=0,

故特征根为、=i,‘2=i；由于迭加原理，则原方程可化为

"x"+x=sin

H

x+x=_co2t

（1）对于x•x二sint，由于〉_i-=i是特征根，故方程x•x=sint

具有形如禺=t（Acost-Bcost）的特解，现将上式代入x''x=sint，则

1

A,B=0;

2

贝卩xx二sint的通解为~■-11costg（t）costc2（t）sint.

2

（2）对于x"•x二—co$2t，由于〉-r=2i不是特征根，故方程

x•x二-coQt具有形如x^i=（Aco令t'Bsir2t）的特解.现将上式代入

xx=—cos2t，贝卩A=,B=0,

3

则xx=_cos2t的通解为x=-cos2t-c~icost~2Sint.

3

11

故原方程的通解为~=c1costc2sint-—tcost—cos2t.

23

总结：

比较系数法用于方程右端f（t）是某些基本函数的情况，常见的有：

多项式，指数函数，正弦（或余弦）函数以及它们的某种乘积组合，然后根据f（t）的前面所归纳的类型，从而求出方程的特解，进而求出通解.

2.3.2拉普拉斯变换91

它无需求出已知方程的通解，而是直接求出它的特解来，从而在运算上得到很大简化，这一方法的基本思想是：

先通过拉普拉斯变换将已知方程化为代数方程，求出代数方程的解，再通过逆拉普拉斯变换，便可得到所求初值问题的解.

由积分F（s）二.0：

©』鮒）水所定义的确定于复平面上的复变数s的函数F（s）称为f（t）的拉普拉斯变换，其中f（t）与t_0有定义，且满足不等式f（t）Me*，这里Mf为某两个正常数，这时f（t）为原函数，而F（s）称为像函数.

例14求函数f（t）二eat的拉普拉斯变换.

解八

-言心恤二丄兰劲|0泳

亠a

=s-a

11IA

1s2

例15解方程xx二sint;”0）=0,x（0）=.

x（s）（1s2）=111_s

22>

1s222（1s2）

1s2-1

x（s）22,

2（1+s2）2

由于tcostds2,

（1+s2）2?

故所求初值解为x（t）一_ltcost.

2

当然，方法本身也有一定的局限性，它要求所考察的微分方程的右端函数必须是原函数，否则方法就不适用了，关于拉普拉斯变换的一般概念及基本性质，请参阅有关书籍.

233幕级数解法

幕级数解法待定的是级数的系数，因而通常计算较大，其实幕级数解法适用二阶以上的高阶齐次线性微分方程与非齐次线性微分方程，也能求其特解或通解.

二阶线性方程po（x）y''p!

（x）y'P2（x）y=0.在近代物理学以及工程技术中有着很广泛的应用，其中幕级数解法不但对于求解方程有意义，而且还由此引出了很多新的超越函数，在理论上是很重要的.

下来给出两个定理，若要了解定理证明过程，可参考有关书籍10[定理1如果pogpdx）,P2（x）在某点xo的邻域内解析，即它们可展

成X-X。

的幕级数，且po（xo）=O，则po（x）y''Fi（x）y"p2（x）y=0的解在x°

qQ

的邻域内也能展开成为（x-Xo）的幕级数yan（x-Xo）n.

n=0

定理2如果Po（x）,Pi（x）,P2（x）在Xo的邻域内解析，而Xo为Po（x）的s

重零点，是Pi（x）的不低于s-1重的零点，（若s=1），是P2（X）的不低于

s-2重的零点，（若SA2），贝y方程

CO

Po（x）y'P1（x）y"•P2（x）y=o至少有一个形如y=（x-Xo）fan（x-x°）n的广

n=o

义幕级数解，其中r为某一实数.

若要了解幕级数的详细解法可以参考《常微分方程》，这里不做具体分析.

总之，不同的方法用于不同类型的方程，这是应用之时必须特别注意之点.

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