高三下学期二调考试 数学理试题 含答案.docx
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高三下学期二调考试数学理试题含答案
2019-2020年高三下学期二调考试数学理试题含答案
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(每小题5分,共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号填涂在答题卡上)
1.已知是实数集,
,则()
A.B.C.D.
2.在复平面内,复数(是虚数单位)所对应的点位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.=()
A.4B.2C.D.
4.关于统计数据的分析,有以下几个结论,其中正确的个数为()
①利用残差进行回归分析时,若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内,则说明线性回归模型的拟合精度较高;
②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后,期望与方差均没有变化;
③调查剧院中观众观后感时,从50排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样法;
④已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(2≤X≤4)=0.6826,则P(X>4)等于0.1587
⑤某单位有职工750人,其中青年职工350人,中年职工250人,老年职工150人.为了了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为7人,则样本容量为15人。
A.2B.3C.4D.5
5.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S=4(a1+a3+a5+…+a2n-1),a1a2a3=27,则a6=()
A.27B.81C.243D.729
6.已知某几何体的三视图如右图所示,其中,正视图,侧视图均是由三角形与半圆构成,俯视图由圆与内接三角形构成,根据图中的数据可得此几何体的体积为()
A.B.
C.D.
7.程序框图如图所示,该程序运行后输出的的值是()
A.B.C.D.
8.设锐角的三内角、、所对边的边长分别为、、,
且,,则的取值范围为()
A.B.C.D.
9.在所在的平面内,点满足,,且对于任意实数,恒有,则()
A.B.
C.D.
10.在平面直角坐标系中,记抛物线与x轴所围成的平面区域为,该抛物线与直线
y=(k>0)所围成的平面区域为,向区域内随机抛掷一点,若点落在区域内的概率为,则k的值为()
A.B.C.D.
11.如图,内外两个椭圆的离心率相同,从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC,BD,设内层椭圆方程为,若直线AC与BD的斜率之积为,则椭圆的离心率为()
A.B.C.D.
12.已知函数
,,若在区间内,函数与轴有3个不同的交点,则实数的取值范围是()
A.B.C.D.
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(每题5分,共20分。
把答案填在答题纸的横线上)
13.设球的半径为时间的函数,若球的体积以均匀速度增长,则球的表面积的增长速度与球半径的乘积为
14.若的二项展开式中,所有项的二项式系数和为,则该展开式中的常数项为
15.在△ABC中,边角,过作,且,则.
16.椭圆中有如下结论:
椭圆上斜率为1的弦的中点在直线上,类比上述结论:
双曲线上斜率为1的弦的中点在直线上
三、解答题(本题满分70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,写在答题卡相应位置)
17.(本题满分12分)如图,在中,边上的中线长为3,且,.
(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求边的长.
18.(本题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,CD⊥平面PAD,
BC∥AD,PA=PD,O,E分别为AD,PC的中点,PO=AD=2BC=2CD.
(Ⅰ)求证:
AB⊥DE;
(Ⅱ)求二面角A-PC-O的余弦值.
19.(本题满分12分)今年年初,我国多个地区发生了持续性大规模的雾霾天气,给我们的身体健康产生了巨大的威胁。
私家车的尾气排放也是造成雾霾天气的重要因素之一,因此在生活中我们应该提倡低碳生活,少开私家车,尽量选择绿色出行方式,为预防雾霾出一份力。
为此,很多城市实施了机动车车尾号限行,我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了50人,将调查情况进行整理后制成下表:
年龄(岁)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75]
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
6
9
6
3
4
(Ⅰ)完成被调查人员的频率分布直方图;
(Ⅱ)若从年龄在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行进行追踪调查,记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望.
20.(本题满分12分)我校某同学设计了一个如图所示的“蝴蝶形图案(阴影区域)”来庆祝数学学科节的成功举办.其中、是过抛物线焦点的两条弦,且其焦点,,点为轴上一点,记,其中为锐角.
(1)求抛物线方程;
(2)当“蝴蝶形图案”的面积最小时求的大小.
21.(本题满分12分)已知函数
.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数满足:
①对任意的,,当时,有成立;
②对恒成立.求实数的取值范围.
请考生在22,23,24题中任选一题作答,并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑,按所涂题目进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分;不涂,按本选考题的首题进行评分。
22.(本题满分10分)如图,在正ΔABC中,点D、E分别在边BC,AC上,且,AD,BE相交于点P.
求证:
(I)四点P、D、C、E共圆;(II)APCP.
23.(本题满分10分)已知直线
为参数),曲线(为参数).
(Ⅰ)设与相交于两点,求;
(Ⅱ)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.
24.(本题满分10分)选修4—5:
不等式选讲
已知函数.
(1)若不等式的解集为,求实数a的值;(5分)
(2)在
(1)的条件下,若存在实数使成立,求实数的取值范围.(5分)
xx第二学期高三年级二调考试数学试卷(理科)
参考答案
DBDBCCDACACC
13.114.15.1516.
17.
--------6分
(Ⅱ)在中,由正弦定理,得,即
解得…8分
故,从而在中,由余弦定理,得
,所以……………………12分
18..解法一:
(Ⅰ)设,连接,
分别是、的中点,则,…1分
已知平面,平面,所以平面平面,
又,为的中点,则,
而平面
,
所以平面,
所以平面,
又平面,所以;……3分
在中,,;
又,所以平面,
又平面,所以.……6分
(Ⅱ)在平面内过点作交的延长线于,连接,,
因为平面,所以平面,
平面平面,所以平面,
平面,所以;
在中,,是中点,故;
所以平面,则.
所以是二面角的平面角.
……10分
设
,
而,
,则,
所以二面角的余弦值为.……12分
解法二:
因为平面,平面,所以平面平面,
又,是的中点,则,且平面
,
所以平面.……2分
如图,以O为原点,以分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.
…4分
,,所以.……6分
(Ⅱ),,
设平面的法向量为,
则
令,得.……8分
又,,
所以平面的法向量,……10分
,
所以二面角的余弦值为.……12分
19.解:
(Ⅰ)各组的频率分别是.……2分
所以图中各组的纵坐标分别是
.……4分
……5分
(Ⅱ)的所有可能取值为:
0,1,2,3……………6分
……10分
所以的分布列是:
……11分
所以的数学期望.……12分
21.
当时,,由于在上单调递减,所以,.同理,.
当时,当且仅当时,有成立.……8分
②时,由
(1)可得,
22.证明:
(I)在中,由知:
≌,………………2分
即.
所以四点共圆;………………5分
(II)如图,连结.
在中,,,
由正弦定理知.………………8分
由四点共圆知,,
所以………………10分
23.解.(I)的普通方程为的普通方程为
联立方程组解得与的交点为,,
则.
(II)的参数方程为
为参数).故点的坐标是,从而点到直线的距离是
由此当时,取得最小值,且最小值为.
24.解:
(Ⅰ)由得,∴,即,
∴,∴。
┈┈┈┈5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,令,
则,
∴的最小值为4,故实数的取值范围是。
┈┈┈┈┈10分
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