高考数学一轮复习第八单元数列学案文.docx
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高考数学一轮复习第八单元数列学案文
【2019最新】精选高考数学一轮复习第八单元数列学案文
教材复习课“数列”相关基础知识一课过
数列的有关概念
[过双基]
1.数列的有关概念
概念
含义
数列
按照一定顺序排列的一列数
数列的项
数列中的每一个数
数列的通项
数列{an}的第n项an
通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式
前n项和
数列{an}中,Sn=a1+a2+…+an叫做数列的前n项和
2.an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn,则an=
1.数列{an}满足an+an+1=(n∈N*),a2=2,Sn是数列{an}的前n项和,则S21的值为( )
A.5 B.
C.D.
解析:
选B ∵an+an+1=,a2=2,
∴an=
∴S21=11×+10×2=.
2.数列{an}满足a1=3,an+1=(n∈N*),则a2018=( )
A.B.3
C.-D.
解析:
选D 由a1=3,an+1=,得a2==,a3==-,a4==3,……,
由上可得,数列{an}是以3为周期的周期数列,
故a2018=a672×3+2=a2=.
3.已知数列{an}满足an=(n∈N*),前n项的和为Sn,则关于an,Sn的叙述正确的是( )
A.an,Sn都有最小值B.an,Sn都没有最小值
C.an,Sn都有最大值D.an,Sn都没有最大值
解析:
选A ①∵an=,∴当n≤5时,an<0且单调递减;当n≥6时,an>0,且单调递减.
故当n=5时,a5=-3为an的最小值;
②由①的分析可知:
当n≤5时,an<0;当n≥6时,an>0.故可得S5为Sn的最小值.
综上可知,an,Sn都有最小值.
4.已知数列{an}中,a1=1,an+1=an+2n+1(n∈N*),则a5=________.
解析:
依题意得an+1-an=2n+1,a5=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)=1+3+5+7+9=25.
答案:
25
[清易错]
1.易混项与项数,它们是两个不同的概念,数列的项是指数列中某一确定的数,而项数是指数列的项对应的位置序号.
2.在利用数列的前n项和求通项时,往往容易忽略先求出a1,而是直接把数列的通项公式写成an=Sn-Sn-1的形式,但它只适用于n≥2的情形.
1.已知数列的通项公式为an=n2-8n+15,则( )
A.3不是数列{an}中的项
B.3只是数列{an}中的第2项
C.3只是数列{an}中的第6项
D.3是数列{an}中的第2项或第6项
解析:
选D 令an=3,即n2-8n+15=3,解得n=2或6,故3是数列{an}中的第2项或第6项.
2.已知数列{an}的前n项和为Sn=3+2n,则数列{an}的通项公式为________.
解析:
当n=1时,a1=S1=3+2=5;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3+2n-(3+2n-1)=2n-2n-1=2n-1.
因为当n=1时,不符合an=2n-1,
所以数列{an}的通项公式为an=
答案:
an=
等差数列
[过双基]
1.等差数列的有关概念
(1)定义:
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为an+1-an=d(n∈N*,d为常数).
(2)等差中项:
数列a,A,b成等差数列的充要条件是A=,其中A叫做a,b的等差中项.
2.等差数列的有关公式
(1)通项公式:
an=a1+(n-1)d.
(2)前n项和公式:
Sn=na1+d=.
3.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广:
an=am+(n-m)d(n,m∈N*).
(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d.
(4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.
(5)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.
1.在等差数列{an}中,已知a2与a4是方程x2-6x+8=0的两个根,若a4>a2,则a2018=( )
A.2018B.2017
C.2016D.2015
解析:
选A 因为a2与a4是方程x2-6x+8=0的两个根,且a4>a2,所以a2=2,a4=4,则公差d=1,所以a1=1,则a2018=2018.
2.在等差数列{an}中,a2+a3+a4=3,Sn为等差数列{an}的前n项和,则S5=( )
A.3B.4
C.5D.6
解析:
选C ∵等差数列{an}中,a2+a3+a4=3,Sn为等差数列{an}的前n项和,
∴a2+a3+a4=3a3=3,
解得a3=1,
∴S5=(a1+a5)=5a3=5.
3.正项等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a4+a10-a+15=0,则S13=( )
A.-39B.5
C.39D.65
解析:
选D ∵正项等差数列{an}的前n项和为Sn,
a4+a10-a+15=0,
∴a-2a7-15=0,
解得a7=5或a7=-3(舍去),
∴S13=(a1+a7)=13a7=13×5=65.
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且3a3=a6+4.若S5<10,则a2的取值范围是( )
A.(-∞,2)B.(-∞,0)
C.(1,+∞)D.(0,2)
解析:
选A 设等差数列{an}的公差为d,∵3a3=a6+4,
∴3(a2+d)=a2+4d+4,可得d=2a2-4.
∵S5<10,∴===5(3a2-4)<10,解得a2<2.
∴a2的取值范围是(-∞,2).
5.在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为________.
解析:
由当且仅当n=8时Sn有最大值,可得
即解得-1 答案: [清易错] 1.求等差数列的前n项和Sn的最值时,需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件. 2.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别. 1.(2018·武昌联考)已知数列{an}是等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,{an}的前n项和为Sn,则使得Sn达到最大的n的值为( ) A.18B.19 C.20D.21 解析: 选C 由a1+a3+a5=105⇒a3=35,a2+a4+a6=99⇒a4=33,则{an}的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n,因此当Sn取得最大值时,n=20. 2.在数列{an}中,若a1=-2,且对任意的n∈N*,有2an+1=1+2an,则数列{an}前10项的和为( ) A.2B.10 C.D. 解析: 选C 由2an+1=1+2an,可得an+1-an=, 即数列{an}是以-2为首项,为公差的等差数列, 则an=,所以数列{an}的前10项的和S10==. 等比数列 [过双基] 1.等比数列的有关概念 (1)定义: 如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示,定义的表达式为=q. (2)等比中项: 如果a,G,b成等比数列,那么叫做a与b的等比中项.即: G是a与b的等比中项⇔a,G,b成等比数列⇒G2=ab. 2.等比数列的有关公式 (1)通项公式: an=a1qn-1. (2)前n项和公式: Sn= 3.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广: an=am·qn-m(n,m∈N*). (2)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则am·an=ap·aq=a; (3)若数列{an},{bn}(项数相同)都是等比数列,则{λan},,{a},{an·bn},(λ≠0)仍然是等比数列; (4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk. 1.(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题: “远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯? ”意思是: 一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( ) A.1盏B.3盏 C.5盏D.9盏 解析: 选B 每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列,记为{an},则前7项的和S7=381,公比q=2,依题意,得S7==381,解得a1=3. 2.设Sn是等比数列{an}的前n项和,若=3,则=( ) A.2B. C.D.1或2 解析: 选B 设S2=k,则S4=3k,由数列{an}为等比数列,得S2,S4-S2,S6-S4为等比数列,∴S2=k,S4-S2=2k,S6-S4=4k,∴S6=7k,∴==. 3.设数列{an}是等比数列,公比q=2,前n项和为Sn,则的值为( ) A.B. C.D. 解析: 选A 根据等比数列的公式,得====. 4.已知等比数列{an}的公比q≠1,且a3+a5=8,a2a6=16,则数列{an}的前2018项的和为( ) A.8064B.4 C.-4D.0 解析: 选D ∵等比数列{an}的公比q≠1,且a3+a5=8,a2a6=16, ∴a3a5=a2a6=16, ∴a3,a5是方程x2-8x+16=0的两个根, 解得a3=a5=4, ∴4q2=4, ∵q≠1,∴q=-1,∴a1==4, ∴数列{an}的前2018项的和为 S2018==0. 5.(2018·信阳调研)已知等比数列{an}的公比q>0,且a5·a7=4a,a2=1,则a1=( ) A.B. C.D.2 解析: 选B 因为{an}是等比数列, 所以a5a7=a=4a,所以a6=2a4,q2==2,又q>0, 所以q=,a1==. [清易错] 1.Sn,S2n-Sn,S3n-S2n未必成等比数列(例如: 当公比q=-1且n为偶数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n不成等比数列;当q≠-1或q=-1且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列),但等式(S2n-Sn)2=Sn·(S3n-S2n)总成立. 2.在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误. 1.设数列{an}为等比数列,前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9等于( ) A.B.- C.D. 解析: 选A 因为a7+a8+a9=S9-S6,且S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列,即8,-1,S9-S6成等比数列,所以8(S9-S6)=1,即S9-S6=.所以a7+a8+a9=. 2.设数列{an}是等比数列,前n项和为Sn,若S3=3a3,则公比q=________. 解析: 当q≠1时,由题意,=3a1q2, 即1-q3=3q2-3q3, 整理得2q3-3q2+1=0,解得q=-. 当q=1时,S3=3a3,显然成立. 故q=-或1. 答案: -或1 一、选择题 1.(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为( ) A.1 B.2 C.4D.8 解析: 选C 设等差数列{an}的公差为d, 由得 即解得d=4. 2.(2018·江西六校联考)在等比数列{an}中,若a3a5a7=-3,则a2a8=( ) A.3B. C.9D.13 解析: 选A 由a3a5a7=-3,得a=-3,即a5=-,故a2a8=a=3. 3.在数列{an}中,已知a1=2,a2=7,an+2等于anan+1(n∈N*)的个位数,则a2018=( ) A.8B.6 C.4D.2 解析: 选D 由题意得a3=4,a4=8,a5=2,a6=6,a7=2,a8=2,a9=4,a10=8.所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现,周期为6,故a2018=a335×6+8=a8=2. 4.已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+2n(n≥2,n∈N*),则a7=( ) A.53B.54 C.55D.109 解析: 选C a2=a1+2×2,a3=a2+2×3,……,a7=a6+2×7,各式相加得a7=a1+2(2+3+4+…+7)=55. 5.设数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n∈N*),则S6=( ) A.44B.45 C.×(46-1)D.×(45-1) 解析: 选B 由an+1=3Sn,得a2=3S1=3.当n≥2时,an=3Sn-1,则an+1-an=3an,n≥2,即an+1=4an,n≥2,则数列{an}从第二项起构成等比数列,所以S6===45. 6.等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,对一切自然数n,都有=,则等于( ) A.B. C.D. 解析: 选C ∵S9==9a5,T9==9b5, ∴==. 7.已知数列{an}是首项为1的等比数列,Sn是其前n项和,若5S2=S4,则log4a3的值为( ) A.1B.2 C.0或1D.0或2 解析: 选C 由题意得,等比数列{an}中,5S2=S4,a1=1, 所以5(a1+a2)=a1+a2+a3+a4, 即5(1+q)=1+q+q2+q3, q3+q2-4q-4=0,即(q+1)(q2-4)=0, 解得q=-1或±2, 当q=-1时,a3=1,log4a3=0. 当q=±2时,a3=4,log4a3=1. 综上所述,log4a3的值为0或1. 8.设数列{an}是公差为d(d>0)的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13=( ) A.75B.90 C.105D.120 解析: 选C 由a1+a2+a3=15得3a2=15,解得a2=5,由a1a2a3=80,得(a2-d)a2(a2+d)=80,将a2=5代入,得d=3(d=-3舍去),从而a11+a12+a13=3a12=3(a2+10d)=3×(5+30)=105. 二、填空题 9.若数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=,则数列{an}的通项公式为________. 解析: 当n≥2时,由a1+3a2+32a3+…+3n-1an=, 得a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=, 两式相减得3n-1an=-=, 则an=. 当n=1时,a1=满足an=, 所以an=. 答案: an= 10.数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2an-1,则an=________. 解析: ∵Sn=2an-1,① ∴Sn-1=2an-1-1(n≥2),② ①-②得an=2an-2an-1, 即an=2an-1. ∵S1=a1=2a1-1,即a1=1, ∴数列{an}为首项是1,公比是2的等比数列, 故an=2n-1. 答案: 2n-1 11.已知数列{an}中,a2n=a2n-1+(-1)n,a2n+1=a2n+n,a1=1,则a20=________. 解析: 由a2n=a2n-1+(-1)n,得a2n-a2n-1=(-1)n, 由a2n+1=a2n+n,得a2n+1-a2n=n, 故a2-a1=-1,a4-a3=1,a6-a5=-1,…,a20-a19=1. a3-a2=1,a5-a4=2,a7-a6=3,…,a19-a18=9. 又a1=1,累加得: a20=46. 答案: 46 12.数列{an}为正项等比数列,若a3=3,且an+1=2an+3an-1(n≥2,n∈N*),则此数列的前5项和S5=________. 解析: 设公比为q(q>0),由an+1=2an+3an-1,可得q2=2q+3,所以q=3,又a3=3,则a1=,所以此数列的前5项和S5==. 答案: 三、解答题 13.已知在等差数列{an}中,a3=5,a1+a19=-18. (1)求公差d及通项an; (2)求数列{an}的前n项和Sn及使得Sn取得最大值时n的值. 解: (1)∵a3=5,a1+a19=-18, ∴∴∴an=11-2n. (2)由 (1)知,Sn===-n2+10n=-(n-5)2+25, ∴n=5时,Sn取得最大值. 14.已知数列{an}满足+++…+=n2+n. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Sn. 解: (1)∵+++…+=n2+n, ∴当n≥2时,+++…+=(n-1)2+n-1, 两式相减得=2n(n≥2),∴an=n·2n+1(n≥2). 又∵当n=1时,=1+1,∴a1=4,满足an=n·2n+1. ∴an=n·2n+1. (2)∵bn==n(-2)n, ∴Sn=1×(-2)1+2×(-2)2+3×(-2)3+…+n×(-2)n. -2Sn=1×(-2)2+2×(-2)3+3×(-2)4+…+(n-1)×(-2)n+n(-2)n+1, ∴两式相减得3Sn=(-2)+(-2)2+(-2)3+(-2)4+…+(-2)n-n(-2)n+1=-n(-2)n+1=-n(-2)n+1=-, ∴Sn=-. 高考研究课 (一)等差数列的3考点——求项、求和及判定 [全国卷5年命题分析] 考点 考查频度 考查角度 等差数列通项 5年6考 求通项或某一项 等差数列前n项和 5年5考 求项数、求和 等差数列的判定 5年2考 判断数列成等差数列或求使数列成等差数列的参数值 等差数列基本量的运算 [典例] (1)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sn+2-Sn=36,则n=( ) A.5 B.5 C.7D.8 (2)(2016·全国卷Ⅱ)Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=[lgan],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg99]=1. ①求b1,b11,b101; ②求数列{bn}的前1000项和. [解析] (1)法一: 由等差数列前n项和公式可得 Sn+2-Sn=(n+2)a1+d-=2a1+(2n+1)d=2+4n+2=36, 解得n=8. 法二: 由Sn+2-Sn=an+2+an+1=a1+a2n+2=36,因此a2n+2=a1+(2n+1)d=35,解得n=8. 答案: D (2)①设数列{an}的公差为d, 由已知得7+21d=28,解得d=1. 所以数列{an}的通项公式为an=n. b1=[lg1]=0,b11=[lg11]=1,b101=[lg101]=2. ②因为bn= 所以数列{bn}的前1000项和为1×90+2×900+3×1=1893. [方法技巧] 等差数列运算的解题思路 由等差数列的前n项和公式及通项公式可知,若已知a1,d,n,an,Sn中三个便可求出其余两个,即“知三求二”,“知三求二”的实质是方程思想,即建立方程组求解. [即时演练] 1.已知数列{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和,若S6=4S3,则a10=( ) A.B. C.D. 解析: 选B ∵S6=4S3,公差d=1. ∴6a1+×1=4×, 解得a1=. ∴a10=+9×1=. 2.已知公差不为0的等差数列{an}满足a1,a3,a4成等比数列,Sn为数列{an}的前n项和,则的值为( ) A.-2B.-3 C.2D.3 解析: 选D 设{an}的公差为d,因为a1,a3,a4成等比数列, 所以(a1+2d)2=a1(a1+3d),可得a1=-4d, 所以===3. 3.(2018·大连联考)已知等差数列{an}的公差d>0.设{an}的前n项和为Sn,a1=1,S2·S3=36. (1)求d及Sn; (2)求m,k(m,k∈N*)的值,使得am+am+1+am+2+…+am+k=65. 解: (1)由题意知(2a1+d)(3a1+3d)=36, 将a1=1代入上式解得d=2或d=-5. 因为d>0,所以d=2.从而an=2n-1,Sn=n2(n∈N*). (2)由 (1)得am+am+1+am+2+…+am+k=(2m+k-1)(k+1),所以(2m+k-1)(k+1)=65. 由m,k∈N*知2m+k-1≥k+1>1, 故解得 即所求m的值为5,k的值为4. 等差数列的判定与证明 [典例] 已知{an}是各项均为正数的等比数列,a11=8,设bn=log2an,且b4=17. (1)求证: 数列{bn}是以-2为公差的等差数列; (2)设数列{bn}的前n项和为Sn,求Sn的最大值. [思路点拨] (1)利用等比数列以及对数的运算法则,转化证明数列{bn}是以-2为公差的等差数列; (2)求出数列的和,利用二次函数的性质求解最大值即可. [解] (1)证明: 设等比数列{an}的公比为q, 则bn+1-bn=log2an+1-log2an=log2=log2q, 因此数列{bn}是等差数列. 又b11=log2a11=3,b4=17, 所以等差数列{bn}的公差d==-2, 故数列{bn}是以-2为公差的等差数列. (2)由 (1)知,bn=25-2n, 则Sn===n(24-n)=-(n-12)2+144, 于是当n=12时,Sn取得最大值,最大值为144. [方法技巧] 等差数列判定与证明的方法 方法 解读 适合题型 定义法 对于n≥2的任意自然数,an-an-1为同一常数⇔{an}是等差数列 解答题中证明问题 等差中项法 2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*)成立⇔{an}是等差数列 通项公式法 an=pn+q(p,q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列 选择、填空题中的判定问题 前n项和公式法 验证Sn=An2+Bn(A,B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列 [即时演练] 1.(2016·浙江高考)如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+2,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合).若dn=|AnBn|,Sn为△AnBnBn+1的面积,则( ) A.{Sn}是等差数列B.{S}是等差数列 C.{dn}是等差数列D.{d}是等差数列 解析: 选A 由题意,过点A1,A2,A3,…,An,An+1,…分别作直线B1Bn+1的垂线,高分别记为h1,h2,h3,…,hn,hn+1,…,根据平行线的性质,得h1,h2,h3,…,hn,hn+1,…成等差数列,又Sn=×|BnBn+1|×hn,|BnBn+1|为定值,所以{Sn}
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- 高考 数学 一轮 复习 第八 单元 数列 学案文