山东省桓台第二中学届高三数学下学期开学考试试题文.docx
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山东省桓台第二中学届高三数学下学期开学考试试题文
高三寒假开学考试试题
文科数学
本试卷,分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共4页,满分150分.考试用时120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项:
1.答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.
3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.
4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
第Ⅰ卷(共50分)
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,则“”是“”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2.若为实数,且,则
A.B.C.D.
3.已知函数,记,则的大小关系为
A.B.C.D.
4.已知为锐角,且,则
A.B.C.D.
5.如图,已知三棱锥的底面是等腰直角三角形,且
,侧面底面,.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸分别是
A.B.C.D.
6.在区间上随机取一个数,使直线与圆相交的概率为
A.B.C.D.
7.设实数满足约束条件,若对于任意,不等式恒成立,则实数的取值范围是
A.B.C.D.
8.如图,正方形中,是的中点,若,则
A.B.
C.D.
9.已知点是抛物线的焦点,点为抛物线的对称轴与其准线的交点,过作抛物线的切线,切点为,若点恰好在以为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为
A.B.C.D.
10.已知,函数,若有两个零点分别为,,则
A.,B.,
C.,D.,
第Ⅱ卷(共100分)
二、填空题:
本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.右图是一个算法流程图,则输出的的值.
12.将函数的图象向右平移个单位长度,所得图象关于点
对称,则的最小值是.
13.如图所示,一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图.若一个月以天计算,估计这家面包店一个月内日销售量不少于个的天数为________.
14.已知球的直径,在球面上,,则棱锥的体积为.
15.已知圆的方程,
是椭圆上一点,过作圆的两条切线,切点为,则的取值范围为.
三、解答题:
本大题共6小题,共75分.
16.(本题满分12分)
已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调递减区间;
(Ⅱ)在中,内角的对边分别为,,
若恒成立,求实数的取值范围.
17.(本题满分12分)某商场对甲、乙两种品牌的商品进行为期天的营销活动,为调查这天的日销售情况,随机抽取了天的日销售量(单位:
件)作为样本,样本数据的茎叶图如图.若日销量不低于件,则称当日为“畅销日”.
(Ⅰ)现从甲品牌日销量大于且小于的样本中任取两天,求这两天都是“畅销日”的概率;
(Ⅱ)用抽取的样本估计这天的销售情况,请完成这两种品牌天销量的列联表,并判断是否有的把握认为品牌与“畅销日”天数有关.
附:
(其中)
畅销日天数
非畅销日天数
合计
甲品牌
乙品牌
合计
18.(本题满分12分)
直棱柱中,底面是直角梯形,,.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)在上是否存一点,使得与平面和平面都平行?
证明你的结论.
19.(本题满分12分)
已知椭圆方程为,过右焦点斜率为的直线到原点的距离为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设,过点的直线与椭圆相交于两点,当线段的中点落在由四点构成的四边形内(包括边界)时,求直线斜率的取值范围.
20.(本题满分13分)
已知二次函数.数列的前项和为,
点在二次函数的图象上.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,数列的前项和为,
若对恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)在数列中是否存在这样一些项:
,这些项都能够
构成以为首项,为公比的等比数列?
若存在,写出关于的表达式;若不存在,说明理由.
21.(本题满分14分)
已知函数.
(Ⅰ)求函数的极值;
(Ⅱ)若直线是函数的切线,判断是否存在最大值?
若存在求出最大值,若不存在说明理由.
(Ⅲ)求方程的所有解.
高三寒假开学考试(文科)
数学试题参考答案及评分说明
一、选择题:
BACCBDDBCD
二、填空题:
11.;12.;13.;14.;15..
三、解答题:
本大题共6小题,共75分.
16.解:
(Ⅰ)函数
………3分
由可得.
,所以函数的单调减区间为…6分
(Ⅱ)(法一)由.
可得即.
解得即…………………………………………………9分
因为所以,……10分
因为恒成立,即恒成立
所以.………………………………………12分
(法二)由可得
即,解得即…………9分
因为所以,………10分
因为恒成立,则恒成立
即.………………………………………12分
17.解:
(Ⅰ)由题意知,甲品牌日销量大于且小于的样本中畅销日有三天,分别记为
,非畅销日有三天,分别记为.………………………1分
从中任取2天的所有结果有:
,,,,,,,,,,,,,,,共15个.
根据题意,这些基本事件的出现是等可能的.………………………………6分
其中两天都是畅销日的结果有:
,,共个.
所以两天都是畅销日的概率.……………………………7分
(Ⅱ)
畅销日天数
非畅销日天数
合计
甲品牌
乙品牌
合计
…………………………………………9分
………………………11分
所以,有的把握认为品牌与“畅销日”天数有关.…………………12分
18.(Ⅰ)证明:
直棱柱中,平面,
所以.………………2分
又,
所以,……4分
三角形为直角三角形,;
又,所以平面.……………………………………6分
(Ⅱ)存在点,为的中点可满足要求.………………………………7分
由为的中点,有//,且;
又因为//,,所以//,且;
所以是平行四边形,//.………………………………………10分
又平面,平面,平面,平面
所以//平面,//平面……………………………………12分
19.解:
(Ⅰ)设右焦点为,
则过右焦点斜率为的直线方程为:
…………………………………1分
则原点到直线的距离得…………………3分
所以………………………………………………………………4分
(Ⅱ)显然直线的斜率存在,所以可设直线的方程为.
设点的坐标分别为
线段的中点为,
由,得
由解得…
(1)………7分
由韦达定理得,
于是:
=,……………8分
因为,所以点不可能在轴的右边,
又直线方程分别为
所以点在正方形内(包括边界)的充要条件为
即亦即…………10分
解得,……………………………
(2)
由
(1)
(2)知,直线斜率的取值范围是……………12分
20.解:
(Ⅰ)由题意可知,
当时, ………………2分
当时,适合上式
所以数列的通项公式为. …………………3分
(Ⅱ)因为,所以
……4分
由(Ⅰ)可知,数列是以为首项,公差为的等差数列.所以
①当时,
……………………6分
②当时,
所以,…………………………8分
要使对恒成立,只要使(为正偶数)恒成立,即使
对为正偶数恒成立,
故实数的取值范围是.…………………………………………10分
(Ⅲ)由知数列中每一项都不可能是偶数.
①如存在以为首项,公比为或的数列,此时中每一项除第一项外都是偶数,
故不存在以为首项,公比为偶数的数列 ………………………11分
②当时,显然不存在这样的数列;当时,若存在以为首项,公比为的数列,则,,即存在满足条件的数列,且.……………………13分
21.解析:
(Ⅰ)函数的导函数为:
;…………………………1分
当时,得;
当时,得,故函数在区间上单调递增;
当时,得,故函数在区间上单调递减;
所以函数在处取得极大值.……………………………………3分
(Ⅱ)设函数的切点为,.
显然该点处的切线为:
,即为;…4分
可得:
,则;
设函数;………………………………………………5分
其导函数为,显然函数当时,得或,故函数在区间和上单调递增;当时,得,故函数在区间上单调递减;
函数的的极大值为,的极小值为.
……………………………………………………………………7分
显然当时,恒成立;
而当时,,
其中,,得;…………8分
综上所述,函数的的极大值为即为的最大值.…………9分
(Ⅲ)设是方程的解,即;
当时,即,可得或;……………………………11分
当时,设,且.
此时方程,得;
所以两点,都在函数的图象上,且;………12分
因为函数的最大值是1,且,所以,
因为函数在区间上单调递增,两点,的横坐标都在区间上,显然;…………………………………………………13分
这与相矛盾,此种情况无解;……………………………………………14分
综上,方程的解和.
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