高中数学 模块综合素质检测题课后强化训练含详解 新人教a版必修.docx
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高中数学模块综合素质检测题课后强化训练含详解新人教a版必修
模块综合素质检测题
本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分,满分150分,时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1.已知sinα=-
,
<α<
,则角α等于( )
A.
B.
C.
D.
[答案] D
2.已知向量a=(-2,2),b=(5,k).若|a+b|不超过5,则k的取值范围是( )
A.[-4,6]
B.[-6,4]
C.[-6,2]
D.[-2,6]
[答案] C
[解析] 由|a+b|≤5平方得a2+2a·b+b2≤25,
由题意得8+2(-10+2k)+25+k2≤25,
即k2+4k-12≤0,(k+6)(k-2)≤0,求得-6≤k≤2.故选C.
3.函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是( )
A.
B.
C.π
D.2π
[答案] C
[解析] 由f(x)=|sinx+cosx|=
,而y=
sin(x+
)的周期为2π,所以函数f(x)的周期为π,故选C.
[点评] 本题容易错选D,其原因在于没有注意到加了绝对值会对其周期产生影响.
4.|a|=1,|b|=2,c=a+b,且c⊥a,则向量a与b的夹角为( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
[答案] C
[解析] ∵c⊥a,∴a·c=0,∴a·(a+b)=0,
即a·b=-|a|2,设a与b的夹角为θ,
∴cosθ=
=
=-
,
∴θ=120°.
5.函数y=tan
的单调增区间是( )
A.
,k∈Z
B.
,k∈Z
C.
,k∈Z
D.
,k∈Z
[答案] A
[解析] ∵kπ-
<2x-
,k∈Z, ∴kπ- <2x ,k∈Z. ∴ - + ,k∈Z. 6.点P在平面上作匀速直线运动,速度向量v=(4,-3)(即点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v|个单位).设开始时点P的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为( ) A.(-2,4) B.(-30,25) C.(10,-5) D.(5,-10) [答案] C [解析] 设(-10,10)为A,5秒后P点的坐标为A1(x,y),则 =(x+10,y-10),由题意有 =5v. 所以(x+10,y-10)=(20,-15) ⇒ ⇒ 所以选C. 7.函数y=sin +cos 的最小正周期和最大值分别为( ) A.π,1 B.π, C.2π,1 D.2π, [答案] A [解析] y=sin2xcos +cos2x·sin +cos2xcos -sin2xsin = sin2x+ cos2x+ cos2x- sin2x =cos2x, ∴函数的最小正周期为π,最大值为1. 8.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),表示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量d为( ) A.(2,6) B.(-2,6) C.(2,-6) D.(-2,-6) [答案] D [解析] 设d=(x,y),由题意4a=(4,-12),4b-2c=(-6,20),2(a-c)=(4,-2).又表示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形, ∴4a+(4b-2c)+2(a-c)+d=0,即(4,-12)+(-6,20)+(4,-2)+(x,y)=(0,0),求得向量d=(-2,-6). 9.若sinα+cosα=tanα ,则角α所在区间是( ) A. B. C. D. [答案] C [解析] tanα=sinα+cosα= sin(α+ ), ∵0<α< ,∴ <α+ < . ∴ )≤1. ∴1 < . ∴ <α< ,即α∈( , ).故选C. 10.若向量i,j为互相垂直的单位向量,a=i-2j,b=i+mj,且a与b的夹角为锐角,则实数m的取值范围是( ) A. B.(-∞,-2)∪ C. ∪ D. [答案] B [解析] 由条件知a=(1,-2),b=(1,m), ∵a与b的夹角为锐角, ∴a·b=1-2m>0,∴m< . 又a与b夹角为0°时,m=-2,∴m≠-2. [点评] 两个向量夹角为锐角则数量积为正值,夹角为钝角则数量积为负值,是常用的结论. 11.已知函数F(x)=sinx+f(x)在 上单调递增,则f(x)可以是( ) A.1 B.cosx C.sinx D.-cosx [答案] D [解析] 当f(x)=1时,F(x)=sinx+1;当f(x)=sinx时,F(x)=2sinx.此两种情形下F(x)的一个增区间是 ,在 上不单调;对B选项,当f(x)=cosx时,F(x)=sinx+cosx= sin 的一个增区间是 ,在 上不单调;D选项是正确的. 12.在△ABC中,已知2sinAcosB=sinC,那么△ABC一定是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 [答案] B [解析] ∵C=π-(A+B),∴sinC=sin(A+B),∴2sinAcosB=sin(A+B).∴sinAcosB-cosAsinB=0.∴sin(A-B)=0.∴A-B=kπ(k∈Z).又A、B为三角形的内角,∴A-B=0.∴A=B.则三角形为等腰三角形. [点评] 解三角形的题目注意应用诱导公式及三角形内角和为π的条件. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上) 13.函数y=cos2x+sinxcosx的最小正周期T=________. [答案] π [解析] y=cos2x+sinxcosx=cos2x+ sin2x = sin(2x+φ), ∴函数f(x)的周期T= =π. 14.已知α,β均为锐角,且cos(α+β)=sin(α-β),则tanα=________. [答案] 1 [解析] ∵cos(α+β)=sin(α-β), ∴cosαcosβ-sinαsinβ=sinαcosβ-cosαsinβ, ∵α、β为锐角,∴cosα≠0,cosβ≠0, 上式两边同除以cosαcosβ得 1-tanαtanβ=tanα-tanβ, 即tanα-tanβ+tanαtanβ-1=0, ∴(1+tanβ)(tanα-1)=0, ∵β为锐角,∴tanβ>0, ∴1+tanβ≠0,∴tanα-1=0即tanα=1. 15.△ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H, =m( + + ),则实数m=________. [答案] 1 [解析] 由于本题是填空题,所以可以令三角形ABC为等腰三角形,其中角C=90°,则两直角边的高的交点为C,即C与H重合.而O为斜边AB的中点,所以 与 为相反向量,所以有 + =0,于是 =m ,而C与H重合,所以m=1. 16.函数f(x)=3sin 的图象为C,如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号). ①图象C关于直线x= 对称; ②图象C关于点 对称; ③函数f(x)在区间 内是增函数; ④由y=3sin2x的图象向右平移 个单位长度可以得到图象C. [答案] ①②③ [解析] f =3sin =-3,①正确; f =3sinπ=0,②正确; 由2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z得, kπ- ≤x≤kπ+ , ∴f(x)的增区间为 (k∈Z), 令k=0得增区间为 ,③正确; 由y=3sin2x的图象向右平移 个单位长度可以得到图象C,④错误. 三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分12分)设函数f(x)=a·b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈R,且函数y=f(x)的图象经过点 . (1)求实数m的值; (2)求函数f(x)的最小值及此时x值的集合. [解析] (1)f(x)=a·b=m(1+sin2x)+cos2x, 由已知f =m +cos =2,得m=1. (2)由 (1)得f(x)=1+sin2x+cos2x =1+ sin , ∴当sin =-1时,f(x)取得最小值1- , 由sin =-1得,2x+ =2kπ- , 即x=kπ- (k∈Z) 所以f(x)取得最小值时,x值的集合为 x|x=kπ- ,k∈Z. 18.(本题满分12分)已知函数f(x)= . (1)求f(x)的定义域; (2)设α是第四象限的角,且tanα=- ,求f(α)的值. [解析] (1)由cosx≠0得x≠kπ+ (k∈Z), 故f(x)的定义域为 . (2)因为tanα=- ,且α是第四象限的角, 所以sinα=- ,cosα= , 故f(α)= = = = =2(cosα-sinα)= . 19.(本题满分12分)(08·陕西文)已知函数f(x)=2sin cos + cos . (1)求函数f(x)的最小正周期及最值; (2)令g(x)=f ,判断函数g(x)的奇偶性,并说明理由. [解析] (1)∵f(x)=sin + cos =2sin , ∴f(x)的最小正周期T= =4π. 当sin =-1时,f(x)取得最小值-2; 当sin =1时,f(x)取得最大值2. (2)由 (1)知f(x)=2sin , 又g(x)=f , ∴g(x)=2sin =2sin =2cos . ∵g(-x)=2cos =2cos =g(x),且定义域为R,∴函数g(x)是偶函数. 20.(本题满分12分)已知sin(45°+α)sin(45°-α)=- ,0°<α<90°. (1)求α的值; (2)求sin(α+10°)[1- tan(α-10°)]的值. [解析] (1)∵sin(45°+α)sin(45°-α)=sin(45°+α)cos(45°+α) = sin(90°+2α)= cos2α, ∴ cos2α=- .即cos2α=- . ∵0°<α<90°,∴0°<2α<180°, ∴2α=120°,α=60°. (2)sin(α+10°)[1- tan(α-10°)] =sin70°(1- tan50°)=sin70°· = = =- =- =- =-1. 21.(本题满分12分)(2010·江西文,19)已知函数f(x)=(1+ )sin2x-2sin(x+ )sin(x- ). (1)若tanα=2,求f(α); (2)若x∈[ , ],求f(x)的取值范围. [解析] (1)f(x)= ·sin2x-2( sinx+ cosx)( sinx- cosx) =sin2x+cosxsinx-sin2x+cos2x=sinxcosx+cos2x ∴f(α)= = = = . (2)由 (1)知,f(x)=cos2x+sinxcosx = + = sin(2x
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