高考数学数列解答题专项训练含答案.docx
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高考数学数列解答题专项训练含答案
专题4.2数列
1.(2018·全国高考真题(理))等比数列中,.
(1)求的通项公式;
(2)记为的前项和.若,求.
【答案】
(1)或.
(2).
【分析】
(1)列出方程,解出q可得;
(2)求出前n项和,解方程可得m.
【解析】
(1)设的公比为,由题设得.
由已知得,解得(舍去),或.
故或.
(2)若,则.由得,
此方程没有正整数解.
若,则.由得,解得.
综上,.
【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式,属于基础题.
2.(2019·全国高考真题(文))已知是各项均为正数的等比数列,.
(1)求的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和.
【答案】
(1);
(2).
【分析】
(1)本题首先可以根据数列是等比数列将转化为,转化为,再然后将其带入中,并根据数列是各项均为正数以及即可通过运算得出结果;
(2)本题可以通过数列的通项公式以及对数的相关性质计算出数列的通项公式,再通过数列的通项公式得知数列是等差数列,最后通过等差数列求和公式即可得出结果.
【解析】
(1)因为数列是各项均为正数的等比数列,,,
所以令数列的公比为,,,
所以,解得(舍去)或,
所以数列是首项为、公比为的等比数列,.
(2)因为,所以,,,
所以数列是首项为、公差为的等差数列,.
【名师点睛】本题考查数列的相关性质,主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法,考查等差数列求和公式的使用,考查化归与转化思想,考查计算能力,是简单题.
3.(2020·海南高考真题)已知公比大于的等比数列满足.
(1)求的通项公式;
(2)求.
【答案】
(1);
(2)
【分析】
(1)由题意得到关于首项、公比的方程组,求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式;
(2)首先求得数列的通项公式,然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项和即可.
【解析】
(1)设等比数列的公比为q(q>1),则,
整理可得,,
数列的通项公式为.
(2)由于:
,故:
.
【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题,解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用,等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础.
4.(2018·天津高考真题(文))设{an}是等差数列,其前n项和为Sn(n∈N*);{bn}是等比数列,公比大于0,其前n项和为Tn(n∈N*).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.
(1)求Sn和Tn;
(2)若Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn,求正整数n的值.
【答案】
(1),;
(2)4.
【分析】
(1)由题意得到关于q的方程,解方程可得,则.结合题意可得等差数列的首项和公差为,则其前n项和.
(2)由
(1),知据此可得解得(舍),或.则n的值为4.
【解析】
(1)设等比数列的公比为q,由b1=1,b3=b2+2,可得.
因为,可得,故.所以,.
设等差数列的公差为.由,可得.
由,可得从而,故,所以,.
(2)由
(1),有
由,
可得,
整理得解得(舍),或.所以n的值为4.
【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.
5.(2018·天津高考真题(理))设是等比数列,公比大于0,其前n项和为,是等差数列.已知,,,.
(1)求和的通项公式;
(2)设数列的前n项和为,
①求;
②证明.
【答案】
(1),;
(2)①.②证明见解析.
【解析】
(1)设等比数列的公比为q.由
可得.因为,可得,故.
设等差数列的公差为d,由,可得
由,可得
从而故
所以数列的通项公式为,
数列的通项公式为
(2)①由
(1),有,
故.
②因为,
所以.
【名师点睛】本题主要考查数列通项公式的求解,数列求和的方法,数列中的指数裂项方法等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6.(2018·全国高考真题(文))记为等差数列的前项和,已知,.
(1)求的通项公式;
(2)求,并求的最小值.
【答案】
(1)an=2n–9,
(2)Sn=n2–8n,最小值为–16.
【分析】
(1)根据等差数列前n项和公式,求出公差,再代入等差数列通项公式得结果,
(2)根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式,根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.
【解析】
(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=–15.
由a1=–7得d=2.
所以{an}的通项公式为an=2n–9.
(2)由
(1)得Sn=n2–8n=(n–4)2–16.
所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为–16.
【名师点睛】数列是特殊的函数,研究数列最值问题,可利用函数性质,但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.
7.(2018·全国高考真题(文))已知数列满足,,设.
(1)求;
(2)判断数列是否为等比数列,并说明理由;
(3)求的通项公式.
【答案】
(1),,;
(2)是首项为,公比为的等比数列.理由见解析;(3).
【分析】
(1)根据题中条件所给的数列的递推公式,将其化为,分别令和,代入上式求得和,再利用,从而求得,,;
(2)利用条件可以得到,从而可以得出,这样就可以得到数列是首项为,公比为的等比数列;(3)借助等比数列的通项公式求得,从而求得.
【解析】
(1)由条件可得.
将代入得,,而,所以,.
将代入得,,所以,.
从而,,;
(2)是首项为,公比为的等比数列.
由条件可得,即,又,
所以是首项为,公比为的等比数列;
(3)由
(2)可得,所以.
【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题,涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项,根据不同数列的项之间的关系,确定新数列的项,利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列,根据等比数列通项公式求得数列的通项公式,借助于的通项公式求得数列的通项公式,从而求得最后的结果.
8.(2018·浙江高考真题)已知等比数列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{bn}满足b1=1,数列{(bn+1−bn)an}的前n项和为2n2+n.
(1)求q的值;
(2)求数列{bn}的通项公式.
【答案】
(1);
(2).
【分析】【分析】
(1)根据条件、等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解公比;
(2)先根据数列前n项和求通项,解得,再通过叠加法以及错位相减法求.
【解析】【解析】
(1)由是的等差中项得,
所以,解得.
由得,
因为,所以.
(2)设,数列前n项和为.
由解得.
由
(1)可知,
所以,
故,
.
设,
所以,
因此,
又,所以.
【名师点睛】用错位相减法求和应注意的问题:
(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;
(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式;(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
9.(2018·北京高考真题(文))设是等差数列,且.
(1)求的通项公式;
(2)求.
【答案】
(1);
(2).
【分析】
(1)设公差为,根据题意可列关于的方程组,求解,代入通项公式可得;
(2)由
(1)可得,进而可利用等比数列求和公式进行求解.
【解析】
(1)设等差数列的公差为,
因为,所以,
又,所以.所以.
(2)由
(1)知,因为,
所以是以2为首项,2为公比的等比数列.
所以
.
所以
【名师点睛】等差数列的通项公式及前项和共涉及五个基本量,知道其中三个可求另外两个,体现了用方程组解决问题的思想.
10.(2019·全国高考真题(理))已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,,.
(1)证明:
{an+bn}是等比数列,{an–bn}是等差数列;
(2)求{an}和{bn}的通项公式.
【答案】
(1)见解析;
(2),.
【分析】
(1)可通过题意中的以及对两式进行相加和相减即可推导出数列是等比数列以及数列是等差数列;
(2)可通过
(1)中的结果推导出数列以及数列的通项公式,然后利用数列以及数列的通项公式即可得出结果.
【解析】
(1)由题意可知,,,,
所以,即,
所以数列是首项为、公比为的等比数列,,
因为,
所以,数列是首项、公差为的等差数列,.
(2)由
(1)可知,,,
所以,.
【名师点睛】本题考查了数列的相关性质,主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明,证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义,考查推理能力,考查化归与转化思想,是中档题.
11.(2019·全国高考真题(文))记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S9=-a5.
(1)若a3=4,求{an}的通项公式;
(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.
【答案】
(1);
(2).
【分析】
(1)首项设出等差数列的首项和公差,根据题的条件,建立关于和的方程组,求得和的值,利用等差数列的通项公式求得结果;
(2)根据题意有,根据,可知,根据,得到关于的不等式,从而求得结果.
【解析】
(1)设等差数列的首项为,公差为,
根据题意有,
解答,所以,
所以等差数列的通项公式为;
(2)由条件,得,即,
因为,所以,并且有,所以有,
由得,整理得,
因为,所以有,即,
解得,所以的取值范围是
【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题,涉及到的知识点有等差数列的通项公式,等差数列的求和公式,在解题的过程中,需要认真分析题意,熟练掌握基础知识是正确解题的关键.
12.(2019·浙江高考真题)设等差数列的前项和为,,,数列满足:
对每成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)记证明:
【答案】
(1),;
(2)证明见解析.
【分析】
(1)首先求得数列的首项和公差确定数列的通项公式,然后结合三项成等比数列的充分必要条件整理计算即可确定数列的通项公式;
(2)结合
(1)的结果对数列的通项公式进行放缩,然后利用不等式的性质和裂项求和的方法即可证得题中的不等式.
【解析】
(1)由题意可得,解得,
则数列的通项公式为.
其前n项和.
则成等比数列,即
,据此有:
,故.
(2)结合
(1)中的通项公式可得
,
则.
【名师点睛】本题主要考查数列通项公式的求解,,裂项求和的方法,数列中用放缩法证明不等式的方法等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
13.(2019·天津高考真题(文))设是等差数列,是等比数列,公比大于,已知,,.
(1)求和的通项公式;
(2)设数列满足求.
【答案】
(1),;
(2)
【分析】
(1)首先设出等差数列的公差,等比数列的公比,根据题意,列出方程组,求得,进而求得等差数列和等比数列的通项公式;
(2)根据题中所给的所满足的条件,将表示出来,之后应用分组求和法,结合等差数列的求和公式,以及错位相减法求和,最后求得结果.
【解析】
(1)解:
设等差数列的公差为,等比数列的公比为,
依题意,得,解得,
故,,
所以,的通项公式为,的通项公式为;
(2)
,
记①
则②
②①得,,
所以
.
【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前项和公式等基础知识,考查数列求和的基本方法和运算求解能力,属于中档题目.
14.(2019·北京高考真题(文))设{an}是等差数列,a1=–10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值.
【答案】
(1);
(2).
【
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