定积分习题及答案.docx
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定积分习题及答案
(A层次)
1.
『sinxcos'xdx;
4.
1xdx
-4x
7.
10.
兀4
fxsinxdx;
13.
16.
『e2xcosxdx;
JI
19.
22.
25.
(B层次)
第五章定积分
2.
5.
8.
11.
14.
17.
J2%Jcosx-cos3xdx;
~4
-be
•0
1.求由
a
J0x2Ja2-x2dx;
0dx
^x2+2x+2
JI
J2兀4cos4xdx;
p
4Inx
ydx;
r(xsinxfdx;
20.
〕0
兀
4sinX,
4dx;
1+sinx
edx
x2VT+x2
6.
9.
12.
15.
18.
21.
1+x,dx;
1-x
23.
24.
dx
(1+x2宀“严妝-0
1dx
'4-X-1
Jl+cos2xdx;
U3.2
/XsinX,f2—dx;
vx+2x+1
1
^xarctgxdx;
e
(sin(lnxdx;
JI
『Insinxdx;
J0etdtr0COStdt=O所决定的隐函数y对x的导数
dy
dx
2.当x为何值时,函数l(x)=
x2
LteSt有极值?
dcosx_
3.一fcos(兀t2dtdx'sinx
2tix
|x+1,
4.设f(x)=<12
L2x,
「2
XA1,求U(XdX。
X2
5.
0(arctgt)dtlim1—
一说Jx2+1
6.
'1.
-sinX,f(x)T2
i0,
其它
,求w(x)=[f(tpt。
7.
1
f(xHT'
Ux,
+e
、2
求j0f(X-1dx。
8.
lim-n^n
乔+J2n十"+Jn2)。
k
、nen
9.
求lim送莎。
nYk4
n+nen
10.设f(x)是连续函数,且f(X)=x+2Lf(tdt,求f(x)。
2ln2
11.若f
dt
(6—1
JI
,求X。
6
12.证明:
-a丫
13.已知圖+a
化22x
f4xedx,求常数a。
"a
14.
设gfx2,
le,
X>0
3
求tf(x-2dx。
小。
15.
设f(X)有一个原函数为1+sin2X,求『xf'(2xdx。
16.
设f(X)=ax+bTnX,在1,3上f(x)",求出常数a,b使ff(x)dx最
21
17.已知f(x)=e",求J0f'(x)f"(xdx。
221
18.设f(x)=x2-xj0f(xdx+2j0f(xdx,求f(x)。
19.J0f(cosxbosx-f'(cosxSin2Xdx。
X
20.设XT0时,F(x)=Jo(x2-t2)f"(tpt的导数与X2是等价无穷小,试求
匸(0)。
(C层次)
1.设f(x)是任意的二次多项式,g(x)是某个二次多项式,已知
11,
.0f(xdx=6f(0)+4f2+f
(1),求Jag(xdxo
6LV2z」
12丿
2.设函数f(x)在闭区间a,b]上具有连续的二阶导数,则在(a,b)内存在©,
使得ff(Xdx=(b-a)f〔a+b〕+丄(b-a)3f"(E)
•aI2丿24
3.f(X)在a,b]上二次可微,且f'(x):
>0,f"(x):
>0o试证
f(b)+f(a)
o
b
(b-a)f(a)cJaf(XdxV(b—a}
4.设函数f(x在a,b上连续,f'(X在a,b]上存在且可积,f(a)=f(b)=0,
试证Ijb|f"(xpx(aexcb)o
5.设f(x)在0,1上连续,Lf(Xdx=0,JoXf^dx=1,求证存在一点
0
6.设f(x河微,f(0)=0,厂(0)=1,F(x)=『fx2-t2dt,求lim¥o
・04j0X4
7.设f(x)在la,b]上连续可微,若
f(a)=f(b)=O,则
4
(b-a2
ff(Xidx兰maxf\x卜
“a■a应童■
8.设f(x)在A,b]上连续,Aca lim[(x+kKxdx kT0・a =f(bf(a)。 9•设f(x)为奇函数,在(-叫畑)内连续且单调增加, x F(x)=J0(x-3t)f(tdt, 证明: (1)F(x)为奇函数; (2)F(x)在0,址)上单调减少。 10.设f(X)可微且积分Jo[f(X)中xf(xt)dt的结果与x无关,试求f(x)。 11.若f飞x在0,兀连续,f(0)=2,f(兀)=1,证明: rf(X)+f"(X)]sinxdx=3。 X 12.求曲线y=((t-1It-2)dt在点(0,0)处的切线方程。 13.设f(x)为连续函数,对任意实数a有r如sinxf(x)dx=0,求证 .兀一a f0-X)=f(X)。 、x-y2d2y 14.设方程2x-tg(x-y)=[sectdt,求一2-dx 15.设f(x在a,b】上连续,求证: lim丄[[f(t+h)—f(t)]dt=f(X)—f(aXacX ‘a X2J枚\ 16.当x>0时,f(x)连续,且满足「)f(tdt=x,求f (2)。 1; Atf(Xdx<『f(Xdx,其中k十(0,1)。 X 17.设f(x)在0,1【连续且递减,证明 18.设f'(x连续,F(x)=Jof(t『(2a-1述,f(0)=0,f(a)=1,试证: F(2a)—2F(a)=1。 19.设g(x)是a,b】上的连续函数,f(x)=Lg'tdt,试证在(a,b)内方程gUbf-^=0至少有一个根。 b-a 20. 设f(x在a,b】连续,且f(x)>0,又F(x)="(tdt+r丄dt,证明: •abf(t) (1)F'(X)工2 (2)F(X)=0在(a,b内有且仅有一个根。 设f(x)在0,2a]上连续,贝UJ。 f(xdx=【0〔f(x)+f(2a-X)idx。 22. 设f(x)是以兀为周期的连续函数,证明: 2兀兀 J0(sinx+x)f(xdx=J0(2x+兀f(x)dx。 23.设f(x在a,b】上正值,连续,则在a,b)内至少存在一点匕,使巴b1b Jaf(xdx=『/(xjdx=-Lf(xdx。 -2 1xffu+1\1 24.证明JoInf(X+tdt=JqInk焙u+fjnf(uJdu。 f(u) 25.设f(X在fe,b]上连续且严格单调增加,则(a+b)ff(xdxc2fxf(xdx。 26.设f(x在a,b上可导,且f'(X)兰M,f(a)=0,则[f(x朋<^(b-a)2。 27.设f(x)处处二阶可导,且f"(x)X0,又u(t)为任一连续函数,则 1a<1a -J0f(u(t)dt>f(jMtdtJ,(a>0)。 28.设f(X在a,b]上二阶可导,且f"(x)c0,贝UJbf(x)dx<(b-a)f a "a+b、 I。 I2丿 29.设f(x)在a,b】上连续,且f(x)>0,ff(xdx<0,证明在a,b】上必有 ・a f(xpO。 30.f(x)在a,b]上连续,且对任何区间fx,P]ua,b]有不等式 P ff(Xdx兰MP-Ct M(M 6为正常数),试证在a,b]上f(xFO。 第五章定积分 (A) 1. 兀 『sinxcofxdx 解: 原式一炉ofxdx—1cos4x =1 04 2. fX2Ja2-x2dx 解: 令x=asint,贝Udx=acostdt 当x=0时t=0,当x=a时t-"" 2 原式=J。 2a2sin21'acostpcostdt a4 『sin2tdt a4 sin4t 4 解: 令X=tg0,则dx 迟 口1-co4tdt 兀4 a 16 =sec2日d日 当X=1,73时0分别为 JI 迟sec29 兀 —2 =J^sin)dsin 4 1 4- xdx 解: 令J5—4X =u, 1 一一u 4 2,dx=-]udu 2 1时,u=3,1 一u2du=6 dx 解: 令7X=t,dx=2tdt 当X=1时,t=1;当 X=4时,t=2 原式=J: 2吕 11+t Ir-,dtI V1*」1曰 =2 Ln1讪L2+2lnl 1dx 7. 解: 8. 解: 9. 解: 10. 3 当X=—,1时u 4 原式 e2 I r0-2u Pl dx 原式 J-2 原式 =」1 =20 1u—1+1 du=2f2——du=1-2ln2 '0u-1 e21 'J1+lnX dx +2x+2 0dx e2 dlnX=Ji 1 J1+ln =d(1+lnx)x e2 =2託-2 I0 T+(x+1rarctg(x讥 =arct1garc毡g1)='+ 4 兀/ 4』"osZxdx 原式=rJzcos2xdx=V2;0 cosXdx =J2J2cosdx+72J;(-cosdx =血[sinx2—si /nxdx 解: x4sinX为奇函数 r兀4 •'•Jxsinxdx=0 匹 11.f^4cos4xdx "2" 兀 解: 原式=42;02cos JI 4xdx=2J02(2cos2X了dx JI兀 22 =2J。 2(1+cos2x)dx=2J。 2(1+2cos2x+coS2xdx J0 =2x|2+2J,cos2xdx+J;(1+cos4xJdx -八1 =兀+2sin2x2+—+—r2cos4xd4x 024'0 3 =—兀 2 3 =一兀+-sin4x 2 C3.2 12.J5xSinx 5 3.2 解: …xSinx x4 +2x2+1 为奇函数 r4+2x2+1 13. Ik—-^dx 4Sinx 解: 原式=一J細dctgx 3.2 xSinX,cdx=0 73 5 3 丑 4 I4 +丄 2 ln3 2 -xctg^gctgxdx I4 43\ 31 9丿 dx 4f— 解: 原式=2f1InxdJx -2|4ln2-F 1 4— =81门2-2匚x2dx =81n2-4 15. 1 0xarctgxdx 解: Larctgxdx2 =1farctgx '01+x2」 】0 1 dx 1dx J。 右 16. 解: 兀 ~8 1 一一x 2 1 +-arct 2 gx 0 JI 『e2x 原式 cosxdx Jo 兀 2e2x dsinx =e2x rx 兀 fsi ^2e2xdx 兀 +202e 2xd cosc 兀 -2_02cosc^2e2xdx -2x +2ecosc 2 0 匹 一2-4f2e2xcodx 0 兀1 故『e2xcosxdx=-(e兀-2) 5 17. J0(xsinxfdx 解: 原式 =r(xsinX2dx=J0 1—cos2x dx J0 dx」 J0 兀2 xcos? xdx J。 x2dsi x2sii2x J0 兀 sii2x^2xd 18. 解: 19. 解: 兀 J。 xdco2x Uxco^x 4[I Isin(lnxdx I”,e 原式=xsin(inx 兀 ^0co2xd -Jxcosinx)—dx 1x =esin1-Icosinxdx =esin1- Lcos(lnxb: =esin1-ecos1+1-tsin(lnxdx e 故tsin(lnxdx= e -(sin1-cos1+1) JI J2/cosx-cos3xdx 原式 J;jcosx(1 -cosx dx JI f兀Jcox(-sitxdx+rJc *■—-■■0 )2 dxl ossirxdx JI ]”|(co讨 JI 20. 1+sinX dx 解: 原式= ■rr 4sinx(1-sinx•o1-sin2x )dx Jo sitx Vco^Sx -tg2x 4dcos '0 cosx 21. 解: 22. 解: 兀xsinx •0 1+cos2x 令x=2 =JI 〕0 xln dx 『(secx-1dx -(tgxx怀 -t,则 」0 1+x 1-x 原式=J。 2 In =42 兀 +—-2 —-tI 12 1+cos2 12 dt —c0ts 1+sint c0ts 1+si nt dt dx 1+x 1-x In 1-X W|n3+帥 1+sint "arc '0 x2-1 dx dt 1-x 1+x 23. 解: 24. 解: Jin3r2dx 8'0 J0 1ln^1 82 丄? ln3 28 『=dx M+x4 原式=Jo 化1+x2 )1+x4 In 1 X—1『 X+10 化1 =2]—d '0「1fx—-+2 VX丿 ■0 牛arctg 42 JI 『Insinxdx 原式=L2|n 1 x x TT f 2sin x +丄+1飞—dx 1,2 —+x x fn x- kX丿 -be o+ =J2兀 x、匹 C0S2;x上2J04(ln2+|nsint+|ncostdt =尹“2”1nsintdt+Jo4lncotedt +兀E「兀 t=27兀I,- 2—ln2+2rlnsin ^=2p tdt+ 烧nsinudu 4 =-|n2+2r2Insindt 2y -JI 故『Insinxdx=-yln2 -bedx Jo(1+x2M+xr°》0) dx 1则dx—t2dt 0 原式=f .4=C1+t 1 -2dt 2 扫ct^dt =」0 t2 •2; dx -be dx 化x^dx -be (l+x2W) ■0 -he1 )1+x2 dx (1+x2ii+疋)a+x2好+/") dx=arctg^x= 故r— 0(l+xpl+x。 )4 (B) y.Xdy 1.求由J0edt+J0costdt=0所决定的隐函数y对x的导数-o 解: 将两边对x求导得 ydy e——+cosc=0dx .dycosx dxey X2 2.当x为何值时,函数l(x)=j0teddt有极值? 解: 2 I'(X)=xe^ 令I1x)=0得x=0 当XA0时, I'(X)>0 当XCO时, I'(x)<0 •••当x=0时,函数I(X)有极小值。 dcosX 3. 一fCOS(Jlt2dto dxEx 解: 原式=d 饥匚滋小+广®2町 drsinX2cosx21 -口cEtdt+JacEtdtJ =-co颔sinxj(sirx)+coScoSxSco3c) =-co(ssinCox+co(scosxj-sirx)=-co(ssinx)cos-sin =(sirx-coX)co(ssinx) 『X+1, 4-设f(X)=<12L2X, F2 XA1'求Jof(XdX。 解: 212 5・ 解: R+xI' 12 X2 L(arctgt)dt Jx2+1 J0(arctgtfdt =lim-—-be Jx3 6 lim—乂1 (aretgxf +O^2x 人Farctg^lim X-^-^ x』+—(arctg)x 2 4f(Xdx=J0(x+1dx+I12x2dx 4(aretgxY p-,1.-sinX, 6.设f(x)={2 L0, 求W(x)= 其它 X J0f(t述。 X 解: 当Xc0时,W(x)=ff(tdt=「0dt=0 •0'0 、八/UElfX11-cosx 当OS"时」xRising2 当X>兀时,申(X)=Jof(tdt=『f(tdt+J兀f(tpt=J: ! sintdt+J兀0dt=1 0, 故S旷c°sx)当ow〃时。 b, 当x>兀时 ——,当X>0时 7.设f(x)=< 1+x 1,当Xv0时 2 jof(X—1dx。 1+ex 当X>1时 解: f(x-1ix1 11+ex" 当X<1时 ff(x-1dx=f—dxS'尸'01+e 1+(x-1) dx X+ex」—ex」」o 2dx /! 丄X」 1+e d(x"U 1 =1-1n(1+ex°b+In2 10 =ln(1+e) 8. lim12(7^+72n十"+Vn2)。 nYn 解: 原式=虬卜童…獻 AH 9.求limZ ny nen 2k。 +nen 解: 原式=lim送 nen 2k 1 1+e2x dx =arctgoe=a 10.设f(X)是连续函数, 1 且f(X)=x+2Jof(tdt,求f(x)。 解: 令rf(tdt=A,则f(X)=X+2A, 7 +2A 111 从而Lf(Xpx=j0(x+2Apx=2 11 即A=^+2A,A=-- 22 : .f(X)=x—1 2|n1dt 解: 令Jet-1=u, 贝Ut=1n(1+u2), dt=2\du 1+u2 当t=21n2时, u=-J3 当t=X时,u=JeX_1 2In2dt严2udu = (;/e^秋c'F^=2arctg眼E —arc札你X-1')=—丿6 从而X=In2 12.证明: V2e^ 证: 考虑 丄1上的函数y=「2,则 LV2V2」 r1\ I0,屈 时,/<0 在X=0处取最大值 y=1,且y=e^在x=±—处取最小值e 42 -lx。 13.已知lim化兰〕 —垃(x+a丿 -』a 「4x2rxdx,求常数a。 ^-[^xe-dx] a「aJ =2a2e'a =2a2e'a -He2x -2! xd歹 ・a 一2(xedx -be a ■a Fdx〕 =e^a 解: 左端=limU-2-〕 XKIX+a丿 右端=f(-2xed(—2x)=f-2xde ・aP#F 2_2x =-2Xe -(2a2+2a+1「a •••(2a2+2a+ie 解之a=0或a=—1 14.设g」? le, X>0 ,求 3 tf(x-2dx。 解: 令x-2=t,则 31 ■1f(X—2dx=Jjedt= 0“ L(1+t dt 15.设f(x)有一个原函数为1+sin2x, 求Pxf\2xdx ■0 解: 令2x=t,且f(X)=(1+sin2X)=sin2x mt 「02 小。 蔦〔tdf(t)蔦[tf(t»0—厂f(t -(1+sintfl=0 '0」 16.设f(X)=ax+bTnX,在1,3上f(x)30,求出常数a, /[tsii2t 41 JI 0 JI dt] 3 b使tf(x)dx最 ~,33 解: 当]f(Xdx最小,即[(ax+b—InXpx最小,由f(x)=ax+b-Inx>0知, y=ax+b在y=1nx的上方,其间所夹面积最小,则y=ax+b是y=lnx的切线, 11 ,设切点为(X0,lnX0),则切线y=—(x-X0)+lnX0,故a=一X0 Xo b=lnX)—1。 (a2+bf X+bxI-12丿1 3 =4a-2(1+1na[Inxdx 令
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