人教A版高考数学理一轮汇总训练1数列的概念与简单表示法.docx
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人教A版高考数学理一轮汇总训练1数列的概念与简单表示法
2014高考数学一轮汇总训练(归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题,含详解及2013模拟题)《数列的概念与简单表示法》理新人教A版
[备考方向要明了]
考什么
怎么考
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.
数列的概念在高考试题中常与其他知识综合进行考查,主要有:
(1)以考查通项公式为主,同时考查Sn与an的关系,如2012年江西T16等.
(2)以递推关系为载体,考查数列的各项的求法,如2012年新课标全国T16等.
[归纳·知识整合]
1.数列的定义
按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项).
2.数列的分类
分类原则
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间的大小关系
递增数列
an+1>an
其中n∈N*
递减数列
an+1<an
常数列
an+1=an
摆动数列
从第2项起有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项.
3.数列的表示法
数列的表示方法有列表法、图象法、公式法.
4.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
[探究] 1.数列的通项公式唯一吗?
是否每个数列都有通项公式?
提示:
不唯一,如数列-1,1,-1,1,…的通项公式可以为an=(-1)n或an=有的数列没有通项公式.
5.数列的递推公式
若一个数列{an}的首项a1确定,其余各项用an与an-1的关系式表示(如an=2an-1+1,n>1),则这个关系式就称为数列的递推公式.
[探究] 2.通项公式和递推公式有何异同点?
提示:
不同点
相同点
通项公式法
可根据某项的序号,直接用代入法求出该项
都可确定一个数列,都可求出数列的任何一项
递推公式法
可根据第1项或前几项的值,通过一次或多次赋值,逐项求出数列的项,直至求出所需的项
[自测·牛刀小试]
1.(教材习题改编)已知数列{an}的前4项分别为2,0,2,0,…,则下列各式不可以作为数列{an}的通项公式的一项是( )
A.an=1+(-1)n+1 B.an=2sin
C.an=1-cosnπD.a=
解析:
选B 若an=2sin,则a1=2sin=2,a2=2sinπ=0,a3=2sin=-2,a4=2sin2π=0.
2.已知数列的通项公式为an=n2-8n+15,则3( )
A.不是数列{an}中的项
B.只是数列{an}中的第2项
C.只是数列{an}中的第6项
D.是数列{an}中的第2项或第6项
解析:
选D 令an=3,即n2-8n+15=3,解得n=2或6,故3是数列{an}中的第2项或第6项.
3.(教材习题改编)在数列{an}中,a1=1,an=1+(n≥2),则a5=( )
A. B.
C. D.
解析:
选D 由题意知,a1=1,a2=2,a3=,a4=,a5=.
4.(教材改编题)已知数列,,2,…,根据数列的规律,2应该是该数列的第________项.
解析:
由于2=3×1-1,5=3×2-1,8=3×3-1,…
故可知该数列的通项公式为an=
由2=,得n=7.
答案:
7
5.若数列{an}的前n项和Sn=n2-10n(n=1,2,3,…),则此数列的通项公式为an=________;数列{nan}中数值最小的项是第________项.
解析:
∵当n≥2时,an=Sn-Sn-1
=(n2-10n)-[(n-1)2-10(n-1)]=2n-11;
当n=1时,a1=S1=-9也满足an=2n-11,
∴an=2n-11.
∴nan=2n2-11n=2=2
=22-.
又∵n∈N*,∴当n=3时,nan取最小值.
答案:
2n-11 3
已知数列的前几项求通项公式
[例1] 根据数列的前几项,写出各数列的一个通项公式:
(1)4,6,8,10,…;
(2),,,,,…;
(3),,-,,-,,….
[自主解答]
(1)各数都是偶数,且最小为4,所以通项an=2(n+1)(n∈N*).
(2)注意到分母分别是21,22,23,24,25,…,而分子比分母少1,
所以其通项an=(n∈N*).
(3)分母规律明显,而第2,3,4项的绝对值的分子比分母少3,因此可考虑把第1项变为-,这样原数列可化为-,,-,,-,,…
所以其通项an=(-1)n(n∈N*).
———————————————————
用观察法求数列的通项公式的技巧
用观察归纳法求数列的通项公式,关键是找出各项的共同规律及项与项数n的关系.当项与项之间的关系不明显时,可采用适当变形或分解,以凸显规律,便于归纳.当各项是分数时,可分别考虑分子、分母的变化规律及联系,正负相间出现时,可用(-1)n或(-1)n+1调节.
1.写出下列数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数:
(1),,,,,…;
(2)-1,,-,,-,…;
(3)9,99,999,9999,….
解:
(1)分子是连续的偶数,且第1个数是2,所以用2n表示;分母是22-1,42-1,62-1,82-1,102-1,所以用(2n)2-1表示.所以an==(n∈N*).
(2)正负交替出现,且奇数项为负,偶数项为正,所以用(-1)n表示;
1, , , , ,…
↕ ↕ ↕ ↕ ↕
,, , , ,…
分母是连续奇数相乘的形式,观察和项数n的关系,用(2n-1)(2n+1)表示;
分子是21+1,22+1,23+1,24+1,用2n+1表示.所以
an=(-1)n·=(-1)n·(n∈N*).
(3) 9, 99, 999, 9999,…
↕ ↕ ↕ ↕
101-1, 102-1, 103-1, 104-1,…
所以an=10n-1(n∈N*).
由an与Sn的关系求通项公式
[例2] 已知数列{an}的前n项和为Sn=3n-1,求它的通项公式an.
[自主解答] 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-1-(3n-1-1)=2×3n-1;当n=1时,a1=S1=2也满足an=2×3n-1.
故数列{an}的通项公式为an=2×3n-1.
若将“Sn=3n-1”改为“Sn=n2-n+1”,如何求解?
解:
∵a1=S1=12-1+1=1,
当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=(n2-n+1)-[(n-1)2-(n-1)+1]
=2n-2.
∴an=
———————————————————
已知Sn求an时应注意的问题
数列的通项an与前n项和Sn的关系是an=当n=1时,a1若适合Sn-Sn-1,则n=1的情况可并入n≥2时的通项an;当n=1时,a1若不适合Sn-Sn-1,则用分段函数的形式表示.
2.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn>1,且6Sn=(an+1)(an+2),n∈N*.求数列{an}的通项公式.
解:
由a1=S1=(a1+1)(a1+2),
解得a1=1或a1=2.由已知a1=S1>1,因此a1=2.
又由an+1=Sn+1-Sn
=(an+1+1)(an+1+2)-(an+1)(an+2),
得an+1-an-3=0或an+1=-an.
因为an>0,故an+1=-an不成立,舍去.
因此an+1-an-3=0,即an+1-an=3,
从而{an}是公差为3,首项为2的等差数列,故{an}的通项公式为an=3n-1.
由递推关系式求数列的通项公式
[例3] 根据下列条件,确定数列{an}的通项公式.
(1)a1=1,an+1=3an+2;
(2)a1=1,an=an-1(n≥2);
(3)a1=2,an+1=an+3n+2.
[自主解答]
(1)∵an+1=3an+2,
∴an+1+1=3(an+1),即=3.
∴数列{an+1}为等比数列,公比q=3.
又a1+1=2,∴an+1=2×3n-1.
∴an=2×3n-1-1.
(2)∵an=an-1(n≥2),
∴an-1=an-2,…,a2=a1.
以上(n-1)个式子相乘得
an=a1×××…×==.
(3)∵an+1-an=3n+2,
∴an-an-1=3n-1(n≥2),
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(n≥2).
当n=1时,a1=×(3×1+1)=2符合公式,
∴an=n2+.
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由递推公式求通项公式的常用方法
已知数列的递推关系,求数列的通项公式时,通常用累加、累乘、构造法求解.
当出现an=an-1+m时,构造等差数列;当出现an=xan-1+y时,构造等比数列;当出现an=an-1+fn时,用累加法求解;当出现时,用累乘法求解.
3.(2012·大纲全国卷)已知数列{an}中,a1=1,前n项和Sn=an.
(1)求a2,a3;
(2)求数列{an}的通项公式.
解:
(1)由S2=a2得3(a1+a2)=4a2,解得a2=3a1=3;
由S3=a3得3(a1+a2+a3)=5a3,解得a3=(a1+a2)=6.
(2)由题设知a1=1.
当n>1时有an=Sn-Sn-1=an-an-1,
整理得an=an-1.
于是a1=1,a2=a1,a3=a2,
…
an-1=an-2,an=an-1,
将以上n个等式两端分别相乘,整理得an=.
综上可知,数列{an}的通项公式an=.
数列函数性质的应用
[例4] 已知数列{an}.
(1)若an=n2-5n+4,
①数列中有多少项是负数?
②n为何值时,an有最小值?
并求出最小值.
(2)若an=n2+kn+4且对于n∈N*,都有an+1>an成立.求实数k的取值范围.
[自主解答]
(1)①由n2-5n+4<0,解得1 ∵n∈N*,∴n=2,3. ∴数列中有两项是负数,即为a2,a3. ②∵an=n2-5n+4=2-的对称轴方程为n=. 又n∈N*,∴n=2或n=3时,an有最小值,其最小值为a2=a3=-2. (2)由an+1>an,知该数列是一个递增数列,又因为通项公式an=n2+kn+4,可以看作是关于n的二次函数,考虑到n∈N*,所以-<,即得k>-3. ——————————————————— 函数思想在数列中的应用 (1)数列可以看作是一类特殊的函数,因此要用函数的知识,函数的思想方法来解决. (2)数列的单调性是高考常考内容之一,有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决,判断单调性时常用: ①作差;②作商;③结合函数图象等方法. 4.若数列中的最大项是第k项,则k=________. 解析: 法一: 由题意知, 解得≤k≤1+. ∵k∈N*,∴k=4. 法二: 设an=n(n+4)n,则 an+1-an=(n+1)(n+5)n+1-n(n+4)n =n =n. 当n≤3时,an+1-an>0,即an+1>an, 当n≥4时,an+1-an<0,即an+1<an, 故a1<a2<a3<a4,且a4>a5>a6>…. 所以数列中最大项是第4项. 答案:
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