河南省洛阳市届高三第三次统一考试数学试题文及答案.docx
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河南省洛阳市届高三第三次统一考试数学试题文及答案
洛阳市2017--2018学年高中三年级第三次统一考试
数学试卷(文)
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知为虚数单位,则复数在复平面内所对应的点在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.已知集合,.若,则实数的值是()
A.0B.2C.0或2D.0或1或2
3.下列函数为奇函数的是()
A.B.C.D.
4.已知平面向量,,,若,,则实数的值为()
A.B.C.2D.
5.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()
A.B.3C.5D.
6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()
A.B.C.D.8
7.已知满足约束条件,则的最小值为()
A.1B.3C,5D.7
8.定义表示不超过的最大整数,例如,,.下面的程序框图取材于中国古代数学著作《孙子算经》.执行该程序框图.则输出()
A.9B.16C.23D.30
9.下列叙述中正确的个数是()
①将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差不变;
②命题,,命题,,则为真命题;
③“”是“的必要而不充分条件;
④将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.
A.1B,2C.3D,4
10.函数的单调递减区间是()
A.B.
C.D.
11.已知函数满足条件:
对于,且,存在唯一的且,使得.当成立时,()
A.B.C.D.
12.已知椭圆的左、右焦点分別为,过的直线与椭圆交于两点,若是以为直角项点的等腰直角三角形,则椭圆的离心率为()
A.B.C.D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知角的始边与轴的非负半轴重合,顶点与坐标原点重合,终边过点,则.
14.关于的方程在区间上有两个不等实根,则实数的取值范围是.
15.在正三棱锥中,,是的中点,,则正三棱锥外接球的表面积为.
16.在中,是的中点,与互为余角,,,则的值为.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.设正项数列的前项和满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,求的取值范围.
18.高中生在被问及“家,朋友聚集的地方,个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里?
”这个问题时,从洛阳的高中生中,随机抽取了55人,从上海的高中生中随机抽取了45人进行答题.洛阳高中生答题情况是:
选择家的占、选择朋友聚集的地方的占、选择个人空间的占.上海高中生答题情况是:
选择朋友聚集的地方的占、选择家的占、选择个人空间的占.
(1)请根据以上调查结果将下面列联表补充完整,并判断能否有的把握认为“恋家(在家里感到最幸福)”与城市有关:
在家里最幸福
在其它场所最幸福
合计
洛阳高中生
上海高中生
合计
(2)从被调查的不“恋家”的上海学生中,用分层抽样的方法选出4人接受进一步调查,从被选出的4人中随机抽取2人到洛阳交流学习,求这2人中含有在“个人空间”感到幸福的学生的概率.
附:
,其中d.
19.如图,三棱柱中,平面,,是的中点,.
(1)求证:
平面平面;
(2)求点到平面的距离.
20.已知抛物线的焦点为,为抛物线上异于原点的任意一点,过点的直线交抛物线于另一点,交轴的正半轴于点,且有.当点的横坐标为3时,为正三角形.
(1)求抛物线的方程;
(2)若直线,且和抛物线有且只有一个公共点,试问直线是否过定点,若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.
21.已知函数,其中.
(1)函数的图象能否与轴相切?
若能,求出实数,若不能,请说明理由;
(2)讨论函数的单调性.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程
已知直线的极坐标方程为,现以极点为原点,极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系,曲线的参数方程为(为参数).
(1)求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程;
(2)若曲线为曲线关于直线的对称曲线,点,分别为曲线、曲线上的动点,点坐标为,求的最小值.
23.选修4-5:
不等式选讲
已知函数,.
(1)求不等式的解集;
(2)若存在,,使得和互为相反数,求的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:
DCCBA6-10:
ADCBB11、12:
AD
二、填空题
13.1014.15.16.或
三、解答题
17.解:
(1)①时,由,得,
②时,由已知,得,∴,
两式作差,得,
又因为是正项数列,所以.
∴数列是以1为首项,2为公差的等差数列.
∴.
(2)∵,
∴
.
又因为数列是递增数列,当时最小,,
∴.
18.解:
(1)由已知得,
在家里最幸福
在其它场所最幸福
合计
洛阳高中生
22
33
55
上海高中生
9
36
45
合计
31
69
100
∴,
∴有的把握认为“恋家”与城市有关.
(2)用分层抽样的方法抽出4人.其中在“朋友聚焦的地方”感到幸福的有3人,在“个人空间”感到幸福的有1人,分别设为;
∵,
∴,
设“含有在“个人空间”感到幸福的学生”为事件,
,∴,
则所求的概率为.
19.
(1)由面,平面,则.
∵,是的中点,∴.
又,∴平面
又平面,∴平面平面.
(2)设点到平面的距离为,
由题意可知,
,
.
由
(1)可知平面,
得,
∴点到平面的距离.
20.解:
(1)由题意知,
设,则的中点为,
因为,由抛物线的定义知:
,
解得或(舍去),
由,解得,
所以抛物线的方程为.
(2)由
(1)知,设,,
因为,则,
由得,故,
故直线的斜率为,
因为直线和直线平行,
故可设直线的方程为,
代入抛物线方程得,
由题意知,得.
设,则,,
当时,,
可得直线的方程为,
由,整理可得,
所以直线恒过点,
当时,直线的方程为,过点,
所以直线恒过定点.
21.解:
(1)由于.
假设函数的图象与轴相切于点,
则有,即.
显然,将代入方程中,
得.显然此方程无解.
故无论取何值,函数的图象都不能与轴相切.
(2)由于,
当时,,当时,,递增,
当时,,递减;
当时,由得或,
①当时,,
当时,,递增,
当时,,递减,
当,,递增;
②当时,,递增;
③当时,,
当时,,递增,
当时,,递减,
当时,,递增.
综上,当时,在上是减函数,在上是增函数;
当时,在上是增函数,在上是减函数;
当时,在上是增函数;
当时,在上是增函数,在上是减函数.
22.解:
(1)∵,∴,
即,∴直线的直角坐标方程为;
∵,∴曲线的普通方程为.
(2)∵点在直线上,根据对称性,的最小值与的最小值相等.
曲线是以为圆心,半径的圆.
∴.所以的最小值为.
23.解:
(1)∵,
当时,解得,此时无解.
当时,,解得,即.
当时,,解得,即,综上,的解集为.
(2)因为存在,,使得成立.所以.
又,
由
(1)可知,则.
所以,解得.
故的取值范围为.
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