分式知识点及典型例题.docx
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分式知识点及典型例题
知识网络】
分式
主要公式】
a
2.异分母加减法则:
b
a
a
bcda
acac
bdb
c
3.分式的乘法与除法:
b?
d
acaca
bcdaaac
cbd
?
dac
0,c0;
bd
ac
4.同底数幂的加减运算法则:
实际是合并同类项
5.同底数幂的乘法与除法;am•an=am+n;am÷an=am-n
6.积的乘方与幂的乘方:
(ab)m=ambn,(am)n=amn
1
7.负指数幂:
a-p=1pa0=1
ap
8.乘法公式与因式分解:
平方差与完全平方式(a+b)(a-b)=a2-b2;(a±b)2=a2±2ab+b2
一、考点、热点
知识点一:
分式的定义
A
一般地,如果A,B表示两个整数,并且B中含有字母,那么式子A叫做分式,A为分B
子,B为分母。
知识点二:
与分式有关的条件
1分式有意义:
分母不为0(B0)②分式无意义:
分母为0(B0)
③分式值为0:
分子为0且分母不为0()
B0
A0A0④分式值为正或大于0:
分子分母同号(或)
B0B0⑤分式值为负或小于0:
分子分母异号(或)
B0B0
⑥分式值为1:
分子分母值相等(A=B)⑦分式值为-1:
分子分母值互为相反数(A+B=0)
知识点三:
分式的基本性质
分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变。
字母表示:
AA?
C,AAC,其中A、B、C是整式,C0。
BB?
CBBC拓展:
分式的符号法则:
分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变,即
AAAA
BBBB
注意:
在应用分式的基本性质时,要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。
知识点四:
分式的约分
定义:
根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分。
步骤:
把分式分子分母因式分解,然后约去分子与分母的公因。
注意:
①分式的分子与分母为单项式时可直接约分,约去分子、分母系数的最大公约数,然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式,约分时先对分子分母进行因式分解,再约分。
知识点四:
最简分式的定义一个分式的分子与分母没有公因式时,叫做最简分式。
知识点五:
分式的通分
1分式的通分:
根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式,叫做分式的通分。
2分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
最简公分母的定义:
取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母叫做最简公分母。
确定最简公分母的一般步骤:
Ⅰ取各分母系数的最小公倍数;
Ⅱ单独出现的字母(或含有字母的式子)的幂的因式连同它的指数作为一个因式;
Ⅲ相同字母(或含有字母的式子)的幂的因式取指数最大的。
Ⅳ保证凡出现的字母(或含有字母的式子)为底的幂的因式都要取。
注意:
分式的分母为多项式时,一般应先因式分解。
知识点六分式的四则运算与分式的乘方
①分式的乘除法法则:
分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。
式子表示为:
a?
ca?
c
bdb?
d
分式除以分式:
把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。
式子表示为
acada?
d
bdbcb?
c
2分式的乘方:
把分子、分母分别乘方。
式子
anan
bbn
3分式的加减法则:
同分母分式加减法:
分母不变,把分子相加减。
式子表示为
abab
ccc
异分母分式加减法:
先通分,化为同分母的分式,然后再加减。
式子表示为
acadbc
bdbd
整式与分式加减法:
可以把整式当作一个整数,整式前面是负号,要加括号,看作是分母为1的分式,再通分。
4分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序先乘方、再乘除、后加减,同级运算中,谁在前先算谁,有括号的先算括号里面的,也要注意灵活,提高解题质量。
注意:
在运算过程中,要明确每一步变形的目的和依据,注意解题的格式要规范,不要
随便跳步,以便查对有无错误或分析出错的原因。
加减后得出的结果一定要化成最简分式(或整式)。
知识点六整数指数幂
①引入负整数、零指数幂后,指数的取值范围就推广到了全体实数,并且正正整数幂的
法则对对负整数指数幂一样适用。
即
mnmn
★aaa
mmn
★aa
★abnanbn
★amanamn(a0)
★aan★an1(a0)
★n★ann(a0)
bbnan
★a01(a0)(任何不等于零的数的零次幂都等于1)
其中m,n均为整数。
科学记数法
若一个数x是0 如0.000000125=1.2510-7 7个0 若一个数x是x>10的数则可以表示为a10n(1a10,即a的整数部分只有一位,n为整数)的形式,n的确定n=比整数部分的数位的个数少1。 如120000000=1.2108 9个数字 知识点七分式方程的解的步骤 ⑴去分母,把方程两边同乘以各分母的最简公分母。 (产生增根的过程) ⑵解整式方程,得到整式方程的解。 ⑶检验,把所得的整式方程的解代入最简公分母中: 如果最简公分母为0,则原方程无解,这个未知数的值是原方程的增根;如果最简公分母不为0,则是原方程的解。 产生增根的条件是: ①是得到的整式方程的解;②代入最简公分母后值为0。 知识点八列分式方程 基本步骤 ①审—仔细审题,找出等量关系。 ②设—合理设未知数。 3列—根据等量关系列出方程(组) ④解—解出方程(组)。 注意检验 5答—答题。 二、典型例题 一)、分式定义及有关题型题型一: 考查分式的定义 例1】下列代数式中: x,12xy,ab,xy ab xy 1 xy xy ,是分式的有: 题型二: 考查分式有意义的条件 例2】当x有何值时,下列分式有意义 题型三: 考查分式的值为0的条件 例3】当x取何值时,下列分式的值为0. 题型四: 考查分式的值为正、负的条件 【例4】 (1)当x为何值时,分式4为正;8x (2)当x为何值时,分式5x2为负; 3(x1)2 3)当x为何值时,分式x2为非负数. x3 练习: 1.当x取何值时,下列分式有意义: 2.当x为何值时,下列分式的值为零: 3.解下列不等式 (1)|xx|120 (2)x2x2x530 2)分式的基本性质及有关题型 1.分式的基本性质: 2.分式的变号法则: AAMAM BBMBM aaaabbbb 题型一: 化分数系数、小数系数为整数系数 例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数 12 xy 23 11 xy 34 题型二: 分数的系数变号 例2】不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号 1)xxyy (2)aab (3) a xy ab b 题型三: 化简求值题 【例3】已知: 115,求2x3xy2y的值. xyx2xyy 提示: 整体代入,①xy3xy,②转化出11 xy 例4】已知: x1x2,求x2x12的值. 例5】若|xy1|(2x3)2 0,求4x12y的值. 练习: 1.不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的系数化为整数 12 2.已知: x13,求4x2的值. xx4x21 3.已知: 113,求2a3ab2b的值.abbaba 4.若a22ab26b10 0,求32aa5bb的值. 5.如果1 x2,试化简|x2x2| x1|x||x1|x 、(三)分式的运算 1.确定最简公分母的方法: ①最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数; ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂. 2.确定最大公因式的方法: ①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数; ②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂. 题型一: 通分 【例1】将下列各式分别通分. (1)c,b,a; (2)a,b; ()2ab,3a2c,5b2c;()ab2b2a; 题型二: 约分 2 22 2 【例2】约分: (1)16x3y; (2)nm; (3)x2x2 20xy mn xx6 题型三: 分式的混合运算 【例3】计算: 22 (1)(acb)3(cab)2(bac)4; caba 2) 3a ( x 3(x2 y2) yx2 ()2; yx m2nn2m nmmnnm 2 5) 1x1x 2x 4x3 8x7 1x4 x8 6) 1 (x1)(x1) 1 (x1)(x3) 1 (x3)(x5) 题型四: 化简求值题 【例4】先化简后求值 2 (1)已知: x1,求分子128[(x41)(11)]的值; x44x2x 2)已知: xy 23 ,求xy2yz3xz 22xy 2的值;z 3)已知: a23a10,试求(a2a12)(aa1)的值. 题型五: 求待定字母的值 例5】若 13x x21 M x1 xN1,试求M,N的值. 练习: 1.计算 1) 2a5 2(a1) a1 2(a1) 2a3 2(a1) 2 b22ab ba 3) abca2b3cb2cabcbcacab 2b2ab; 4ab 5)(aba4abb)(ab 4ab ab); 12; x1x2; 7) 1 (x2)(x3) 21 (x1)(x3)(x1)(x2) 2.先化简后求值 1) 2 a1a4 2 a2a22a1 a211,其中a满足a2 a0. x2y2 2)已知x: y2: 3,求(xy)[(x xy x y)( y)3] 的值. 3.已知: 5x4 (x1)(2x1) A x1 2xB1,试求A、B的值 4.当a为何整数时,代数式 399a805 a2 的值是整数,并求出这个整数值 (四)、整数指数幂与科学记数法 题型一: 运用整数指数幂计算 【例1】计算: (1)(a2)3(bc1)3 2) (3x3y2z 1) (5xy 2z3) 35 3)[((aabb))23((aabb))54]2 4)[(xy)3(x 22 y)2]2(x y) 题型二: 化简求值题 例2】已知xx1 5,求 (1)x2 x2的值; (2)求x4 x4的值. 题型三: 科学记数法的计算 例3】计算: 3223223 (1)(3103)(8.2102)2; (2)(4103)2(2102)3. 练习: 1.计算: (1)(1315)(51)2|13|(13)0 (0.25)2007 42008 132223 2)(3mn)(mn) 3) 2222(2ab2)2(a2b)2 3232(3ab)(ab) 222 4)[4(xy)2(xy)2]2[2(xy)1(xy)]2 2.已知x2 5x10,求 (1)xx1, (2)x2 x2的值. 第二讲分式方程 (一)分式方程题型分析 题型一: 用常规方法解分式方程 例1】解下列分式方程 提示易出错点: ①分子不添括号②漏乘整数项;③约去相同因式至使漏根;④忘记验根题型二: 特殊方法解分式方程 例2】解下列方程 提示: (1)换元法,设xy; (2)裂项法, x1 例3】解下列方程组 111 xy2 (1) z3 zx4 (2) (3) 题型三: 求待定字母的值 例4】若关于x的分式方程x231xm3有增根,求m的值. 题型四: 解含有字母系数的方程 【例6】解关于x的方程xac(cd0)bxd 提示: (1)a,b,c,d是已知数; (2)cd0. 题型五: 列分式方程解应用题 练习: 1.解下列方程: 1) x1 x1 2x 12x 0; 2) x3 3) 2x x2 3 x2 x2x 3 2 xx x2 5) 5x4 2x4 2x51 3x22 6) 1 x1 11 x5x2 1 x4 7) x x2 x9 x7 x1 x1 x8 x6 2.解关于x的方程: 1) 2 2b(b2a); (2) a1b ax1bbx(ab). 3.如果解关于x的方程xk22 x x2 会产生增根, 求k的值. 4.当k为何值时,关于x的方程xx32 (x1)k(x2)1的解为非负数. 5.已知关于x的分式方程2xa11a无解,试求a的值. (二)分式方程的特殊解法 解分式方程,主要是把分式方程转化为整式方程,通常的方法是去分母,并且要检验,但对一些特殊的分式方程,可根据其特征,采取灵活的方法求解,现举例如下: 一、交叉相乘法 例1.解方程: 13 xx2 、化归法 三、左边通分法 例3: 解方程: x818 x77x 四、分子对等法 1a1b 例4.解方程: (ab) axbx 五、观察比较法 例5.解方程: 4x 5x2 17 5x2 4x 4 六、分离常数法 例6.解方程: 七、分组通分法 例7.解方程: 1111 x2x5x3x4 三)分式方程求待定字母值的方法 若分式方程xx12 无解, x 求m的值 若关于x的方程 x x1 k2 x21 xx1不会产生增根,求k的值 例3.若关于x分式方程x12xk2 23有增根,求k的值x4 xk211有增根x1,求k的值 x 分式的个数有() 例4.若关于x的方程11k25 xxxx 三、课后练习 一、分式 1、分式概念 1111 1.各式中,x+y,,,—4xy 32xy5a ab 2.在, 2 x3,5 x,a b, 1 2中,是分式的有a ( ) x a b A、1个 B、 2个 C、3个 D、4 个 3、下列各式: ab, x3 ,5 y32a,x1,4a b, 1 (xm y)中,是分式的共有( ) 2 x b A、1个B、2个C、3个D、4个 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 2、分式有意义 1)当x≠___时,分式2x有意义; x2 2)当x时,分式x1有意义; x1 2x1 3)分式中,当x时,分式没有意义,当x时,分式的值为零; 2x 4 4)当x时,分式24有意义。 x1 x2 5)当x时,分式无意义; 3x8 x3 6)当x时,分式无意义. x3 7)当x为任意实数时,下列分式一定有意义的是() A. 2 B. x 1 C.x D.1 x3 22 D.x1 (8) .能使分式 2xxx21 的值为零的所有x的值是 ( ) A x0 Bx 1 Cx0或x 1 Dx 0或x1 (9) 已知当x 2时, 分式 xb无意义,xa x 4时, 此分式的值为 0,则ab的值等于( ) A.- 6 B.- 2 C. 6 D. 2 4、分式的基本性质 1.如果把2x2y3y中的x和y都扩大5倍,那么分式的值() A扩大5倍B不变 C缩小5倍D扩大4倍 2倍,则下列分式的值保持不变的是( A、 3x 2y B、 3x 2y2 3x2 C、 2y D、 3x3 2y2 3.填空: xy aaby 6x(yz) 3(yz)2yz 3a 5xy 10axy(a0) a21a24 2 y 2 y 2x= x3x23x 0.5x0.2 4.不改变分式的值,使分式的分子分母各项系数都化为整数,结果是 0.3y1 5、下列各式中,正确的是() 5、约分 1、把下列各式分解因式(12分) 22 1)ab+b (2)2a2-2ab 1) x26x9 2x4 2)2x28x8= 化简 的结果是 m B、 m C、m m3 m3 C、 m3 2m3m9m2 D、 m 3m 4、 A、 6、 1. 2、 8、 1. 2. 3、 9、 1. 最简公分母 在解分式方程: x11 2+2=2的过程中,去分母时,需方程两边都乘以最简公分母是 x4x2x 分式1,12,1的最简公分母为 2x2y25xy 通分 122 化简1222的结果是 m29m3 11 计算11的正确结果是x11x 分式的混合运算 11分)先化简,再求值: x1 x21 x x1 ,其中x=2. 2.(本题6分)先化简,再求值: x2x1x1 3、(8分)先化简,再求值: x1 ,其中: x=-2。 10、负指数幂与科学记数法 1.直接写出计算结果: (1)(-3)-2 (3)(3)3;(4)(13)0 2 2、用科学记数法表示0.000501=. 3、一种细菌半径是1.21×10-5米,用小数表示为米。 11、分式方程 2.解方程: 13、分式方程应用题 19、(8分)甲打字员打9000个字所用的时间与乙打字员打7200个字所用的时间相同,已知甲、 乙两人每小时共打5400个字,问甲、乙两个打字员每小时各打多少个字? 20、(10分)一名同学计划步行30千米参观博物馆,因情况变化改骑自行车,且骑车的速度是步行速度的1.5倍,才能按要求提前2小时到达,求这位同学骑自行车的速度。 22.列方程解应用题(本题7分) 从甲地到乙地的路程是15千米,A骑自行车从甲地到乙地先走,40分钟后,B乘车从甲地出发, 结果同时到达。 已知B乘车速度是A骑车速度的3倍,求两车的速度。 7、赵强同学借了一本书,共280页,要在两周借期内读完,当他读了一半时,发现平时每天要多读 21页才能在借期内读完 .他读了前一半时,平均每天读多少页 ? 如果设读前一半时,平均每天读x页,则下 列方程中,正确的是() 140 140 A、 14 x x21 10 10 B、 1 x x21 280280 B、14 xx21 140140 D、14 xx21 x1x12
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- 分式 知识点 典型 例题