大一下高数下册知识点.docx

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大一下高数下册知识点

高等数学下册知识点

第八章空间解析几何与向量代数

（一）向量线性运算

定理1：

设向量a≠0，则向量b平行于a的充要条件是存在唯一的实数λ，使

b＝λa

1、线性运算：

加减法、数乘；

2、空间直角坐标系：

坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；

3、利用坐标做向量的运算：

设a

（ax

ay,az），b

（b,b,b）；

xyz

则ab（axbx,ay

by,az

bz）,

a（ax,ay,az）；

4、向量的模、方向角、投影：

1）向量的模：

r

x2

y2

z2

；

2）两点间的距离公式：

AB

（x2

x1）2

（y2

y1）2

（z2

z1）2

3）方向角：

非零向量与三个坐标轴的正向的夹角

4）方向余弦：

cos

x,cos

y,cos

z

r

r

r

cos2cos2cos21

5）投影：

Prjuaacos，其中为向量a与u的夹角。

（二）数量积，向量积

1、数量积：

ababcos

1）

aaa

2

2）

abab0

abaxbx

aybyazbz

2、向量积：

c

a

b

大小：

a

bsin

，方向：

a,b,c符合右手规则

）

a

0

1a

2）a//b

a

b

0

i

j

k

ab

ax

ay

az

bx

by

bz

运算律：

反交换律baab

（三）曲面及其方程

1、曲面方程的概念：

S:

f（x,y,z）0

2、旋转曲面：

yoz面上曲线C:

f（y,z）

0，

绕y轴旋转一周：

f（y,

x2

z2）

0

绕z轴旋转一周：

f（

x2

y2,z）

0

3、柱面：

F（x,y）0表示母线平行于z轴，准线为

F（x,y）0

的柱面

z0

4、二次曲面

x

2

y

1）椭圆锥面：

a

2

b

2

2z2

x2

y2

z

2

1

2）椭球面：

a2

b2

c2

x2

y2

z

2

1

旋转椭球面：

a2

a2

c2

x2

y2

z

2

1

3）单叶双曲面：

a2

b2

c2

x2

y2

z

2

1

4）双叶双曲面：

a2

b2

c2

x2

y2

z

5）椭圆抛物面：

a2

b2

x

6）双曲抛物面（马鞍面）：

a

2

y

2

z

2

b2

x2

y2

1

7）椭圆柱面：

a2

b2

x2

y2

1

8）双曲柱面：

a2

b2

9）抛物柱面：

x2

ay

（四）空间曲线及其方程

F（x,y,z）0

1、一般方程：

G（x,y,z）0

x

x（t）

x

acos

t

2、参数方程：

y

y（t），如螺旋线：

y

asin

t

z

z（t）

z

bt

3、空间曲线在坐标面上的投影

F（x,y,z）

0

H（x,y）0

G（x,y,z）

，消去z，得到曲线在面

xoy上的投影

0

z0

（五）平面及其方程

1、点法式方程：

A（x

x0）B（y

y0）C（zz0）0

法向量：

n（A,B,C），过点（x0,y0,z0）

、一般式方程：

Ax

ByCzD

0

2

x

y

z

1

截距式方程：

a

b

c

3、两平面的夹角：

n1

（A1,B1,C1），n2

（A2,B2,C2），

cos

A1A2

B1B2C1C2

A2

B2

C2

A2

B2

C2

1

1

1

2

2

2

1

2

A1A2

B1B2

C1C2

0

1//

A1

B1

C1

2

A2

B2

C2

4、点P0（x0

y0,z0）到平面Ax

By

CzD0的距离：

d

Ax0By0Cz0D

A2B2C2

（六）空间直线及其方程

A1xB1yC1zD1

0

1、一般式方程：

0

A2xB2yC2zD2

2、对称式（点向式）方程：

xx0

yy0

zz0

m

n

p

方向向量：

s（m,n,p），过点（x0,y0,z0）

x

x0

mt

3、参数式方程：

y

y0

nt

z

z0

pt

4、两直线的夹角：

s1

（m1,n1,p1），s2

（m2,n2,p2），

cos

m1m2

n1n2

p1p2

n2

p2

m

n2

p2

m2

2

1

1

1

2

2

2

L1

L2

m1m2

n1n2p1p20

L1

//L2

m1

n1

p1

m2

n2

p2

5、直线与平面的夹角：

直线与它在平面上的投影的夹角，

AmBnCp

sin

A2B2C2m2n2p2

L//AmBnCp0

L

ABC

mnp

第九章多元函数微分法及其应用

（一）基本概念

1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，

闭区域，有界集，无界集。

2、多元函数：

（1）定义：

设n维空间内的点集D是R2的一个非空子集，称映

射f：

D→R为定义在D上的n元函数。

当n≥2时，称为多元函数。

记为U=f（x1，x2，，xn），（x1，x2，，xn）∈D。

3、二次函数的几何意义：

由点集D所形成的一张曲面。

如z=ax+by+c的图形

为一张平面，而z=x2+y2的图形是旋转抛物线。

4、极限：

（1）定义：

设二元函数f（p）=f（x,y）的定义域D,p0（x0,y0）是D的聚

点D,如果存在函数A对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当点p（x,y）∈D∩∪（p0,δ）时,都有Ⅰf（p）-AⅠ=Ⅰf（x,y）-AⅠ﹤ε成立,那么就称常数A

为函数f（x,y）当（x,y）→（x0,y0）时的极限，记作

limf（x,y）A

（x,y）（x0,y0）

多元函数的连续性与不连续的定义

5、有界闭合区域上二元连续函数的性质：

（1）在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值；

（2）在有界区域

D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。

6、偏导数：

设有二元函数z=f（x,y），点（x0,y0）是其定义域D内一点。

把y固定在y0而让x在x0有增量△x，相应地函数z=f（x,y）有增量（称为对x/y的偏增量）如果△z与△x/△y之比当△x→0/△y→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f（x,y）在（x0,y0）处对x/y的偏导数记作

fx（x0,y0）

lim

f（x0

x,y0）

f（x0,y0）

x

x0

fy（x0,y0）

lim

f（x0,y0

y）

f（x0,y0）

0

y

y

7、混合偏导数定理：

如果函数的两个二姐混合偏导数

fxy（x,y）

和fyx（x,y）在D

内连续，那么在该区域内这两个二姐混合偏导数必相等。

、方向导数：

f

f

cos

f

cos

其中,

为

l

的方向角。

8

l

x

y

9、全微分：

如果函数z=f（x,

y）

在（x,

y）处的全增量△z=f（x

△x，y△y）-f（x,y）

可以表示为△z=A△x+B△y+o（ρ），其中A、B不依赖于△x,

△y，仅与x,y有关，

当Ρ→0，此时称函数z=f（x,y）

在点（x，y）处可微分，A△x+B△y称为函数

z=f（x,y）

在点（x,y）

处的全微分，记为

dz

zdx

zdy

x

y

（二）性质

1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：

1

2

偏导数连续

函数可微

偏导数存在

充分条件

必要条件

4

定义

2

3

函数连续

微分法

1）定义：

2）复合函数求导：

链式法则

ux

z

若zf（u,v）,uu（x,y）,vv（x,y），则

zzuzvzzuzv

xuxvx，yuyvy

3）隐函数求导：

两边求偏导，然后解方程（组）

（三）应用

1、极值

1）无条件极值：

求函数zf（x,y）的极值

vy

fx

0

解方程组

fy

0

求出所有驻点，对于每一个驻点

（x0,y0），令

Afxx（x0,y0），B

fxy（x0,y0），Cfyy（x0,y0），

①若AC

B2

0

，A

0，函数有极小值，

若AC

B2

0，A

0，函数有极大值；

②若AC

B2

0

，函数没有极值；

③若AC

B2

0

，不定。

2）条件极值：

求函数zf（x,y）在条件（x,y）

0下的极值

令：

L（x,y）

f（x,y）

（x,y）

———Lagrange函数

Lx

0

解方程组

Ly

0

（x,y）0

2、几何应用

1）曲线的切线与法平面

x

x（t）

曲线

:

y

y（t），则

上一点M（x0,y0,z0）（对应参数为t0）处的

z

z（t）

xx0

y

y0

zz0

切线方程为：

x（t0）

y（t0）

z（t0）

法平面方程为：

x（t0）（x

x0）

y（t0）（y

y0）z（t0）（zz0）0

2）曲面的切平面与法线

曲面:

F（x,y,z）

0

，则

上一点M（x0,y0,z0）处的切平面方程为：

Fx（x0,y0,z0）（xx0）Fy（x0,y0,z0）（yy0）Fz（x0,y0,z0）（zz0）0

x

x0

yy0

zz0

法线方程为：

Fx（x0,y0,z0）Fy（x0,y0,z0）Fz（x0,y0,z0）

第十章

重积分

（一）二重积分

n

1、定义：

f（x,y）d

limf（

k

k

）

k

D

0

k1

2、性质：

（6条）

3、几何意义：

曲顶柱体的体积。

4、计算：

1）直角坐标

D

（x,y）1（x）

y

2（x）

，

a

x

b

f（x,y）dxdy

b

2（x）

dx

f（x,y）dy

D

a

1（x）

D

（x,y）

1（y）

x

2（y）

c

y

d

，

d2（y）

f（x,y）dxdydyf（x,y）dx

c1（y）

D

2）极坐标

D（,）

1（）

2（）

2（）

f（x,y）dxdydf（cos,sin）d

1（）

D

（二）三重积分

n

1、定义：

f（x,y,z）dv

limf（k,

k,k）vk

0

k1

2、性质：

3、计算：

1）直角坐标

f（x,y,z）dv

dxdy

z2（x,y）

f（x,y,z）dz

z1（x,y）

-------------

“先一后二”

D

b

dz

f（x,y,z）dxdy

f（x,y,z）dv

-------------

“先二后

a

DZ

一”

2）柱面坐标

x

cos

y

sin

f（x,y,z）dv

f（cos,sin

z）dddz

，

z

z

3）球面坐标

xrsincos

yrsinsin

zrcos

f（x,y,z）dvf（rsincos,rsinsin,rcos）r2sindrdd

（三）应用

曲面S:

z

f（x,y）,（x,y）D的面积：

A

1（

z）2

（

z）2dxdy

D

x

y

第十二章无穷级数

（一）常数项级数

1、定义：

1）无穷级数：

un

u1

u2

u3

un

n

1

部分和：

Sn

n

uk

u1

u2

u3

un，

k

1

正项级数：

un，un

0

n1

交错级数：

（

1）nun，un0

n1

2）级数收敛：

若limSn

S存在，则称级数

un收敛，否则称级数

un发散

n

n

1

n1

3）绝对收敛：

n

收敛，则

n

绝对收敛；

n1

n1

条件收敛：

un收敛，而un发散，则un条件收敛。

n1n1n1

定理：

若级数un绝对收敛，则un必定收敛。

n1n1

2、性质：

1）级数的每一项同乘一个不为零的常数后，不影响级数的收敛性；

2）级数

an与

bn分别收敛于和s与σ，，则

（anbn）收敛且，其和为

n1

n1

n1

s+σ

3）在级数中任意加上、去掉或改变有限项，级数仍然收敛；

4）级数收敛，任意对它的项加括号后所形成的级数仍收敛且其和不变。

5）必要条件：

级数

un收敛即limun0.

n1

n

3、审敛法

正项级数：

un，un0

n1

1）定义：

limSn

S存在；

n

2）

un收敛

Sn有界；

n1

）比较审敛法：

un，

vn为正项级数，且u

n

v

n

（n1,2,3,）

3

n1

n1

若vn收敛，则un收敛；若un发散，则vn发散.

n1n1n1n1

4）比较法的推论：

un，vn为正项级数，若存在正整数m，当nm时，

n1n1

unkvn，而vn收敛，则un收敛；若存在正整数m，当nm时，

n1n1

un

kvn，而

vn发散，则

un发散.

n1

n1

做题步骤：

①找比较级数（等比数列，调和数列，

p级数1/np）；②比较大小；

③是否收敛。

5）比较法的极限形式：

设

un，

vn为正项级数，

n1

n1

（1）若limun

l

（0

l

），而

vn

收敛，则

un收敛；

n

vn

n

1

n

1

（2）若limun

0

或limun

，而

vn发散，则

un发散.

n

vn

n

vn

n1

n

1

6）比值法：

un

为正项级数，设

limun

1

l，则当l1时，级数

un收

n

1

n

un

n1

敛；则当l

1时，级数

un发散；当l

1时，级数

un

可能收敛也可能发散.

n

1

n1

7）根值法：

un为正项级数，设limnun

l，则当l

1时，级数

un收敛；

n

1

n

n1

则当l1时，级数

un发散；当l

1时，级数

un可能收敛也可能发散.

n

1

n1

8）极限审敛法：

un为正项级数，若

limnun

0或limnun

，则级

n1

n

n

数

un发散；若存在p

1，使得limnp

un

l

（0

l

），则级数

un收敛.

n1

n

n1

交错级数：

莱布尼茨审敛法：

交错级数：

（1）n