完整版历年全国自考线性代数试题及答案.docx
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完整版历年全国自考线性代数试题及答案
全国2010年7月高等教育自学考试
试卷说明:
在本卷中,
列式;E表示单位矩阵。
AT表示矩阵A的转置矩阵;A*表示A的伴随矩阵;R(A)表示矩阵A的秩;|A|表示A的行
1•设3阶方阵A=[a1,a2,a3],其中ai(i=1,2,3)为A的列向量,
若|B|=|[a1+2a2,a2,a3]|=6,则|A|=()A.-12B.-6C.6D.12
3020
2•计算行列式
)A.-180B.-120C.120D.180
21050
0020
2323
12
3•设A=34,则|2A*F(
)A.-8B.-4C.4D.8
4.设a1,a2,a3,a4都是3维向量,则必有
A.a1,a2,a3,a4线性无关B.a1,a2,a3,a4线性相关
C.a1可由a2,a3,a4线性表示D.a1不可由a2,a3,a4线性表示
5.若A为6阶方阵,齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2,贝UR(A)=()A.2B3C.4D.5
6.设A、B为同阶矩阵,且R(A)=R(B),则()A.A与B相似B.A|=|B|C.A与B等价D.A与B合同
7.设A为3阶方阵,其特征值分别为2,1,0则|A+2E|=()A.0B.2C.3D.24
&若A、B相似,则下列说法错误.的是()A.A与B等价B.A与B合同C.|A|=|B|D.A与B有相同特征
9.若向量a=(1,-2,1)与B=(2,3,t)正交,则t=()A.-2B.0C.2D.4
10.设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2,l,0,则()A.A正定B.A半正定C.A负定D.A半负定
二、填空题(本大题共10小题海小题2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
32
211山
1l.设A=01,B=,则AB=.
010
24
12.设A为3阶方阵,且|A|=3,则|3A-l|=.
13.三元方程X1+X2+X3=0的结构解是.
14.设a=(-1,2,2),则与a反方向的单位向量是.
15.设A为5阶方阵,且R(A)=3,则线性空间W={x|Ax=0}的维数是.
1
16.设A为3阶方阵,特征值分别为-2,丄,I,则|5A-1匸.
2
17.若A、B为同阶方阵,且Bx=0只有零解,若R(A)=3,贝UR(AB)=.
22
18.二次型f(X1,X2,X3)=X1-2X1X2+X2-X2X3所对应的矩阵是.
19.设3元非齐次线性方程组
11
Ax=b有解a1=2,a2=2
33
且R(A)=2,则Ax=b的通解是
1
20.设a=2,则A=aaT的非零特征值是
3
3x3
X4
1
3x1x2
3x3
4x4
4白
勺结构解•
x15x2
9X3
8x4
0
24.求向量组
a1=
:
(1,
2,
3,4),a2=(
a4=(2,3
•,6,
8)
的秩
2
1
2
25.已知A=
5
a
3
的一个特征向量
1
b
2
23.求非齐次线性方程组
-1,2,3),
0,
全部特征向量
a3=(2,3,8,
11),
=(1,1,-1)丁,求a,b及所对应的特征值,
并写出对应于这个特征值的
三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)
2
0
0
2
0
0
0
0
1
0
2
0
0
1
0
0
1
4
3
21.计算5阶行列式D=
0
0
2
0
0
22.设矩阵X满足方程0
1
0
X0
0
1=
=2
0
1求X
0
0
0
2
0
0
0
2
0
1
0
1
2
0
1
0
0
0
2
26.用正交变换化二次型
f(X1,X2,X3)=xj2xf2xf4x2X3为标准形,并写出所用的正交变换
四、证明题(本大题共1小题,6分)27.设a1,a2,a3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系•证明a1,a1+a2,a2+a3也是Ax=0的基础解系
全国2011年1月
说明:
本卷中,At表示矩阵A转置,det(A)表示方阵A的行列式,A-1表示方阵A的逆矩阵,(,)表示向量,的内积,E表示单位矩阵.
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无
1.设A是4阶方阵,且det(A)=4,贝Udet(4A)=()A.44B.45C.46D.47
2.已知A2+A+E=0,则矩阵A-1=()A.A+EB.A-EC.-A-ED.-A+E
3.设矩阵A,B,C,X为同阶方阵,且A,B可逆,AXB=C,则矩阵X=()
A.A-1CB-B.CA-1B-1C.B-1A-1CD.CB-1A-1
4.
D.AAt是s>对称矩阵
设A是s>n矩阵(s丰n)则以下关于矩阵A的叙述正确的是()
A.AtA是s>对称矩B.AtA=AAtC.(AtA)t=AAt
设1,2,3,4,5是四维向量,贝U(
l,2,3,4,5一定线性无关B.l,
2,3,4,
5一定线性相关
5—定可以由1,2,3,4线性表出D.
1一定可以由
2,3,4,5线性表出
设A是n阶方阵,若对任意的n维向量X均满足设矩阵A与B相似,则以下结论不正确.的是(
AX=0,贝U(
)
)A.A=0B.A=EC.秩(A)=n
D.0<秩(A) 秩(A)=秩(B)B.A与B等价C.A与B有相同的特征值D.A与B的特征向量一定相同 8. 3 3为矩阵A=0 0 0 5的三个特征值,则123=( 2 )A. 10B.20C.24 D.30 二次型 f(X1,X2,X3)=X12 2 X2 2 X3 2X1X22X1X32X2X3的秩为( )A.1 B.2C.3D. 10.设A, B是正定矩阵,则 A.AB一定是正定矩阵B.A+B一定是正定矩阵C.(AB) 二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) T一定是正定矩阵D. A-B一定是负定矩阵 10 11.设A=,k为正整数,则Ak= 11 .12.设2阶可逆矩阵A的逆矩阵 1 A-1=3 则矩阵A= 13.设同阶方阵A,B的行列式分别为-3,5,则det(AB)= 14.设向量=(6,-2,0,4),= (-3,1,5,7),向量满足2+ =3,则= 2 3 0 3 1 7“丄 15.实数向量空间V={(X1,X2, …Xn)|3X1+X2+…+Xn=0}的维数是 .16.矩阵A= 0 2 的秩 4 1 4 5 17.设1,2是齐次线性方程组Ax=0的两个解,则A(3172)= 18.设方阵A有一个特征值为0,则det(A3)=. 19.设P为正交矩阵,若(Px,Py)=8,贝卩(x,y)=. 222 6小题,每小题9分,共54分) 20.设f(xi,X2,X3)=X! 4X22x32tXM22^X3是正定二次型,则t满足 abc 2a 2a 21.计算行列式 2b bac 2b 2c 2c cab 三、计算题(本大题共 41 0 0 2 22.判断矩阵A= 3 0 0是否可逆,若可逆,求其逆矩阵 0 0 5 6 0 0 6 7 23.求向量组i=(1,2,-1,-2),2=(2,5,-6,-5),3=(3,1,1,1),4=(-1,2,-7,-3)的一个最大线性无关组, 并将其余向量通过该最大线性无关组表示出来. 2x1 3x2 X3 5x4 0 24.求齐次线性方程组 3x1 X2 2x3 4x4 0的一个基础解系及其结构解 X1 2X2 3x3 X4 0 2 25.求矩阵A=1 2 32 82的特征值和特征向量. 143 26.写出下列二次型的矩阵,并判断其是否是正定二次型. f(X1,X2,X3)=xj3xf2x1x22x1x36x2x3 四、证明题(本大题共1小题,6分) 27.设方阵A满足(A+E)2=E,且B与A相似,证明: B2+2B=0. 1.卜列等式中, 正确的是 () 20 0 1 0 012 3 369 A. 2 B.3 00 1 0 2 145 6 456 1 0 0 2.设矩阵 A= 2 2 0 ,那么矩阵A的列向量组的秩为 3 4 0 说明: At表示矩阵A的转置矩阵, 3.设向量1=(-1,4), 2=(1,_2), A*表示矩阵A的伴随矩阵, E是单位矩阵, |A|表示方阵A的行列式。 3=(3,-8),右有常数a,b使a1-b 2-3=0,则( 1 0 1 20 120 C.5 10 D. 0 2 0 35 035 ( ) A.3 B.2C.1 D.0 4=(4,9,0)的极大线性无关组为( A.a=-1,b=-2B.a=-1,b=2C.a=1,b=-2D.a=1,b=2 A. 1, 4B. 1, 3C.1, 2 D. 2, 1 3 5. 下列矩阵 车中, 是初等矩阵的为( ) 1 1 1 2 00 1 0 8 1 0 8 A. 0 1 0 B.0 20C. 0 1 0 D. 0 1 8 0 0 1 0 02 0 0 1 0 0 1 4.向量组1=(1,2,0), 2=(2,4,0),3=(3,6,0), 0b 6•设A、B均为n阶可逆矩阵,且 C=0B,则C-1是( A0 A.B1 JB.A C.0 7.设A为3阶矩阵, 8.设=3是可逆矩阵 A的秩r(A)=3,则矩阵 A的一个特征值,则矩阵 9.设矩阵A=2 D.A1 A*的秩r(A*)=( 12,则A的对应于特征值 )A.0B.1 C.2 D.3 1 有一个特征值等于( =0的特征向量为( )A. D.- 3 D.(0,1,1)T A.(0,0,0)tB.(0,2,-1)TC.(1,0,-1)T 10.下列矩阵中是正定矩阵的为() 1 1D. 23303 A.B.C. 233631 、填空题(本大题共10小题,每题2分,共20分) 111 11•行列式123 149 1 : .12.设矩阵A=2 3 1 2,B=(1,2,3),贝UBA= 1 3 中第4行各元素的代数余子式之和为 1 13.行列式 0 14.设A,B为n阶方阵,且AB=E,A-1B=B-1A=E,贝UA2+B2=. 15.设向量=(1,2,3,4),贝U的单位化向量为. 16.设3阶方阵A的行列式AF1,则|A3|=. 2 17.已知3维向量=(1,-3,3),=(1,0,-1)贝9+3=. 18.设n阶矩阵A的各行元素之和均为0,且A的秩为n-1,则齐次线性方程组Ax=0的通解为 19.设1,2,…,n是n阶矩阵A的n个特征值,则矩阵A的行列式|A|=. 20.二次型f(X1,X2,X3)=X1X2+X1X3+X2X3的秩为. 三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分) 1 21.已知矩阵A=2 1 11 10,B= 01 10 21 02 0 0,求: (1)AtB; (2)|AtB|. 1 123 QA 1 3 22.设A=221 21 B=, C=2 0,且满足AXB=C,求矩阵X 53 343 3 1 23.求向量组1=(1,2,1,0)t,2=(1,1,1,2)T,3=(3,4,3,4)T,4=(4,5,6,4)T的秩与一个极大线性无关组 x1x23x3x41 24.判断线性方程组2X1X2X34X42是否有解,有解时求出它的解. x14x35x41 25. 2=(-1,0,1)T, (1)用施密特正交化方法将 设向量1=(1,1,0)T, 1,2化为正父的1,2; (2)求3,使1,2,3两两正父. 222 26.已知二次型f=X1X2X3 2 2X1X3,经正交变换x=Py化成了标准形f=y1 2 2y2,求所用的正交矩阵 P. 四、证明题(本大题共6分) 27.设A为5阶反对称矩阵,证明|A|=0. 1 0 1 1.设A3 5 0,则 aat =( 0 4 1 2•设A为3阶方阵,且A4,则2A 3.设A,B为n阶方阵,且A=-A,BT=B, )A.-49B.-7C.7 D. 49 ()A.-32B. -8C. 8D.32 则下列命题正确的是( ) A.(A+B)T=A+BB.(AB)T=-ABC.A2是对称矩阵D•B2+A是对称阵 4.设A,B,X,Y都是n阶方阵,则下面等式正确的是() A.若A2=0, 则A=0B. .(AB)2=A2B2C.若AX=AY,贝UX=YD.若A+X=B, 贝UX=B-A 1 1 3 1 0 2 1 4 5.设矩阵A= ,则秩(A)=()A.1B.2C.3 D.4 0 0 0 5 0 0 0 0 kx z 0 6.若方程组 2x ky z 0仅有零解,则k=()A.-2B.-1C.0 D.2 kx 2y z 0 7.实数向量空间 V={ (X1, X2,X3)|X1+X3=0}的维数是()A.0B .1C.2D.3 X1 2x2 X3 1 &若方程组 3x2 X3 2有无穷多解,则 =()A.1B.2C.3D.4 X2 x3 (3)(4) (2) 1 0 0 9.设A=0 1 0, 则下列矩阵中与A相似的是() 0 0 2 020B. 22 )A.正定B.不定C.负定D.半正定 10.设实二次型f(捲兀*)X2X3,则f( 11.设A=(-1,1,2)t,B=(0,2,3)T,则|ABt|=. 12.设三阶矩阵A1,2,3,其中i(i1,2,3)为A的列向量,且|A|=2,则12,2,123 0 1 0 1 设Aa 0 c,且秩(A)=3,贝Ua,b,c应满足 .14.矩阵Q2 2的逆矩阵是 1 1 3 b 0 2 2 2 三兀方程 X1+X3=1的通解是.16.已知A相似于 10,则|A-E| 02 0 0 1 矩阵A 0 1 0 的特征值是 1 0 0 1 2 与矩阵A 2 1 相似的对角矩阵是 1 00 设A相似于 0 10,则A4. 0 01 二次型f(X1,X2,X3)=X1X2-X1X3+X2X3的矩阵是 •二、计算题 (本大题共 13. 15. 17. 18. 19. 20. 21. 23. 24. 25. 26. 27. 6小题,每小题9分,共54分 计算4阶行列式D= .22. 设A= ,而X满足AX+E=A2+X,求X. 求向量组: 13, 1 的秩,并给出该向量组的一个极大无关组,同时将其余 1的特 X 2x2 2x3 0 为何值时,齐次方程组2X1 X2 X3 0有非零解? 并求其全部非零解 3X| X2 X3 0 的向量表示成该极大无关组的线性组合 当 已知1,1,-1是三阶实对称矩阵A的三个特征值,向量1(1,1,1$、2(2,2,1)T是A的对应于12 征向量,求A的属于31的特征向量. 求正交变换Y=PX,化二次型f(X1,X2,X3)=2X1X2+2X1X3-2X2X3为标准形.四、证明题(本大题6分) 设1,2,3线性无关,证明1,122,133也线性无关. 接下来是答案 全国2010年7月高等教育自学考试 线性代数(经管类)试题课程代码: 04184 * 试卷说明: 在本卷中,人1表示矩阵A的转置矩阵(行列对换);A*表示A的伴随矩阵;A-1=A_(重要) IA 求A-1和A*时,可用这个公式,A*太复杂了自己看看 1 0 0 2 0 0 r(A)表示矩阵A的秩;|A|表示A的行列式;E表示单位矩阵。 E0 1 0 2E0 2 0,每一项都乘2 0 0 1 0 0 2 一、单项选择题[]表示矩阵,矩阵乘矩阵还是矩阵;||表示行列式,计算后为一个数值,行列式相乘为数值 运算 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。 错选、多选或未选 均无分。 1•设3阶方阵 A=(a1,a2,a3),其中ai(i=1,2,3)为A的列向量,若|B|=(a什2a2,a2,a3)|=6,则|A|=(C) A.-12 B.-6ai(i=1,2,3)为A的列向量,3行1列 C.6 D.12 2•计算行列式 3 2 0 2 0 10 0 3 0 0 0 3 =(A )=3*-2*10*3=-180 A.-180 B.-120 C.120 D.180 3•若A为3阶方阵且 |A-1 |=2,则|2A|=(c)=23|A|=8*1/2=4 B.2 A.- 2 C.4D.8 4.设a1,a2,a3,a4都是3维向量,则必有(B)n+1个n维向量线性相关 A.a1,a2,a3,a4线性无关B.a1,a2,a3,a4线性相关 C.a1可由a2,a3,a4线性表示D.a1不可由a2,a3,a4线性表示 5.若A为6阶方阵,齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2,则r(A)=(C) A.2B.3n-r(A)=解向量的个数=2,n=6 C.4D.5 6.设A、B为同阶方阵,且r(A)=r(B),则(C)A与B合同r(A)=r(B)PTAP=B,P可逆 A.A与B相似 B.|A|=|BI C.A与B等价 D.A与B合同 7•设A为3阶方阵,其特征值分别为 2,1,0则|A+2E|=(D),|A|=所有特征值的积=0 A.OB.2A+2E的特征值为2+2,1+2,0+2,即4,3,2,|A+2E|=4*3*2 C.3D.24 8•若A、B相似,则下列说法错误.的是(B) A.A与B等价B.A与B合同 C.|A|=|B|D.A与B有相同特征值 A、B相似A、B特征值相同|A|=|B|r(A)=r(B);若A〜B,B〜C,则A〜C(〜代表等价) 9若向量a=(1,-2,1)与3=(2,3,t)正交,则t=(D)T0,即1*2-2*3+1*t=0,t=4 A.-2B.0 C.2D.4 10•设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2,1,0,则(B),所有特征值都大于0,正定; A.A正定B.A半正定所有特征值都小于0,负定; C.A负定D.A半负定所有特征值都大于等于0,半正定;同理半负定;其他情况不定 二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 11.设 A=0 1,B=21 1 ,贝UAB: =(A 的每 一行与B 的每一列对应相乘相加) 2 4 01 0 3*2 2*0 3*1 2*1 3* 12*0 6 53 a11a12 a13 =0*2 1*0 0*1 1*0 0* 11*0 =0 10
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