六年级数学工程问题附例题答案之欧阳德创编.docx

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六年级数学工程问题附例题答案之欧阳德创编

第七讲　工程问题

时间：

2021.03.07

创作：

欧阳德

一、知识要点

在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作总量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是

　　工作总量=工作效率×工作时间.

　　在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”.

举一个简单例子：

一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？

一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位，因此甲的工作效率是

，乙的工作效率是

，我们想求两人合作所需时间，就要先求两人合作的工作效率

，再根据基本数量关系式，得到所需时间=工作量÷工作效率

　　=6（天）.

两人合作需要6天.

　　这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的.

　　为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），可把工作量多设份额.如上题，10与15的最小公倍数是30.设全部工作量为30份.那么甲每天完成3份，乙每天完成2份.两人合作所需天数是

30÷（3+2）=6（天）

实际上我们把

这个算式，先用30乘了一下，都变成整数计算，就方便些.

10天与15天，体现了甲、乙两人工作效率之间比例关系

.或者说“工作量固定，工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是15∶10=3∶2.当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也是非常实用的.根据

，两人合作时，甲应完成全部工作的

，所需时间是

（天）.

　　因此，在下面例题的讲述中，我们可以采用“把工作量设为整体1”的做法，也可以“整数化”或“从比例角度出发”、“列方程”等，这样会使我们的解题思路更灵活一些.

二、典型例题

例1.一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？

解析：

　甲的工效：

1÷9＝1/9乙的工效：

1÷6＝1/6甲三天做了的：

1/9×3＝1/3

余下的工作：

1－1/3＝2/3乙需做的天数：

2/3÷1/6＝4（天）

例2.有一工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成，甲、乙两队合做8天后，余下的由丙队做，又做了6天才完成。

这个工程由丙队单独做需几天完成？

解析：

1-（1/24+1/30）×8=2/56÷2/5=15天

例3.某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成，若由甲乙两人合作，需48天完成，现在甲先单独做42天，然后由乙来单独完成，那么还需要多少天？

解析：

某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天可以完成,可看成甲乙合作28天，甲再另外做了35天所以甲的工效为（1-28/48）/35=1/84，乙的工效为1/48-1/84=1/112甲先单独做42天，然后由乙接着做，还需（1-42*1/84）/（1/112）=56天

另一个方法：

令甲每天做工程的百分比为x，乙每天做工程的百分比为y则63x+28y=148（x+y）=1求得x=1/84y=1/112若甲独做42天，则完成工程的42/84，即1/2，剩下1/2由乙完成，需要1/2÷1/112=56天

例4.一项工程，甲乙两人合作4天后，再由乙单独做5天完成，已知甲比乙每天多完成这项工程的

，甲乙单独做这项工程各需要多少天？

甲单独做需X天，乙单独做需y天4*（1/X+1/Y）+5/Y=11/x-1/y=1/30X=10Y=15甲单独做需10天，乙单独做需15天

设甲单独做需X天，那么甲平均每天完成工程的1/X；因为甲比乙每天多完成这项工程的30分之一，就是说，乙平均每天完成1/X-1/30；按照已知条件，甲乙合作4天，4/X+4*（1/x-1/30），随后，乙单独做了5天，5*（1/x-1/30），加在一起，完成了这项工程，即，4/X+4*（1/x-1/30）+5*（1/x-1/30）=1x=10乙每天完成1/10-1/30=1/15，即，乙单独做需15天

例5.一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？

16天中甲实际休息了16-3=13天甲完成了13/20乙完成了1-13/20=7/20需要时间：

7/20÷1/30=10.5天所以乙休息了16-10.5=5.5天

例6.有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？

解析1：

先让张某单独完成乙，李某单独完成甲。

乙还剩1-8/15=7/15

两人合作时间为：

7/15/（1/15+1/20）=4所以至少要工作：

8+4=12（天）

解析2：

小李做甲工效高

小李先做甲,小张先做乙,小李完成甲以后再和小张一起做乙

至少需要:

（1-8/15）÷（1/15+1/20）+8=12天

例7.甲、乙合做一件工作要15天才能完成，现在甲、乙合做10天后，再由乙独做6天，还剩下这件工作的1/10，甲单独完成这件工作要多少天？

解析：

 甲乙合作10天，完成了：

10×1/15＝2/3乙独做6天完成了：

1－2/3－1/10＝7/30乙每天完成：

7/30÷6＝7/180甲独做需要：

1÷（1/15－7/180）＝36（天）

例8.一项工程甲队单独做15天可以完成，乙队独坐10天可以完成。

现在开始两队合作，但中间乙队因另有任务调走，从开始到完成任务，甲队工作了9天，乙队比甲队少工作了多少天？

解析：

甲独做一天的工效为1/15，乙独做一天的工效为1/10。

合做分想：

这项工程甲做了9天，剩下的都是由乙队完成的。

可以用工作总量减去甲队9天的工作量，求出乙队工作量，再根据乙队的工作量和工效求出乙队的工作时间：

（1－1/15×9）÷1/10＝4（天）。

所以乙队比甲队少工作天数为：

9－4＝5

例9.甲、乙合做一件工作，合作8天后，乙又独做5天，还剩下这件工作的1/6。

已知乙单独完成这件工作要30天，那么甲单独完成这件工作要多少天？

解析：

1-1/30×（8+5）-1/6=12/30=2/52/5÷8=1/20所以需要20天

例10.甲、乙合做一件工作，每天能完成全部工作的1/12，甲单独做6天，乙又单独做10天后，还剩下全部工作的11/30没有完成，甲单独完成全部工作要多少天？

解析：

6*1/12=1/21-11/30-1/2=2/15（2/15）/（10-6）=1/301/（1/12-1/30）=20

例11..一项工程，甲单独完成需12天，乙单独完成需9天。

若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？

解析1：

当做鸡兔同笼问题处理，如果10天都是乙做，能完成：

1/9×10=10/9，

超出了：

10/9-1=1/9，每天，甲比乙少做：

1/9-1/12=1/36，甲做了：

1/9÷1/36=4天

解析2：

设甲做了X天X×1/12＋（10-X）×1/9＝1，得出X＝4

甲做了4天

例12.一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？

解析：

设甲做了x天，则乙做了3x天，丙做了6x天，所以x/12+3x/18+6x/24=1，x/2=1

x=2，所以总共用了2+3*2+6*2=20天

例13.一份稿件，甲、乙、丙三人单独打字需要的时间分别是20小时、24小时、30小时，现在三人合打，但甲因中途另有任务提前撤出，结果用12小时完成，甲只打了多少小时？

解析1：

甲、乙、丙每小时单独打出稿件的1/20,1/24,1/30，打了12小时，则乙和丙分别打了全部稿件的12/24,12/30，12/24+12/30=9/10，则甲打了稿件的十分之一，（1/10）除以（1/20）=2

甲打了2小时

解析2：

方程法：

设甲打x小时。

则：

x/20+12*（1/24+1/30）=1，可解出X=2

例14.一项工程甲单独完成要30天，乙单独完成要45天，丙单独完成要90天。

现在由甲、乙、丙合作完成此工程，在工作过程中甲休息了2天，乙休息了3天，丙没有休息，最后把工程完成了，问完成这项工程前后一共用了多少天？

解析1：

方程法设是第x天完成的，（x-2）/30+（x-3）/45+x/90=1整理，得x=17

解析2：

（1+2/30+3/45）/（1/30+1/45+1/90）=17（天）

解释：

假若甲、乙没休息，那么应该完成总工程的1+2/30+3/45

例15.一项工程，甲、乙两人合做4天后，再由甲单独做6天才完成全部任务。

已知甲比乙每天多完成这项工程的1/80,则甲、乙单独完成各需多少天？

解析1：

思路同第四题，设乙每天完成的工作占整个工作的x，4（x+x+1/80）+6（x+1/80）=1

x=1/16，x+1/80=3/40，所以甲40/3天完成，乙16天完成

解析2：

甲比乙多完成全部任务的：

1/80*（4＋6）＝1/8（4＋6表示甲一共做了10天）1-1/8＝7/8（相当于两人均以乙的工效完成的工作量）4＋4＋6＝14（天）乙每天完成：

7/8÷14＝1/16，甲每天完成：

1/16＋1/80＝3/40，单独完成甲要：

1÷3/40＝13又1/3（天）

例16.一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？

解析：

甲乙合作的效率=1÷36=1/36，乙丙合作的效率=1÷45=1/45，甲丙合作的效率=1÷60=1/60，甲乙丙三人合作的效率=（1/36+1/45+1/60）÷2=1/30

甲工作的效率=1/30-1/45=1/90

三、练习题

1.某工程甲单独干10天完成，乙单独干15天完成，他们合干多少天才可完成工程的一半？

解：

天

2.某工程甲队单独做需48天，乙队单独做需36天。

甲队先干了6天后转交给乙队干，后来甲队重新回来与乙队一起干了10天，将工程做完。

求乙队在中间单独工作的天数。

3.一条水渠，甲、乙两队合挖需30天完工。

现在合挖12天后，剩下的乙队单独又挖了24天挖完。

这条水渠由甲队单独挖需多少天？

4.单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。

甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？

分析与解：

以全部工程量为单位1。

甲队单独干需100天，甲的工作效

5.某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。

如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。

问：

甲队干了多少天？

　　分析：

将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？

”这样一来，问题就简单多了。

　　答：

甲队干了12天。

6.制作一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间与丙车间一起做，需要8天才能完成.现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个.问丙车间制作了多少个零件？

解一：

仍设总工作量为1.

甲每天比乙多完成

因此这批零件的总数是

丙车间制作的零件数目是

答：

丙车间制作了4200个零件.

解二：

10与6最小公倍数是30.设制作零件全部工作量为30份.甲每天完成3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份.

　　乙、丙一起，8天完成.乙完成8×2=16（份），丙完成30-16=14（份），就知

　　乙、丙工作效率之比是16∶14=8∶7.

　　已知

　　甲、乙工作效率之比是3∶2=12∶8.

　　综合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是

　　12∶8∶7.

　　当三个车间一起做时，丙制作的零件个数是

2400÷（12-8）×7=4200（个）.

7.搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？

解：

设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2，所需时间是

　　答：

丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时.

解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化，设搬运一个仓库全部工作量为60.甲每小时搬运6，乙每小时搬运5，丙每小时搬运4.

　　三人共同搬完，需要

　　60×2÷（6+5+4）=8（小时）.

　　甲需丙帮助搬运

　　（60-6×8）÷4=3（小时）.

　　乙需丙帮助搬运

　　（60-5×8）÷4=5（小时）.

8.一件工作，甲独做12天完成，乙独做18天完成，丙独做24天完成。

这件工作先由甲做了若干天，然后乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作，求这件工作做完共用了多少天？

【解析】：

解法一：

列方程解答。

设甲先做了X天，则乙接着做了3X天，丙做了（2×3）X天，由题意可得：

X×1/12＋3X×1/18＋（2×3）X×1/24＝1

解得：

X＝2

所以这件工作做完共用时间：

2×（1＋3＋2×3）＝20（天）。

解法二：

把甲的工效（一天的工作量）、乙工效的3倍、丙工效的6倍合起来的工作量看作一份，总工作量里有这样的几份，甲就工作了几天，可以求出甲工作的天数为：

 1÷（1/12＋3×1/18＋2×3×1/24）＝2（天）

所以这件工作做完共用时间：

2×（1＋3＋2×3）＝20（天）。

时间：

2021.03.07

创作：

欧阳德