方程与不等式之二元二次方程组基础测试题含答案.docx
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方程与不等式之二元二次方程组基础测试题含答案
方程与不等式之二元二次方程组基础测试题含答案
一、选择题
1.某商场计划销售一批运动衣,能获得利润12000元.经过市场调查后,进行促销活动,由于降低售价,每套运动衣少获利润10元,但可多销售400套,结果总利润比计划多4000元.求实际销售运动衣多少套?
每套运动衣实际利润是多少元?
【答案】实际销售运动衣800套,实际每套运动衣的利润是20元
【解析】
【分析】
根据计划销售的套数>计划每套运动衣的利润=计划获利12000元;实际销售的套数棋际每套运动衣的利润=实际获利12000+4000元;那么可列出方程组求解.
【详解】
x套,实际每套运动衣的利润是y元.
解:
设实际销售运动衣
根据题意,可列方程组
xy
400y10
120004000
12000
解得:
為800
*20
X2
y2
800
20(舍去),
答:
实际销售运动衣
800套,每套运动衣的实际利润20元.
(1)
(2)
(3)67h或77h
3030
【点睛】
本题考查了二元二次方程组的应用,关键是根据题意列出方程组求解后要判断所求的解是否符合题意,舍去不合题意的解.
2.已知A,B两地公路长300km,甲、乙两车同时从A地出发沿同一公路驶往B地,2小
时后,甲车接到电话需返回这条公路上与A地相距105km的C处取回货物,于是甲车立即
原路返回C地,取了货物又立即赶往B地(取货物的时间忽略不计),结果两下车同时到
达B地,两车的速度始终保持不变,设两车山发X小时后,甲、乙两车距离A地的路程分
别为
y1(km)和y2(km).它们的函数图象分别是折线OPQR和线段OR.
求乙车从A地到B地所用的时问;
求图中线段PQ的解析式(不要求写自变量的取值范围);
x=,两车相距25千米的路程.
【解析】
(1)由图可知,求甲车2小时行驶了180千米的速度,甲车行驶的总路程,再求甲车从A地到B地所花时间;即可求出乙车从A地到B地所用的时间;
(2)由题意可
知,求出线段PQ的解析式;(3)由路程,速度,时间的关系求出x的值.
(1)解:
由图知,甲车2小时行驶了180千米,其速度为180290(km/h)
甲车行驶的总路程为:
2180105300450(km)
甲车从A地到B地所花时间为:
450905(h)
又•••两车同时到达B地,
•••乙车从A地到B地所用用的时间为5h.
5
(2)由题意可知,甲返回的路程为18010575(km),所需时间为7590-
6
(h),26
1717
—.•Q点的坐标为(105,—).设线段PQ的解析式为:
ykxb,
66
把(2,180)和
(105,
180
17)代入得:
{
6108
2k
17k
b
,解得k90,b360,
b
•••线段PQ的解析式为y
90x360.
(3)67h或一
3030
点睛”本题考查了一次函数的应用,解题关键是明确题意,用数型结合的思想解答问题.
找出所求问题需要的条件,利
3.解方程组:
2x
2
X
y3
2xy
y21
【答案】
yi
4
3
1
3
X2
y2
2
3
5
3
【解析】
【分析】
由②得:
(X
y)2
1,即得Xy1或Xy1,
再同①联立方程组求解即可.
【详解】
2xy
X22xyy21②
由②得:
(Xy)21,
•••Xy1或Xy1
把上式同①联立方程组得:
2x
2xy
解得:
Xi
yi
4
3
1
3
X2
y2
Xi
•••原方程组的解为
yi
4.解方程组:
【答案】
yi
【解析】
【分析】
x2
2x
6
13
1
13
把①方程变形为
(X
别和原方程组中的
【详解】
方程①可变形为
(X
2
3
5
3
5xy
y1
X2
y2
6y2
6y)(xy)
2
3
5
3
0,从而可得X6y0或Xy0,把这两个方程分
方程组合得到两个新的二元一次方程组,解这两个方程组即可
6y)(xy)0,
得x6y0或xy0,
将它们与方程②分别组成方程组,得:
(I)x6y
2xy
0或(n)
0
xy0
2xy1
解方程组(I)
13
1
解方程组(n)
所以原方程组的解是
5.解方程组y2
x
13
13
1
4xy
13
4y2
【答案】
y1
4
3’y21
X20
【解析】
【分析】先将
②式左边因式分解,再将①
式代入,可求出
X,再分别代入①式求出y.
【详解】解:
yx1?
①
x24xy4y24②
由②得,X
2y
把①代入③,
即:
X22
所以,x+2=2或x+2=-2
所以,X1=-4,x2=0,
把X1=-4,x2=0,分别代入①,得y1=-3,y2=1.
所以,方程组的解是
4
y13'y21
xi
X2
【点睛】本题考核知识点:
解二元二次方程组
.解题关键点:
用代入法解方程组
6.计算:
(1)旷27后
(2)解方程组:
3x5y
4x
3
10y6
(3)解不等式组,并把解集在数轴上表示出来:
6x
3x4
2x
(3)
2)用加减法解方程组;(3)解不等式组,再
【答案】
(1)
【解析】
【分析】
(1)先求开方运算,再进行加减;在数轴上表示解集.
31
【详解】解:
(1)原式=-3+4--=丄
22
3x5y3①
4x10y6②
①X2+②,得x=0
把x=0代入①式y=—
5
所以,方程组的解是
6x2
(3)2x1
3x
由①式得,
由②式得,
11
XV—
7
所以,不等式组的解集是
11
x一
7
把解集在数轴上表示:
-3-2-120
11123
r
【点睛】本题考核知识点:
开方,解二元一次方程组,解不等式组
•解题关键点:
掌握相关
解法.
7.如图,已知抛物线y=ax2+bx+1经过A(-1,0),B(1,1)两点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)阅读理解:
在同一平面直角坐标系中,直线11:
y=k1x+b1(k1,b1为常数,且k1M0,直线|2:
y=
k2X+b2(k2,b2为常数,且k2M0,若|1丄|2,贝Uk1?
k2=-1.
解决问题:
1若直线y=2x-1与直线y=mx+2互相垂直,则m的值是;
2抛物线上是否存在点P,使得ARAB是以AB为直角边的直角三角形?
若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)M是抛物线上一动点,且在直线AB的上方(不与A,B重合),求点M到直线AB
111
I答案】
(1)―产尹;
(2)①-2;②点P的坐标(6,-14)(4,-5);
(3)遁.
5
【解析】
【分析】
(1)根据待定系数法,可得函数解析式;
(2)根据垂线间的关系,可得PAPB的解析式,根据解方程组,可得P点坐标;
(3)根据垂直于x的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标,可得MQ,根据三角形的面积,可得二次函数,根据二次函数的性质,可得面积的最大值,根据三角形
的底一定时面积与高成正比,可得三角形高的最大值
【详解】
(1)将A,B点坐标代入,
解:
0
(1)
1
(2)
1
解得
2
1
2
抛物线的解析式为
y=
(2)①由直线y=2x-
12-x2
1与直线y=mx+2互相垂直,得
2m=-1,
即m=-1
2
故答案为-1;
2
1
2
当PA丄AB时,PA的解析式为y=
②AB的解析式为y
-2x-2,
联立
PA与抛物线,得
12
-X
2
2x
解得
1
0(舍),
6
14,
y
(6,
当PB丄AB时,PB的解析式为y=-2x+3,
联立
PB与抛物线,
12y2x
y2x
1x1
2
3
解得
(舍)
即p
综上所述:
(4,
-5),
△PAB是以AB为直角边的直角三角形,点P的坐标(6,-14)(4,-5);
•••M(t,-尹尹1),Q(t,厂2),
11
--MQ=——t2—
22
1
SZMAB=—MQ|xB-xa|
=-1t2+1,
22
当t=0时,S取最大值1,即M(0,1).
2
由勾股定理,得
AB=~12=75,
设M到AB的距离为h,由三角形的面积,得
h—-血
h=需=T.
点M到直线AB的距离的最大值是題
5
【点睛】本题考查了二次函数综合题,涉及到抛物线的解析式求法,两直线垂直,解一元二次方程组,及点到直线的最大距离,需要注意的是必要的辅助线法是解题的关键
&如图,
轴交于点
33
y=—JC--
在平面直角坐标系中,直线I:
42沿x轴翻折后,与x轴交于点A,与y
2,
B,抛物线y蔦Xh」
与y轴交于点D,与直线AB交于点E、点F(点F在点
E的右侧)
若线段DF//x轴,求抛物线的解析式;
如图,在
(2)的条件下,过F作FH丄x轴于点G,与直线I交于点H,在抛物线上是
P、Q的坐标,若不存在,请
;(3)
1,3),(3,0)•
(2)
(3)
否存在P、Q两点(点P在点Q的上方),PQ与AF交于点M,与FH交于点N,使得直线PQ既平分△AFH的周长,又平分AAFH面积,如果存在,求出说明理由.
3y=N—.
42与x轴、y轴交点坐标,根据
—X
【解析】
【分析】
(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,先求出直线
沿x轴翻折,得到A、B的坐标,把A、B的坐标代入直线AB的解析式y=kx+b,即可求出
直线AB的解析式;
(2)设抛物线的顶点为P(h,0),得出抛物线解析式为:
2^242,
v_—fr—hr+
3333,根据DF/x轴,得出F的坐标,把F的坐标代入直线AB
的解析式即可求出h的值,即可得到答案;
(3)
GA:
FA=3:
过M作MT丄FH于T,得到RtAMTF^RtMGF,得到FT:
TM:
FM=FG:
4:
5,设FT=3k,TM=4k,FM=5k,求出FN的值,根据三角形的面积公式求出△AFH的面积,根据之间的等量关系即可求出k的值,设直线MN的解析式为:
612
S'
△MNF和
y=kx+b,把
式,解由方程
【详解】
、N(6,-4),代入得到方程组,求出方程组的解即可得到直线
4
y=—X+4
3
<宀4十
和I3的解即可得出P、Q的坐标.
(1)解:
设直线AB的解析式为y=kx+b
33
y=—X—
直线42与x轴、y轴交点分别为(-2,0),(0,
33
y=-=x—
•••直线42,
直线AB与x轴交于同一点(-2,0)
3
3)与点
•••A(-2,0).与y轴的交点(0,
3
•••B(0,园),
+0
3
MN的解析
3
2),沿x轴翻折,
B关于x轴对称
0),
-74
=寸兀£—hx+
3一
•••点F(2h,
i2—/t2
[3
),
3
解得k=4,b=2,
直线AB的解析式为
(2)解:
设抛物线的顶点为Q(h,
22
抛物线解析式为:
3
2
—h2
).
3
23
又点F在直线AB上,•••34丿2,
-3
解得h1=3,h2=4
•••抛物线的解析式为
(3)解:
过M作MT丄FH于T,
(舍去),
22.
7=’忙-3)2=丁址上-4比+6
•••RtAMTFsRSGF.
•••FT:
TM:
FM=FG:
GA:
FA=3:
4:
5,
设FT=3kTM=4k,FM=5k,
则FN=2AH+HF+AF)-FM=16-5k,
1
•••S^NF=2(AH+HF+AF)-FM=16-5k,
又TSbMINF=2SZAFH.
(16-5A£)4ftj
=24,
6
解得k==W或k=2
18
FT^,
•••FM=6,
(舍去),
24
MT=m,GN=4,
12
TG可,
6
126
M(
5
P))、N(6,-4),代入得:
k+b且-4=6k+b,
4
亍,b=4,
解得:
k=
4
y=3x+4,
42
联立y=
-=^x2-4h+6
3x+4与y=3
8
求得P(1,耳),Q(3,
0).
8
此题是一个拔高的题目,有一定的难度.
本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式,解二元一次方程组、解二元二次方程组,三角形相似的性质和判定,图形的旋转等知识点,综合运用这些性质进行计算是解此题的关键,
9.解方程组:
6xy9y24
(1)
x2y
3
(2)
Xi
5.
X2
13
或
yi
1
y2
5
【答案】
【解析】
【分析】
先将①
中的X2
-6xy+9y2分解因式为:
(x-3y)2,则x-3y=±,与②组合成两个方程组,
解出即可
解:
由①,得(x-3y)
•••x-3y=±2
2=4,
•••原方程组可转化为:
x
3y
3
x
或
3y
x
2y
3
x
2y
x5
x2
13
解得或
y11
y2
5
X1
5
X2
13
所以原方程组的解为:
或
y1
1
y2
5
【详解】
-2
3
【点睛】
此题考查二元二次方程组的解,
解题关键在于掌握运算法则
10.解方程组:
2:
3y
x22xy
5,
3y20.
x25
【答案】
【解析】
【分析】
分别解方程组即可.
次方程,然后分别与第一个方程联立成二
先将第二个方程利用因式分解法得到两个一元元一次方程组,
【详解】
由②得:
yx3y
所以,x
0或x3y
整理得:
2x
3y
「0
2x3y5
3y
x1
解得:
y1或
所以,原方程组的解为
xi
X2
yi
y2
【点睛】
本题主要考查二元二次方程组的解法,关键.
能够将原方程组拆成两个二元一次方程组是解题的
11.解方程组:
x2
3xy
y3
4y20
【答案】
X1
X2
y2
3
2
3
2
【解析】
消去一个未知数X,得到关于y的一元二次方程,然后用公式法解出y的
【分析】由代入消元法,
值,然后计算出X,即可得到方程组的解
【详解】
x2解:
X
3xy4y20①
y3②
由②得:
xy3③,
2
3y(y3)4y0,
把③代入①,得(y3)2整理得:
6y23y
2250,
2
b4ac9
•••用求根公式法,得
解得:
yi=i,
y2
•-Xi
4,X2
•••方程组的解为:
Xi
X2
y2
yi
【点睛】
本题考查了解二元二次方程组,利用代入消元法把解方程组转变为解一元二次方程,掌握公式法解一元二次方程是解题的关键.
2
x
12.2
x
2
3xy4y
4xy4y2
【答案】
Xi
yi
2
3
1
6
y2
2
3%1X41
1^1%1
6
4y2
4y2
【解析】
【分析】
由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程,所以先分解组中的两个二元二次方程,得到四个二元一次方程,重新组合成四个二元一次方程组,再解答即可.
【详解】
2
解:
将①
•••x
4y0或x
将②
2y1或x
•••原方程化为:
(x4y)(x
y)
0,
y0
(x2y)2
1
2y1
x4y0
x
4y0
xy0
Xy
x2y1
x
2y1,
X2y1'
x2y
因式分解得:
因式分解得:
x3xyx24xy
解这些方程组得:
•••原方程组的解为:
Xi
y1
X1
y1
2
3
1
6
X2
y2
X2
y2
2
3
1
6
2
3
1
6
X3
y3
X3
y3
X4
y4
X4
y4
【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解法,方程组.
解题的关键是利用因式分解法将原方程组转化为四个
13.解方程组:
2y8
5xy
6y20
【答案】
y1
12
2,
X2
y2
【解析】
【分析】
先将第2个方程变形为
x+6y=0,X-y=0,从而得到两个二元一次方程组,再分别求解即
可.
【详解】
X
解:
2
X
2y8①
2
5xy6y
由②得:
x+6y=0,X-y=0,
X
原方程组可化为
X
2y8或
6y0
2y8
y0
故原方程组的解为
y1
12
2
X2
y2
8
3
8
3
【点睛】本题考查的是高次方程,关键是通过分解,把高次方程降次,得到二元一次方程组,用到的知识点是因式分解、加减法.
22
X5xy6y0
14.解方程组:
Xy12
【答案】
y1
【解析】
【分析】
利用因式分解法求x2
0,得到x2y0或x3y0,然后得到两个二元
2
5xy6y
一次方程组,分别求出方程组的解即可
【详解】
解:
由(
1)得
2y
0或x3y
x2y
0
或
12
3y
0
12,
解方程组得:
Xi
x2
yi
y2
则原方程组的解为
Xi
X2
【点睛】
本题主要考查解二元二次方程组,
然后得到新的方程组
15.解方程组:
2y5
2
y
2xy10
yi
y2
解此题的关键在于利用因式分解法将第一个方程求解,•也可以利用代入消元法进行求解.
7
【答案】
3或
4
3
【解析】
【分析】
将方程
x2
组成方程组,
【详解】
y22xy1
求出对应的
0变形整理求出xy1或xy1,然后分别与x2y5
x,y的值即可.
x2y
2xy1
解:
22
Xy
对②变形得:
1④,
①—③得:
3y4,解得:
y
y4代入①得:
x2
3
5,解得:
-④得:
3y6,解得:
y2代入①得:
x
解得:
7
故原方程组的解为:
3或
4
3
【点睛】
本题考查了解二元二次方程组,解二元二次方程组的基本思想是转化”这种转化包含消
元”和降次”掌握好消元和降次的方法和技巧是解二元二次方程组的关键.
16.解方程组:
x24y212①
x2y6②
【答案】
【解析】
【分析】
将①分解因式可得(X2y)(x组成可得
【详解】
2y)12,再将将②代入③后得x2y2,然后与②
解:
由①得(x2y)(x
2y)
12.③
将②代入③,
得x2y
得方程组
2y
2y
x
解得
y
所以原方程组的解是
【点睛】
本题考查了解二元二次方程组,解题思路是降次,可以利用代入法或分解因式,达到降次的目的.
17.如图在矩形ABCD中,AB=nAD,点E、F分别在AB、AD上且不与顶点A、B、D重合,
AEFBCE,圆O过A、E、F三点。
(1)求证:
圆O与CE相切于点E.
(2)如图1,若AF=2FD,且AEF30,求n的值。
(3)如图2,若EF=EC且圆0与边CD相切,求n的值。
【答案】
(1)证明见解析;
(2)
^/3;(3)7
4
【解析】
(1)由四边形ABCD是矩形证明/FEC=90即可;
(2)函数求解;(3)利用三角形中位线、勾股定理和题意可列方程求出
在直角三角形中利用三角
nn的值.
⑴证明:
•••四边形ABCD是矩形,•/B=90;
/BCE+/BEC=90°,
又•••/AEF=/BCE•••/AEF+ZBEC=90°,
•••/FEC=90;.・.OO与CE相切.
(2)vAF=2FD设FD=a贝AF=2a,
在直角三角形AEC中,
•••/BCE=30°.
•//AEF=30°
•••EF=4a由勾股定理:
AE=2>/3,
73
tan剜=——=—fiC3
•••BC=3a,又在直角三角形EBC中,
EB娱,
AEEB
N,连接
n些
2运a丽
ON,又过F作fHEM交
AEFCBE,
ON于H,QFE=EC,EFEC,
根据题意和作图,可设AE=BC=ME=AD=y,AF=QE=EB=X,
EQx
易证明OH为EFQ的中位线,0H=_5±i±
22
fJJV=—+#—F—=2ON=EF=y*.工,
2•2由勾股定理和题意可列方程:
{(2yx)
Xyny
化简:
(3-旳'=佃一1)'+1
222
Xy
7
n一.
4
点睛”本题考查了直线与圆的位置关系,将方程与几何融合在一起,利用勾股定理和方程组解答;解答本题需要我们熟练各部分的内容,对学生的综合能力要求较高,一定要注意将所学知识贯穿起来.
0,其余的两个数字的和为9,且这两个数字颠倒后的三位数比
9,求此三位数.
y.则依据两个数字的和为9;这两个数字颠倒后的三位数
18.一个三位数的中间数字是这两个数字之积的33倍还多
【答案】306
【解析】
【分析】设百位数字是X,个位数字是比这两个数字之积的33倍还多9”列出方程组.
【详解】
设百位数字是X,个位数字是y.则
xy=9
100y
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- 方程 不等式 二元 二次 方程组 基础 测试 答案