届江西省赣州市六校高三上学期期末联考理科数学试题及答案 精品.docx
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届江西省赣州市六校高三上学期期末联考理科数学试题及答案精品
赣州市六校2017届高三上学期期末联考
数学(理)试题
(试卷满分150分)
第Ⅰ卷(共50分)
一、选择题:
本大题共10小题。
每小题5分,共50分。
在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合,,则A∩B=( )
A.[-2,2]B.[0,2]C.(0,2]D.[0,+∞)
2.函数f(x)=的定义域是( )
A.(0,2)B.(0,1)∪(1,2)C.(0,2]D.(0,1)∪(1,2]
3.已知数阵中,每行的3个数依次成等差数列,每列的3个数也依次成等差数列,若,则这9个数的和为( )
A.16B.32C.36D.72
4.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.B.C.40D.80
5.已知展开式中常数项为5670,其中是常数,则展开式中各项系数的和是( )
A.28B.48C.28或48D.1或28
6.由曲线,直线及轴所围成的封闭图形的面积为( )
A.B.4C.D.6
7.某市高三数学抽样考试中,对90分以上(含90分)的成绩进行统计,其频率分布图如图所示,已知130~140分数段的人数为90,90~100分数段的人数为a,则下图所示程序框图的运算结果为(注:
n!
=1×2×3×…×n,如5!
=1×2×3×4×5)( )
A.800!
B.810!
C.811!
D.812!
8.下列命题正确的个数是()
①已知复数,在复平面内对应的点位于第四象限;
②若是实数,则“”的充要条件是“”;
③命题P:
“”的否定P:
“”;
A.3B.2C.1D.0
9.已知集合,若对于任意,存在,使得成立,则称集合是“理想集合”,则下列集合是“理想集合”的是()
A.B.
C.D.
10.如图所示,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的弧AP的长为,原点O到弦AP的长为d,则函数d=f()的图像大致是( )
第Ⅱ卷(共100分)
二.填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分。
11.若点在直线上,其中则的最小值为.
12.如图,设E,F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点,已知AB=3,AC=6,则·=.
13.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为.
14.设函数在其图像上任意一点处的切线方程为,且,则不等式的解集为.
15.选作题:
请在下列两题中任选一题作答,若两题都做按第一题评阅计分。
本题共5分。
A:
(坐标系与参数方程)已知圆C的极坐标方程为,则圆心C的一个极坐标为.
B:
(不等式选讲)不等式的解集是.
三、解答题:
本大题共6小题,共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.(本小题满分12分)
已知函数
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间;
(2)在中,A、B、C分别为三边所对的角,若,求的最大值.
17.(本小题满分12分)
甲、乙两名教师进行乒乓球比赛,采用七局四胜制(先胜四局者获胜).若每一局比赛甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,现已赛完两局,乙暂时以2∶0领先.
(1)求甲获得这次比赛胜利的概率;
(2)设比赛结束时比赛的局数为随机变量X,求随机变量X的概率分布和数学期望EX.
18.(本小题满分12分)
在直三棱柱中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点.
(1)求证:
B1C∥平面A1BD;
(2)求平面A1DB与平面DBB1夹角的余弦值.
19.(本小题满分12分)
已知数列满足:
,且。
(1)求通项公式;
(2)求数列的前n项的和
20.(本小题满分13分)
已知椭圆C:
的离心率为,左、右焦点分别为,点G在椭圆C上,且,的面积为3.
(1)求椭圆C的方程:
(2)设椭圆的左、右顶点为A,B,过的直线与椭圆交于不同的两点M,N(不同于点A,B),探索直线AM,BN的交点能否在一条垂直于轴的定直线上,若能,求出这条定直线的方程;若不能,请说明理由。
21.(本小题满分14分)
已知函数,.
(1)若,求函数的单调区间;
(2)若恒成立,求实数的取值范围;
(3)设,若对任意的两个实数满足,总存在,使得成立,证明:
.
2013-2017学年度第一学期期末联考
高三数学(理科)参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
D
A
C
C
B
C
B
D
二、填空题
11、12、1013、414、
15、A:
B:
三、解答题
16.解:
(1)
,………………………………………………………………………3分
所以函数的最小正周期为.…………………………………………4分
由得
所以函数的单调递增区间为.……………………6分
(2)由可得,又,所以。
…8分
由余弦定理可得,即又,所以,故,当且仅当,即时等号成立
因此的最大值为。
………………………………………………………12分
17.
(1)设甲获胜为事件A,则甲获胜包括甲以4∶2获胜和甲以4∶3获胜两种情况.
设甲以4∶2获胜为事件A1,则………………………………2分
设甲以4∶3获胜为事件A2,则………………5分
P(A)=.…………………………………………6分
(2)随机变量X可能的取值为4,5,6,7,
=.
.
.
.
X的概率分布为:
X
4
5
6
7
P
…………………………………12分
18.解:
(1)连接AB1交A1B与点E,连接DE,则B1C∥DE,则B1C∥平面A1BD……4分
(2)取A1C1中点F,D为AC中点,则DF⊥平面ABC,
又AB=BC,∴BD⊥AC,∴DF、DC、DB两两垂直,
建立如图所示空间直线坐标系D-xyz,则D(0,0,0),B(0,,0),A1(-1,0,3)
设平面A1BD的一个法向量为,
取,则,………………………8分
设平面A1DB与平面DBB1夹角的夹角为θ,平面DBB1的一个法向量为,………………………………………………10分
则
∴平面A1DB与平面DBB1夹角的余弦值为。
…………………12分
19.解:
(1)当是奇数时,,所以,所以是首项为,公差为2的等差数列,因此。
……………2分
当为偶数时,,所以,所以是首项为,公比为3的等比数列,因此。
………………………………4分
综上…………………………………………………………………6分
(2)由
(1)得…8分
……………………………………10分
所以……………………………………………………12分
20.解:
(1)设,由于,所以,
根据,得,即,
因为的面积为3,,所以,
所以有,解得,所以,
所以椭圆才C的方程为。
…………………………………………………5分
(2)由(1)知。
①当直线的斜率不存在时,直线:
,直线与椭圆C的交点坐标,,此时直线,联立两直线方程,解得两直线的交点坐标(4,3)。
它在垂直于轴的直线上。
………………………………………7分
②当直线的斜率存在时,
设直线,代入椭圆C的方程,整理得,设直线与椭圆C的交点,则。
直线AM的方程为,即,
直线BN的方程为,即
由直线AM与直线BN的方程消去,得
所以直线AM与直线BN的交点在直线上。
………………………………………12分
综上所述,直线AM,BN的交点必在一条垂直于轴的定直线上,这条直线的方程是。
……………………………………………………………………………………13分
21解
(1)当时,函数,
则.
当时,,当时,1,
则函数的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,.……………………4分
(2)恒成立,即恒成立,整理得恒成立.
设,则,令,得.当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,因此当时,取得最大值1,因而.…………………………………………8分
(3),.
因为对任意的总存在,使得成立,
所以,即,
即
.………………………………………………………………………12分
设,其中,则,因而在区间(0,1)上单调递增,,又.
所以,即.………………………………………………14分
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