初中数学相似三角形的经典综合题.docx
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初中数学相似三角形的经典综合题
初中数学相似三角形的性质与应用经典试题
一、知识体系:
1.相似三角形的性质
1相似三角形的对应角相等;
2相似三角形的对应边成比例;
3相似三角形对应边上的高之比,对应边上的中线之比,对应角的角平分线之比都等于相似比;
4相似三角形的周长之比等于相似比。
5相似三角形的面积之比等于相似比的平方(k2)。
、典型例题:
针对练习:
针对练习:
4.如图,在四边形ABCD中,E是AD上的一点,EC∥AB,EB∥DC,若△ABE的面积为3,△ECD的面积为1,则△BCE
的面积为▲。
5.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O。
M为AD中点,连接CM交BD于点N,且ON=1。
1求BD的长;
2若△DCN的面积为2,求四边形ABNM的面积。
6.(2012湖北鄂州,10)在平面坐标系中,正方形ABCD的位置如图所示,点A的坐标为(1,0),点D的坐标为(0,2),
延长CB交x轴于点A1,作正方形
A1B1C1C,延长C1B1交x轴于点A2,作正方形A2B2C2C1,⋯按这样的规律进行下
①如果把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上。
问加工成的正方形零件的
边长是多少mm?
②如果把它加工成矩形零件,且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成,此时,这个矩形零件的两条边长又分别为
多少mm?
请你计算。
针对练习:
1.)如图,△ABC中,AB=AC=18,BC=12,正方形DEFG的顶点E,F在△ABC内,顶点D,
G分别在AB,AC上,AD=AG,DG=6,则点F到BC的距离为()
A.1B.2C.1226D.626
GFMN,⋯,KHIJ,则每个小正方形的边长为(
按图①进行加工,小华准备按图②进行裁料,他们谁的加工方案符合要求?
例4:
如图,为了测量大树的高度,小华在B处垂直竖立起一根长为2.5m的木杆,当他站在点F处时,他的眼睛E、
木杆的顶端A、树端C恰好在同一条直线上,量得BF=3m,BD=9m,小华的眼睛E与地面的距离EF为1.5m,求
大树的高度。
针对练习:
1.如图,已知:
某同学想测量旗杆的高度,他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米,在同时刻测量旗
杆影长时,因旗杆靠近一幢房子,影子不全落在地面上,有一部分落在墙上,他测得落在地面上的影长为9米,留在墙上的影长CD为2米,求旗杆的高度。
2.如示意图,小华家(点A处)和公路(l)之间竖立着一块30米长且平行于公路的巨型广告牌(DE),广告牌挡住
了小华的视线,请在图中画出视点A的盲区,并将盲区的那段公路记BC,一辆以60公里/小时匀速行驶的汽车经过公
35米,求小华家到公路的距离.
路BC段的时间为6秒,已知广告牌和公路的距离为
3.如图,王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD,当他走到点P时,发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部,
BD的底部.已知王华同学的身高是1.6m,
当他向前再步行12m到达Q点时,发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯两个路灯的高度都是9.6m。
①求两个路灯之间的距离;
②当王华同学走到路灯BD处时,他在路灯AC下的影子长是多少?
4.如图,为测量学校围墙外直立电线杆AB的高度,小亮在操场上点C处直立高3m的竹竿CD,然后退到点E处,此
时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重合;小亮又在点C1处直立高3m的竹竿C1D1,然后退到点E1处,此时恰好
看到竹竿顶端D1与电线杆顶端B重合。
小亮的眼睛离地面高度EF=1.5m,量得CE=2m,EC1=6m,C1E1=3m。
①△FDM∽△▲,△F1D1N∽△▲②求电线杆AB的高度。
相似三角形的判定
、知识体系:
1.相似三角形的概念:
三边对应成比例,三个角对应相等的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形对应边的比叫做相似比,一般用k表示。
2.相似三角形的判定:
1
平行法);
平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似(
2两角对应相等,两个三角形相似(“AA”);
3
两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似(“SAS”);
3.相似三角形的基本图形
、典型例题:
例1:
如图,在△ABC和△ADE中,已知∠B=∠D,∠BAD=∠CAE,求证:
△ABC∽△ADE。
针对练习:
1.已知:
如图,AB=AC,∠DAE=∠B。
求证:
△ABE∽△DCA。
2.已知:
如图,△PQR是等边三角形,∠APB=120°,求证:
△PAQ∽△BPR。
3.如图,在△ABC中,∠1=∠2=∠3,求证:
△ABC∽△DEF。
4.已知:
如图,在△ABC中,点D在边BC上,且∠BAC=∠DAG,∠CDG=∠BAD。
①求证:
ADAG;
ABAC
②当GC⊥BC时,求证:
∠BAC=90°。
例2:
(2014福建南平,21)如图,已知△ABC中,点D在AC上且∠ABD=∠C,求证:
针对练习:
1.如图,M为线段AB的中点,AE与BD交于点C,∠DME=∠A=∠B,且DM交AC于F,ME交BC于G。
写出图中三对
相似三角形,并证明其中的一对。
且∠AFE=∠B。
1求证:
△ADF∽△DEC;
2若AB=8,AD=63,AF=43,求AE的长。
针对练习:
1.(2014辽宁本溪,9)如图,已知△ABC和△ADE均为等边三角形,D在BC上,DE与AC相交于点F,AB=9,BD=3,
则CF等于()
A.1B.2C
2.如图①,P为△ABC内一点,连接PA、PB、PC,在△PAB、△PBC和△PAC中,如果存在一个三角形与△ABC相似,那么就称P为△ABC的自相似点。
(1)如图②,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC∠A,CD是AB上的中线,过点B作BE丄CD,垂足为E。
试说明
E是△ABC的自相似点;
(2)在△ABC中,∠A∠B∠C.
①如图③,利用尺规作出△ABC的自相似点P(写出作法并保留作图痕迹);
②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点,求该三角形三个内角的度数。
针对练习
(1)求证:
△APB≌△APD;
求证:
△ADB∽△EAC。
①求y与x的函数关系式
(2)已知DF:
FA=1:
2,设线段DP的长为x,线段PF的长为y
1.如图,D为△ABC内一点,E为△ABC外一点,且∠1=∠2,∠3=∠4。
求证:
△ABC∽△DBE。
②当x6时,求线段FG的长。
延长交边AD于点F,交CD的延长线于点G。
2.已知:
如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,且∠ABE=∠ACD,BE、CD交于点G。
①求证:
△AED∽△ABC;
②如果BE平分∠ABC,求证:
DE=CE。
3.如图,在Rt△ABC中,∠B=900,AB=BE=EF=FC。
找出图中相似的三角形,并说明理由。
4.(2014山东淄博,23)如图,四边形ABCD中,AC⊥BD交BD于点E,点F,M分别是AB,BC的中点,BN平分∠ABE
交AM于点N,AB=AC=BD。
连接MF,NF。
①判断△BMN的形状,并证明你的结论;
②判断△MFN与△BDC之间的关系,并说明理由。
k5.(2014江苏徐州,27)如图,将透明三角形纸片PAB的直角顶点P落在第四象限,顶点A、B分别落在反比例函数yk
x图象的两支上,且PB⊥x于点C,PA⊥y于点D,AB分别与x轴,y轴相交于点E、F。
已知B(1,3)。
①k▲;
②试说明AE=BF;
21
3当四边形ABCD的面积为时,求点P的坐标。
4
6.在△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于点D,∠AMC=∠ABC,求证:
①AC2AEAM;②MB⊥AM。
射影定理:
Rt△ABC中,∠ABC=90°,CD是斜边AB上的高,则有射影定理如下:
2
①CD2ADBD(由△ADC∽△CDB推导出);
2
②AC2ADAB(由△ACD∽△ABC推导出);
2
③BC2BDBA(由△BCD∽△BAC推导出)。
例6:
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
1.已知:
如图,△ABC中,∠ACB=90°,
1
求BC、AB的长;
2.如图,在△ABC中,CD⊥AB,DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为D、E、F。
1
求证:
△CEF∽△CBA;
2连接EF交CD于点O,线段OC、OD、OE、OF成比例吗?
为什么?
相似三角形中的动态几何问题
图形中的点、线的运动,构成了数学中的一个新问题——动态几何。
动态几何问题是近年来各地中考的热点和难点,
通常以压轴题形式出现在中考数学试卷中,分值占总分的10%左右。
它通常分为三种类型:
动点问题、动线问题、动形
,化“动
问题。
在解这类题时,要充分发挥空间想象的能力,往往不要被“动”所迷惑,而是要在“动”中求“静为“静”,把相关的线段用含有时间t(或其他字母)的代数式表示出来,抓住它运动中的某一瞬间,寻找确定的关系式,就能找到解决问题的途径。
例1:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=20cm,BC=15cm。
动点P以4cm/s的速度从A点出发,沿AC向点C移动;同时,动点Q以2cm/s的速度从C点出发,沿CB向点B移动。
当其中有一点到达终点时,它们都停止移动。
设移动的时间为t秒。
1当t3秒时,P,Q两点之间的距离是多少?
2求△CPQ的面积S(cm2)与时间t(s)的函数关系式,并直接写出t的取值范围;
3t为何值时,以点C、P、Q为顶点的三角形与与△ABC相似?
练习1.1:
如图,在平面直角坐标系内,已知点A(0,6)、点B(8,0),动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位
达终点时,另一个点也随之停止。
设点P、Q移动的时间为t秒。
1求直线AB的解析式;
2当t为何值时,以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似?
③求△APQ的面积S(用含t的代数式表示)。
练习1.2:
(2013江苏苏州,28)如图,点O为矩形ABCD的对称中心,AB=10cm,BC=12cm。
点E,F,G分别从A,B,C三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向匀速运动,点E的运动速度为1cm/s,点F的运动速度为3cm/s,点
G的运动速度为1.5cm/s。
当点F到达点C(即点F与点C重合)时,三个点随之停止运动。
在运动过程中,△EBF关
于直线EF的对称图形是△△EB'F,设点E,F,G运动的时间为t(单位:
s)。
1当ts时,四边形EBFB'为正方形;
2
若以点E,B,F为顶点的三角形与以点F,C,G为顶点的三角形相似,求t的值;
例2:
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,DC=5,BC=10,梯形的高为4。
动点M从B点出发沿线段BC以每秒2
个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动,当其中
t(秒)。
有一点到达终点时,它们都停止移动。
设运动的时间为
①求∠B的度数以及AB的长;
2
当MN∥AB时,求t的值;
③试探究:
t为何值时,△MNC为直角三角形?
个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动,当N点到达D点时,M点随之停止运动。
设运动的时间为t秒,
①求BC的长;
②试探究:
t为何值时,△MNC为等腰三角形?
练习2.2:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=50,AC=30,D,E,F分别是AC,AB,BC的中点。
点P从点D出发沿折线DE-EF-FC-CD以每秒7个单位长的速度匀速运动;点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动,过点Q作射线QK⊥AB,交折线BC-CA于点G。
点P,Q同时出发,当点P绕行一周回到点D时停止运动,点Q也随之停
止。
设点P,Q运动的时间是t秒(t0)。
①D,F两点间的距离是;
②射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分?
若能,求出t的值;若不能,说明理由;
3当点P运动到折线EF-FC上,且点P又恰好落在射线QK上时,求t的值;
4
连接PG,当PG∥AB时,请直接写出t的值。
例3:
如图所示,在ΔABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿CA以每秒3cm的速度向A点运动,当其中有一点到达终点时,另一点也停止移动。
设运动时间为x。
①当x为何值时,PQ∥BC?
②当SBCQ1,求SBPQ的值;
SABC3SABC
3ΔAPQ能否与ΔCQB相似?
若能,求出AP的长;若不能,请说明理由。
练习3:
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=6cm,CD=4cm,BC=BD=10cm,点P由B出发沿BD方向匀速运动,速度为1AD=6cm/s;同时,线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动,速度为1cm/s,交BD于Q,连接PE。
当其中
t(s)(0t5)。
有一点到达终点时,另一点也停止移动。
若设运动时间为
①当t为何值时,PE∥AB?
②设△PEQ的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;2
③是否存在某一时刻t,使S△PEQS△BCD?
25
例4:
如图,已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC匀速运动,其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q到达点C时,P、Q两点都停止运动,设运动时间为t(s),解答下列问题:
①当t=2时,判断△BPQ的形状,并说明理由;
②设△BPQ的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式;
3作QR∥BA交AC于点R,连结PR,当t为何值时,△APR∽△PRQ?
练习4:
在△ABC中,∠BAC=90°,ABAC,M是BC边的中点,MN⊥BC交AC于点N,动点P在线段BA上以每秒3cm
的速度由点B向点A运动。
同时,动点Q在线段AC上由点N向点C运动,且始终保持MQ⊥MP。
一个点到终点时,两个点同时停止运动。
设运动时间为t秒(t0)。
①△PBM与△QNM相似吗?
请说明理由;
②若∠ABC=60°,AB=43cm。
(1)求动点Q的运动速度;
(2)设△APQ的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式(不必写出t的取值范围);
222
③探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系,请说明理由。
例5:
如图,在直角梯形COAB中,OC∥AB,以O为原点建立平面直角坐标系,A、B、C三点的坐标分别为A(8,0)、A(8,10)、
C(0,4),点D为线段BC的中点,动点P从点O出发,以每秒1个单位的速度,沿折线OABD的路线移动,移动的时间
为t秒。
①求直线BC的解析式;
2
②若动点P在线段OA上移动,当t为何值时,四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的?
7
3动点P从点O出发,沿折线OABD的路线移动过程中,设△OPD的面积为S,请直接写出S与t的函数关系式,并指
出自变量t的取值范围;
4当动点P在线段AB上移动时,能否在线段OA上找到一点Q,使四边形CQPD为矩形?
请求出此时动点P的坐标;若
不能,请说明理由。
练习5:
在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5。
点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回;点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动。
伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB—BC—CP于点E。
点P、Q同时出发,当点Q到达点B时停止运动,点P也随之停止。
设点P、Q运动的时间是t秒(t0)。
①当t=2时,AP=,点Q到AC的距离是;
②在点P从C向A运动的过程中,求△APQ的面积S与t的函数关系式(不必写出t的取值范围);
3在点E从B向C运动的过程中,四边形QBED能否成为直角梯形?
若能,求t的值;若不能,请说明理由;
4当DE经过点C时,请直.接.写出t的值。
相似三角形单元复习
知识点一:
比例的性质与成比例线段
例1:
不为0的四个实数a,b,c,d满足abcd,改写成比例式错误的是(▲)
ad
A.B.
cb
ca
bd
C
.d
a
bc
acD.
bd
针对练习:
1.4和1的比例中项是
▲
。
2.已知线段b是线段
a,
c的比例中项,
且a
9,
c4,则b▲
x2
例2:
如果x2,则
x
y
▲
。
y3
x
y
针对练习:
1.
如果
xy
7
,那么
y
的值是(▲)
y
4
x
3
2
4
.3
A.
B
.
C
.D
4
3
3
2
2.
若
a
b
c
k,则k的值是(
▲)
b
c
ca
a
b
A.
1
B
-1
C
.1或-1
D.
3
2
2
2
知识点二:
相似三角形的判定:
例3:
如图,D是△ABC的BC边上一点,E为AD上一点,若∠DAC=∠B,CD=CE,试说明△ACE∽△BAD。
针对练习:
1.如图,△BAC、△AGF为等腰直角三角形,且△BAC≌△AGF,∠BAC=∠AGF=90°。
若△BAC固定不动,△AFG绕点
A旋转,AF、AG与边BC的交点分别为D、E。
请在图中找出两对相似而不全等的三角形,并选取其中一对进行证明。
知识点三:
相似三角形的性质
N为AB的中点,连接DN并延长交CB的延长线于点P,连接AC交DN于点M。
若PN=3,
3.如图,已知△ABC中,CD平分∠ACB,DE∥BC,若AC=10,BC=15,则AE=▲,DE=▲。
例5:
(2014浙江宁波,8)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠ACD=90°,AB=2,DC=3,则△ABC与△DCA的面
针对练习:
2.如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,且DE∥BC,若SADE:
SBDE1:
2,则SADE:
SBEC(▲)
A.1:
4B.1:
6C.1:
8D.1:
93.如图所示,△ABC是边长为6cm的等边三角形,被一平行于面积为▲cm2。
BC的矩形所截,AB被截成三等分,则图中阴影部分的
知识点四:
位似三角形
例7:
如图,位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成,相似比为
2:
5,且三角尺的一边长为8cm,则投影
三角形的对应边长为▲cm。
针对练习:
1.已知,如图,直角坐标系中,点E(4,2),F(
1,1),以O为位似中心,按比例尺2:
1把△EFO缩小,则点E的对
应点E′的坐标为(▲)
A.(2,1)或(2,1)B.(8,4)或(8,4)
C.(2,1)
(8,4)
的位似图形△A
x轴的上方,
点C的坐标是(
1,0)。
以点
C为位似中心,在x轴的下方作△ABC
▲)
A.1a
2
B′C,并把△ABC的边长放大到原来的2倍。
设点
1
21(a1)C
1
21(a1)D
B的对应点
1
12(a3)
B′的横坐标是a,则点B的横坐标是
知识点五:
以直角三角形为背景的相似问题(“K”字型相似等问题)
例8:
如图,正方形ABCD中,
E为AB的中点,
AF⊥DE于点O,则AO等于(▲)
DO
A.1B
2
25
3
针对练习:
1.如图,一个边长为3、4、5的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合,
另两个顶点分别在正方形的两条边
AD、
DC上,那么这个正方形的面积是
cm2。
2.如图:
▲
边长为12的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为
S1、S2,则S1S2的值为(
▲)
A.60
.64C.68
D.72
3.如图,
Rt△ABC中∠C=90°,
放置边长分别为3、4、x的三个正方形,则
x的值为(▲)
.12
A.5
B
BC=4,
.6C.7
A.y12xB
12
.yC
x
C停止.记PA=x,点D到直线
▲
)
y
动点
x
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