四年级奥数鸡兔同笼.docx
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四年级奥数鸡兔同笼
学科:
奥数
教学内容:
第14讲鸡兔同笼问题
知识网络
鸡兔同笼问题是我国古代数学著作《孙子算经》中的一个流传甚广的数学趣题:
今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各有几何?
翻译成现代汉语语言为:
今有鸡兔共居一笼,已知鸡头与兔头共35个,鸡脚与兔脚共94只。
问鸡、兔各有几只?
这一古老的数学问题在现实生活中普遍存在,解法也多种多样,但一般采用的是假设法。
在解答应用题时,有时要采用“假设”的思想来分析,以找到解题途径。
用假设思想解应用题,首先要根据题意去正确地判断应该怎样假设,并根据所做的假设,注意数量关系发生的变化,从所给的条件与变化了的数量关系的比较中做出适当的调整,来找到正确答案。
重点·难点
运用假设法是求解这类可以转化为鸡兔同笼问题的应用题的关键。
学法指导
用假设法解应用题的步骤:
一是要根据题意正确地判断怎样“假设”,二是依据假设,按照题目所给的数量关系进行推算,所得结果与题中对应的数量不符时,要能够正确地运用别的已知量加以调整,三是进而得出正确的答案。
经典例题
[例1]一个农夫有若干只鸡和兔,它们共有50个头和140只脚,问鸡、兔各有多少?
思路剖析
鸡兔同笼问题适用的基本方法是假设法。
假设这笼里全是鸡,那么鸡脚的总数应为:
50×2=100(只),与实际相比较,脚减少的数为140-100=40(只)。
脚减少的原因是每把一只兔当作一只鸡时,要少4-2=2(只)脚。
所以实际的兔数是40÷(4-2)=20(只),若先假设的全是鸡,则先求出的是兔数。
解答
☆解法一:
设全是鸡,那么相应的鸡脚数:
50×2=100(只)与实际相比,脚减少的数:
140-100=40(只)
兔脚与鸡脚的差4-2=2(只)
实际兔数为40÷2=20(只)
那么实际的鸡数:
50-20=30(只)
答:
有鸡30只,有兔20只。
☆解法二:
利用方程求解:
设农夫有鸡x只,那么有免(50-x)只。
那么鸡有脚2×x只,兔有脚4×(50-x)只。
列方程为2×x+4×(5-x)=140
解方程2×x+200-4×x=140
2×x=60x=30
50-x=50-30=20
则鸡有30只,兔有20只。
☆解法三:
(不拘于传统的解法,让我们的思维发散,更具有创造性。
)
农夫想知道鸡、兔分别有多少只,他做了一个有趣的设想,就是假设每只兔子又长出一个头来,把它劈开,变成“一头两脚”的两只“半兔”,半免和鸡都有两只脚,因而共有140÷2=70(只)头,从而多出了70-50=20(只)头,这就是兔子的数目,鸡的只数就是50-20=30(只)。
☆解法四:
兔有4只脚,而鸡有2只脚,不过鸡有2只翅膀,如果把翅膀也当作脚,则鸡、兔都有4只脚,于是脚有50×4=200(只),但题中翅膀不算脚,因而有翅膀200-140=60(只),每只鸡有两只翅膀,则鸡数为60÷2=30(只),兔有50-30=20(只)。
☆解法五:
农夫惊讶地看到鸡、兔们非凡的表演:
每只鸡都用一只脚站立着,每只兔都用两只后腿站立起来。
这种情况下,地上的总腿数是原来的一半,即70只腿,鸡的脚数与头数相同,而兔的脚数是头数的两倍,因此从70里减去总的头数,剩下来的就是兔的头数:
70-50=20(只),即有20只兔,那么有鸡30只。
☆解法六:
我们还可以想像鸡、兔们经过专门训练后具有一些“特殊技能”,当它们听到哨音后,鸡飞起来,兔立即双脚站立起来。
这时立在地上的应该都是兔,它的脚数:
140-50×2=40(只)。
因此有免:
40÷2=20(只),鸡有:
50-20=30(只)。
[例2]现有2分和5分的硬币共40枚,共值125分,问两种硬币各多少放?
思路剖析
利用假设法,假设40枚硬币全是2分的,则面值为80分,与实际相比减少了125-80=45(分),是由于把每个5分硬币少算了5-2=3(分)造成的,则可知有5分硬币45÷3=15(枚)。
解答
设全为2分的,则共值2×40=80(分)
与实际相比少125-80=45(分)
由于假设造成的差值5-2=3(分)
则有5分硬币45÷3=15(枚),
2分硬币40-15=25(枚)。
答:
有5分硬币15枚,2分硬币25枚。
点津
由假设造成的与实际的差值45分,是与把5分硬币当作2分硬币产生的差值相关的,而不是仅与5分硬币有关。
[例3]某次的小学数学奥林匹克竞赛,共有20道题,评分标准是:
每做对一题得5分,每做错或不做一题扣3分。
小贝贝参加了这次竞赛,得了68分,问:
小贝贝做对了几道题?
思路剖析
假设小贝贝20道题全做对了,他应该得20×5=100(分),比实际上多了100-68=32(分),产生这一差异的原因是把做错或没做的题也算作做对的了,需要注意的是,做错或不做一题比做对一题应少得5+3=8(分),因此小贝贝做错或不做的题数:
32÷8=4(道)。
解答
20-(5×20-68)÷(5+3)
=20-32÷8=20-4
=16(道)
答:
小贝贝做对了16道题。
点津
由于做错和不做的题不但不得分,还要扣掉分数,那么与做对一道题相比,就不是简单相减的关系,而应该求和得出。
类似于零上5℃与零下3℃相差是8℃,而不是2℃。
[例4]农场工人上山植树造林,绿化祖国,晴天时每人每天植树20棵,雨天时每人每天植树12棵,工人张宁接连几天共植树112棵,平均每天植树14棵。
问:
张宁植树这些天共有几个雨天?
思路剖析
题目中虽然没有问张宁工作了几天,但总共做了多少天是一个关键量,须先求出来。
天数=总量÷平均数=112÷14=8(天)。
要求有多少个雨天,可假设每天都是晴天,那么应植20×8=160(棵),与实际相比,多植160-112=48(棵),是把雨天植树量当作20棵造成的,20-12=8(棵)是实际植树量与假设的差值。
因此有雨天:
48÷8=6(天)。
解答
[20×(112÷14)-112]÷(20-12)
=(160-112)÷8=48÷8
=6(天)
答:
张宁植树这些天总共有6个雨天。
[例5]“和尚分馒头”题,记载于我国明代《算法统宗》。
现代文译文:
大和尚与小和尚共100名,分配100个馒头,大和尚每位给3个,小和尚3个人给1个,问大、小和尚各有多少人?
思路剖析
假设都是小和尚。
因为小和尚3个人给1个馒头,分配100个馒头,应该有小和尚3×l00=300(人),比实际多了300-100=200(人)。
是由于把大和尚看做小和尚造成的,由于大和尚每位给3个馒头,相当于给9位小和尚的量。
由于假设出现的差值即为9-l=8(人),那么大和尚的人数220÷8=25(人)。
解答
(3×100-100)÷(3×3-1)
=(300-100)÷8=200÷8
=25(人)
100-25=75(人)
答:
大和尚有25人,小和尚有75人。
点津
本题中给出的条件“大和尚每位给3个,小和尚3个人给1个”,无法直接求出大、小和尚在人数或在馒头数上的差值,需通过条件中给出的比例关系求得。
[例6]四年级某班有学生68人,为了更好地学习,同学们自愿结成了14个学习小组。
这些小组有的3人,有的5人,有的7人。
而且3人组与5人组的组数相同。
问三种学习小组各有几组?
思路剖析
前面的例题中,总体中的数量总是“非此即彼”只有两种,而本题中出现了3种,似乎有些复杂。
但题目中有个很重要的条件“而且3人组与5人组的组数相同”,是否可以利用这个条件将此题也转化成我们熟悉的鸡兔同笼题呢?
我们将“3人组与5人组组数相同”这个条件,转化为将他们组成4人组,那么组数应为这两组的组数和,因为4是3和5的平均数。
那么分组情况可以看做是两类:
4人组和7人组。
假设都是4人组,那么应有人数:
4×14=56(人),与实际人数的差值:
68-56=12(人),由于假设出现的差值:
7-4=3(人),则7人组的组数:
12÷3=4(组)。
解答
(68-4×14)÷(7-4)
=(68-56)÷3=12÷3
=4(组)
那么3人组与5人组的组数(14-4)÷2=5(组)
答:
学习小组中3人组和5人组各有5组,7人组有4组。
[例7]有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只,共有腿118条,翅膀20对(蜘蛛8条腿,蜻蜓6条腿、两对翅膀,蝉6条腿、一对翅膀),问蜻蜒有多少只?
思路剖析
依照例6的思路,我们应当将三种昆虫分成两类,从而将题目转化成与鸡兔同笼结构相同的题。
分析题中的已知条件,找到可以归成一类的突破口。
三种昆虫有两种有翅膀,一种没翅膀,显然不能按此划分。
三种昆虫都有腿,而且其中两种腿数相同,与例6思路相同,将三种昆虫按腿数分成两类:
8腿虫和6腿虫。
假设18只昆虫都是8腿虫,则有腿8×18=144(条),与实际腿数的差值144-118=26(条),由于假设造成的差值8-6=2(条),那么有6腿虫:
26÷2=13(只),知道了6腿虫的总数,就可以按翅膀对数再将它们分成两类:
2对翅膀和1对翅膀。
则又转化成一道鸡兔同笼结构的题目。
假设13只昆虫都有2对翅膀,则有2×13=26(对),与实际翅膀数的差值26-20=6(对),由于假设造成的差值2-1=1(对),那么蝉(一对翅膀)有:
6÷1=6(只)。
解答
(8×18-118)÷(8-6)
=(144-118)÷2=26÷2
=13(只)……6腿虫数
(2×13-20)÷(2-1)
=(26-20)÷1
=6(只)……1对翅膀虫数
13-6=7(只)……2对翅膀虫数
答:
蜻蜓有7只。
点津
恰当地把多组事物根据其特点划分成两类,转化成鸡兔同笼结构的题目是解题的关键。
当组数大于2时,有时需要在同一题中解决多于1次的鸡兔同笼结构的题目,才能求得最终结果。
发散思维训练
1.动物园里有一群鸵鸟和大象,它们共有36只眼睛和52只脚,问鸵鸟和大象各有多少?
2.养殖场共养鸡、兔180只,已知鸡脚总数比兔脚总数多180只。
问养的鸡、兔各多少只?
3.学校有象棋、跳棋共20副,2人下一副象棋,6人下一副跳棋,恰好可供60个学生进行活动。
问象棋与跳棋各有多少副?
4.鸡、兔共有脚140只,若将鸡换成兔,兔换成鸡,则共有脚160只。
问原有鸡、兔各几只?
5.老师教同学们练跳绳,若一次能连续跳8个,老师奖给同学4块巧克力;若跳不够8个,则退给老师2块。
王芳同学一共练了10次,得到28块巧克力。
问王芳有几次没跳够8个?
6.有6个谜语,让50人猜,共猜对了202个。
已知每人至少猜对2个,且猜对2个的有5人,猜对4个的有9人,猜对3个和5个的人数一样多,那么,6个全猜对的有多少人?
7.现有大、小水桶共50个,每个大桶可装水6千克,每个小桶可装水3千克,大桶比小桶总共多装水30千克。
问大、小桶各多少个?
8.小张是车工,平均每天车某种零件50个,每车好一个正品,可为企业创造财富14元,但车坏一个要损失96元。
某天,他为企业创造了480元的财宝,这一天他车出的正品是多少个?
9.模拟考试已举行了24次,共出了试题426道,每次出的试题数不同,或者25题,或者16题,或者20题,那么,其中有25道试题的有多少次?
10.传说九头鸟有九头一尾,九尾鸟有九尾一头。
今有头510个,尾590个,问:
两种鸟各有多少个?
参考答案
发散思维训练
1.解:
由于每只动物有两只眼睛,由题意可知动物园里鸵鸟和大象的总数为:
36÷2=18(只),假设鸵鸟和大象一样也有4只脚,那么脚总数为:
18×4=72(只),与实际的差值为:
72-52=20(只),由假设引起的差值:
4-2=2(只),则鸵鸟数:
20÷2=10(只),大象数:
18-10=8(头)。
答:
鸵鸟有10只,大象有8头。
2.解:
假设180只全是鸡,则兔脚数为0,则鸡脚数比兔脚数多:
2×180=360(只),与实际相比:
360-180=180(只),由假设造成的差值:
2+4=6(只)。
那么实际的兔数是:
180÷6=30(只)
鸡数为:
180-30=150(只)
答:
养的鸡为150只,兔为30只。
3.解:
假设象棋也可供6个人下,则可供6×20=120(人)学生进行活动。
与实际相比,120-60=60(人),由假设造成的差值:
6-2=4(人)。
那么实际的象棋数为60÷4=15(副)
跳棋数为20-15=5(副)
答:
象棋有15副,跳棋有5副。
4.解:
由于鸡换成兔,兔换成鸡,脚的只数增加了20只。
故原来的兔比鸡少20÷2=10(只),减去这10只鸡,则鸡、兔一样多,并且共有脚:
140-2×10=120(只)。
假设鸡、兔各有3只脚(鸡、兔脚数的平均数),那么鸡、兔共有120÷3=40(只),鸡、兔各有40÷2=20(只),实际的鸡数为:
20+10=30(只)。
答:
原有鸡30只、兔20只。
5.解:
假设王芳10次都跳够8个,则应得巧克力4×10=40(块)。
与实际相比,40-28=12(块)。
由于跳不够,不但没得到巧克力,还要返还2块。
那么由假设造成的差值为4+2=6(块)。
王芳没有跳够的次数:
12÷6=2(次)。
答:
没跳够8个的次数为2次。
6.解:
猜谜情况总共有5种,其中已知猜对2个的有5人、猜对4个的有9人,则猜对3、5、6个的人数:
50-5-9=36(人),共猜对的题数:
202-2×5-4×9=156(个)。
由于猜对3个和5个的人数一样多,可以把他们看作为猜对4个的人。
假设36个人都猜对了6个,那么共猜对的题数为6×36=216(个),与实际相比,216-156=60(个),由假设造成的差值6-4=2(个),则猜对4个的人数:
60÷2=30(人),那么猜对6个的人数:
36-30=6(人)。
答:
有6人全猜对。
7.解:
假设50个桶都是大桶,则共装水6×50=300(千克),而此时小桶装水为0,与实际相比,相差300-30=270(千克)。
若将大桶换成小桶,则每换一个,大桶装的水就减少6千克,小桶装的水增加3千克,大桶比小桶多装的重量就减少:
6+3=9(千克),那么小桶的个数:
270÷9=30(个)大桶的个数:
50-30=20(个)
答:
大桶有20个,小桶有30个。
8.解:
假设小张这天车出的零件全部是正品,那么应创造的财富为:
14×50=700(元),可实际只有480元,其差额是700-480=220(元)。
根据题意:
如果车坏一个零件要减少14+96=110(元),那么车坏零件的个数:
220÷l10=2(个),零件正品个数:
50-2=48(个)。
答:
他车出的正品是48个。
9.解:
假设24次考试,每次都是16题,则并考了试题16×24=384(题),与实际考题数相比,426-384=42(题)。
而考25题的每次多考25-16=9(题),考20题的每次多考20-16=4(题),这样有9×A+4×B=42,其中A表示考25题的次数,B表示考20题的次数。
根据奇偶性分析,A只能是2。
答:
考25题的次数是2次。
10.解:
尾数590个大于头数510个,说明九尾鸟多于九头鸟。
590-510=80(个),两种鸟的尾数差为9-l=8(个),那么九尾鸟比九头鸟多80÷8=10(只)。
除去这10只,剩下九头鸟与九尾鸟的数量相等,为(510-10)÷(9+l)=50(只),九尾鸟有50+10=60(只)。
答:
九尾鸟有60只,九头鸟有50只。
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