完整全等三角形经典题型50题含答案推荐文档doc.docx
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全等三角形证明经典50题(含答案)
1.已知:
AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求ADA
BC
D
延长AD到E,使DE=AD,
则三角形ADC全等于三角形EBD
即BE=AC=2在三角形ABE中,AB-BE 10-2<2AD<10+24 又AD是整数,则AD=5 1 2.已知: D是AB中点,∠ACB=90°,求证: CDAB 2 A D CB 3.已知: BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证: ∠1=∠2 A 12 BE CFD 证明: 连接BF和EF。 因为BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。 所以三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。 所以BF=EF,∠CBF=∠DEF。 连接BE。 在三角形BEF中,BF=EF。 所以∠EBF=∠BEF。 又因为∠ABC=∠AED。 所以∠ABE=∠AEB。 所以AB=AE。 在三角形ABF和三角形AEF中, AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。 所以三角形ABF和三角形AEF全等。 所以∠BAF=∠EAF(∠1=∠2)。 A 4.已知: ∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证: EF=AC 12 证明: 过E点,作EG//AC,交AD延长线于G则∠DEG=∠DCA, F ∠DGE=∠2又∵CD=DE∴⊿ADC≌⊿GDE(AAS) ∴EG=AC∵EF//AB∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE C ∴EF=EG∴EF=AC D E B 5.已知: AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证: ∠B=2∠C A C BD 证明: 在AC上截取AE=AB,连接ED∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠BAD又∵AE=AB,AD=AD∴⊿AED≌⊿ABD(SAS) ∴∠AED=∠B, DE=DB∵AC=AB+BD AC=AE+CE∴CE=DE∴∠C=∠ED C∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C∴∠ B=2∠C 6.已知: AC平分∠BAD,CE⊥ AB,∠B+∠D=180°,求证: AE=AD+BE 证明: 在AE上取F,使EF=EB, 连接CF因为CE⊥AB所以∠CEB =∠CEF=90°因为EB=EF,CE=CE,所以△CEB≌△CEF所以∠B=∠CFE因为∠B +∠D=180°,∠CFE+∠CFA=180°所以∠D=∠CFA因为AC平分∠BAD所以∠DAC =∠FAC又因为AC=AC所以△ADC≌△AFC(SAS)所以AD=AF所以AE=AF+FE =AD+BE 12.如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD 上。 求证: BC=AB+DC。 证明: 在BC上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌FBE(SAS),∠EFB=∠A;AB平行于CD, 则: ∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D; 又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌DCE(AAS),FC=CD. 所以,BC=BF+FC=AB+CD. 13.已知: AB//ED,∠EAB=∠BDE,AF=CD,EF=BC,求证: ∠F=∠C E AB//ED,AE//BD 推出AE=BD, D 又有AF=CD,EF=BC 所以三角形AEF 全等于三角形 DCB, F C 所以: ∠C=∠F AB 14.已知: AB=CD,∠A=∠D,求证: ∠B=∠C 证明: 设线段AB,CD所在的直线交于E,(当AD AD点是射线BA,CD的交点,当AD>BC时,E点是射线AB,DC 的交点)。 则: △AED是等腰三角形。 所以: AE=DE而AB=CD所以: BE=CE(等量加等量,或等量减等量)所以: △BEC是等腰三 BC角形所以: 角B=角C. 15. P是∠BAC平分线AD上一点,AC>AB,求证: PC-PB 作B关于AD的对称点B‘,因为AD是角BAC的平分线, C B'在线段AC上(在AC中间,因为 AB较短)因为 PC 所以 A PC-PB P D B 16.已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求证: AC-AB=2BE ∠BAC=180-(∠ABC+∠C=180-4∠C ∠1=∠BAC/2=90-2∠C ∠ABE=90-∠1=2∠C 延长BE交AC于F 因为,∠1=∠2,BE⊥AE 所以,△ABF是等腰三角形 AB=AF,BF=2BE∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠CBF=CFAC-AB=AC-AF=CF=BF=2B E 17.已知,E是AB F 中点,AF=BD D C ,BD=5,AC=7,求DC 作AG∥BD交DE延长线于G AGE全等BDE AG=BD=5AGF∽CDF AF=AG=5 A E 所以DC=CF=2 B 18.(5分)如图,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证: AD⊥BC. 延长AD至H交BC于H;BD=DC; 所以: ∠DBC=∠角DCB;∠1=∠2; ∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2;∠ABC=∠ACB; 所以: AB=AC; 三角形ABD全等于三角形ACD; ∠BAD=∠CAD;AD是等腰三角形的顶角平分线所以: AD垂直BC 19.(5分)如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N. 求证: ∠OAB=∠OBA 因为AOM与MOB都为直角三角形、共用OM,且∠MOA=∠MOB 所以MA=MB所以∠MAB=∠MBA 因为∠OAM=∠OBM=90度 所以∠OAB=90-∠MAB∠OBA=90-∠MBA所以∠OAB=∠OBA 20.(5分)如图,已知AD∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线 交AP于D.求证: AD+BC=AB. P 证明: 做BE的延长线,与AP相交于F点, C ∵PA//BC∴∠PAB+∠CBA=180°, E 又∵,AE,BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线 D ∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°,EAB为直角三角形在三角形ABF 中,AE⊥BF,且AE为∠FAB的角平分线 AB ∴三角形FAB为等腰三角形,AB=AF,BE=EF在三角形DEF与三角形 BEC中,∠EBC=∠DFE,且BE=EF,∠DEF=∠CEB,∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形,∴DF=BC∴AB=AF=AD+DF=AD+BC 21.(6分)如图,△ABC中,AD是∠CAB的平分线,且 AB=AC+CD,求证: ∠C=2∠B 证明: 在AB上找点E,使AE=AC∵AE=AC,∠EAD=∠CAD, A AD=AD∴△ADE≌△ADC 。 DE=CD , ∠AED=∠C∵AB=AC+CD , ∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE ∠B=∠EDB∠C=∠B+∠ED C B=2∠B B D 22.(6分)如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E,BF⊥AC于F, 若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M. (1)求证: MB=MD,ME=MF (2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立? 若成立请给予证明;若不成立请说明理由. 分析: 通过证明两个直角三角形全等,即Rt△DEC≌Rt△BFA以及垂线的性质得出四边形 BEDF是平行四边形.再根据平行四边形的性质得出结论. 解答: 解: (1)连接BE,DF.∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,,∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF,在Rt△DEC和Rt△BFA中,∵AF=CE,AB=CD,∴Rt△DEC≌Rt△BFA, ∴DE=BF.∴四边形BEDF是平行四边形.∴MB=MD,ME=MF; (2)连接BE,DF.∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,,∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF,在Rt△DEC和Rt△BFA中,∵AF=CE,AB=CD,∴Rt△DEC≌Rt△BFA,∴DE=BF.∴四边形BEDF是平行四边形.∴MB=MD,ME=MF. 23.(7分)已知: 如图, DC∥AB,且DC=AE,E为AB的中点, (1)求证: △AED≌△EBC. (2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△ EBC外,请再写出两个与△ AED的面积 相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明) : A (1)DC∥AE,且DC=AE,所以四边形AECD是平行四边形。 于是 知AD=EC,且∠EAD=∠BEC。 由AE=BE,所以△AED≌△EBC。 (2)△AEC、△ACD、△ECD都面积相等。 EOD BC 24.(7分)如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F. 求证: BD=2CE. F 证明: 延长BA、CE,两线相交于点F∵BE⊥CE∴∠BEF=∠BEC=90° A 在△BEF和△BEC中 ∠FBE=∠CBE,BE=BE,∠BEF=∠BEC ∴△BEF≌△BEC(ASA) ∴EF=EC ∴CF=2CE E ∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90° 又∵∠ADB=∠CDE D ∴∠ABD=∠ACF在△ABD和△ACF中∠ABD=∠ACF,AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°∴△ABD≌△ACF(ASA) ∴BD=CF∴BD=2CE B C 25、(10分)如图: DF=CE,AD=BC,∠D=∠C。 求证: △AED≌△BFC。 DEFC AB 26、(10分)如图: AE、BC交于点M,F点在AM上,BE∥ A CF,BE=CF。 求证: AM是△ABC的中线。 F 证明: ∵BE‖CF∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM∵BE=CF B C ∴△BEM≌△CFM M ∴BM=CM∴AM是△ABC的中线. E 27、(10分)如图: 在△ABC中,BA=BC,D是AC的中点。 求证: BD⊥AC。 三角形ABD和三角形BCD的三条边都相等,它们全等,所以角 ADB和角CDB相等,它 A 们的和是180度,所以都是90度,BD垂直AC D B C 28、(10分)AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点。 求证: BF=CF 证明: 在△ABD与△ACD中AB=ACBD=DCAD=AD ∴△ABD≌△ACD∴∠ADB=∠ADC∴∠BDF=∠FDC在 △BDF与△FDC中 BD=DC∠BDF=∠FDCDF=DF∴△FBD≌△FCD∴BF=F C A D BC 29、(12分)如图: AB=CD,AE=DF,CE=FB。 求证: AF=DE。 F A B 因为AB=DCAE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FB所以三角形 ABE=三角形CDF因为角DCB=角ABFAB=DCBF=CE三 F 角形ABF=三角形CDE所以AF=DE E C D 30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD,如图所示,其中AB ∥CD,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳 E,F,M,且BE=CF,M在BC的中点, 试说明三只石凳E,F,M恰好在一条直线上. 证: ∵AB平行CD(已知)∴∠B=∠C(两直线平行,内错角相等) ∵M在BC的中点(已知)∴EM=FM(中点定义)在△BME和△CMF 中BE=CF(已知)∠B=∠C(已证)EM=FM(已证)∴△BME全等与△CMF(SAS) ∴∠EMB=∠FMC(全等三角形的对应角相等) ∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°(等式的性质) ∴E,M,F在同一直线上 31.已知: 点A、F、E、C在同一条直线上,AF=CE,BE∥DF, BE=DF.求证: △ABE≌△CDF. 证明: ∵AF=CE∴AF+EF=CE+EF∴AE=CF∵BE//DF∴∠BEA=∠DFC 又∵BE=DF ∴⊿ABE≌⊿CDF(SAS) 32.已知: 如图所示,AB=AD,BC=DC,E、F分别是DC、BC的中点,求证: 连结BD,得到等腰三角形ABD和等腰三角形 D BDC,由等 腰△两底角相等得: 角ABC=角ADC在结合已知条件证得: △ADE≌△ABF A 得AE=AF B AE=AF。 E C F 33.如图,在四边形ABCD中,E是AC上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证: ∠5=∠6. 因为角1=角2∠3=∠4所以角ADC=角ABC.又因为AC D 是公共边,所以AAS==>三角形ADC全等于三角形ABC. 所以BC等于DC,角3等于角4,EC=EC三角形DEC全等 于三角形BEC所以∠5=∠6 34.已知AB∥DE,BC∥EF,D,C在AF上,且AD=CF,求证: A 1 5 3 C 2 E6 4 B △ABC≌△DEF. 因为D,C在AF上且AD=CF所以AC=DF又因为AB平行DE,BC平行EF所以角A+角EDF,角BCA=角F (两直线平行,内错角相等)然后SSA(角角边)三角形 全等 35.已知: 如图,AB=AC,BDAC,CEAB,垂足分别为D、E,BD、CE相交于点F,求证: BE=CD. 证明: 因为AB=AC, 所以∠EBC=∠DCB 因 C D 为BD⊥AC,CE⊥AB 所以∠BEC=∠CDB F BE A BC=CB(公共边)则有三角形EBC全等于三角形DCB所以BE=CD 36、如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F。 求证: DE=DF.A AAS证△ADE≌△ADF E F B D C 37.已知: 如图,AC BC于C,DE AC于E,AD AB于A,BC=AE.若AB=5,求AD 的 长? A 角C=角E=90度 角B=角EAD=90度-角BAC D E BC=AE B C △ABC≌△DAEAD=AB=5 A 38.如图: AB=AC,ME⊥AB,MF⊥AC,垂足分别为E、F,ME=MF。 求证: MB=MC 证明∵AB=AC ∴△ABC是等腰三角形∴∠B=∠C 又∵ME=MF,△BEM和△CEM是直角三角形 ∴△BEM全等于△CEM∴MB=MC EF BMC 39.如图,给出五个等量关系: ①ADBC②ACBD③CEDE④DC ⑤DABCBA.请你以其中两个为条件,另三个中的一个为结论,推出一个正确的结论(只需写出一种情况),并加以证明. 已知: DC 求证: E 证明: AB 已知1,2求证4因为AD=BCAC=BD,在四边形ADBC中,连AB所以△ADB全等于△BCA 所以角D=角C 以4,5为条件,1为结论。 即: 在四边形ABCD中,∠D=∠C,∠A=∠B,求证: AD=BC 因为∠A+∠B+∠C+∠D=360∠D=∠C,∠A=∠B,所以2(∠A+∠D)=360°, ∠A+∠D=180°,所以AB//DC 40.在△ABC中,ACB90,ACBC,直线MN经过点C,且ADMN于D, BEMN于E. (1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证: ①ADC≌CEB; ②DEADBE; (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时, (1)中的结论还成立吗? 若成立,请给出证明;若不成立,说明理由. (1)证明: ∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°,而AD⊥MN于D,BE⊥MN于E,∴∠ADC=∠CEB=90°,∠BCE+∠CBE=90°,∴∠ACD=∠CBE.在Rt△ADC和Rt△CEB 中,{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC=CB,∴Rt△ADC≌Rt△CEB(AAS),∴AD=CE,DC=BE,∴DE=DC+CE=BE+AD; (2)不成立,证明: 在△ADC和△CEB中,{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBEAC=CB,∴△ADC≌△CEB(AAS),∴AD=CE,DC=BE,∴DE=CE-CD=AD-BE; 41.如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC。 求证: (1)EC=BF; (2)EC⊥BFF (1)证明;因为AE垂直AB所以角EAB=角EAC+角 CAB=90度因为 AF垂直AC所以角CAF=角CAB+角 E A BAF=90度所以角EAC=角BAF因为AE=ABAF=AC所以 三角形EAC和三角形FAB全等所以EC=BF角ECA=角F (2) (2)延长FB与EC的延长线交于点G因为角ECA=角 M F(已证)所以角 G=角CAF因为角CAF=90度所以EC垂直 B C BF 42.如图: BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB。 求证: (1)AM=AN; (2)AM⊥AN。 N A 证明: (1)∵BE⊥AC,CF⊥AB∴∠ABM+∠BAC=90°, ∠ACN+∠BAC=90°∴∠ABM=∠ACN∵BM=AC, 4 3 CN=AB∴△ABM≌△NAC∴AM=AN F (2) E∵△ABM≌△NAC∴∠BAM=∠N∵∠N+∠BAN=90°∴∠BAM+∠ M 2 BAN=90°即∠MAN=90°∴AM⊥AN 1 B C 43.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证: BC∥EF连接BF、CE, 证明△ABF全等于△DEC(SAS), 然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF 从而求得BC平行于EF 44.如图,已知AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E,则AB与AC+B
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