图象
11
1
性质
(1)定义域:
R
(2)值域:
(0,+∞)
(3)过点(0,1),即x=0时,y=1
(4)在R上是增函数
(4)在R上是减函数
指数函数是高中数学中的一个基本初等函数,有关指数函数的图象与性质的题目类型较多,同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点,本文对此部分题目类型作了初步总结,与大家共同探讨.
1.比较大小
例1已知函数f(x)x2bxc满足f(1x)f(1x),且f(0)3,则f(bx)与
f(c)的大小关系是.
分析:
先求b,c的值再比较大小,要注意bx,cx的取值是否在同一单调区间内.
解:
∵f(1x)f(1x),
∴函数f(x)的对称轴是x1.
故b2,又f(0)3,∴c3.
∴函数f(x)在∞,1上递减,在1,∞上递增.
若x≥0,则3x≥2x≥1,∴f(3x)≥f(2x);
若x0,则3x2x1,∴f(3x)f(2x).
综上可得f(3x)≥f(2x),即f(cx)≥f(bx).评注:
①比较大小的常用方法有:
作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等.②对于含有参数的大小比较问题,有时需要对参数进行讨论.2.求解有关指数不等式
例2已知(a22a5)3x(a22a5)1x,则x的取值范围是.
分析:
利用指数函数的单调性求解,注意底数的取值范围.
解:
∵a22a5(a1)24≥41,
∴函数y(a22a5)x在(∞,∞)上是增函数,
∴3x1x,解得x1.∴x的取值范围是1,∞.
44评注:
利用指数函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式,并判断底数与1的大小,对于含有参数的要注意对参数进行讨论.3.求定义域及值域问题
例3求函数y16x2的定义域和值域.
解:
由题意可得16x2≥0,即6x2≤1,
∴x2≤0,故x≤2.∴函数f(x)的定义域是∞,2.
令t6x2,则y1t,
又∵x≤2,∴x2≤0.∴06x2≤1,即0t≤1.
∴0≤1t1,即0≤y1.
∴函数的值域是0,1.评注:
利用指数函数的单调性求值域时,要注意定义域对它的影响.
4.最值问题
例4函数ya2x2ax1(a0且a1)在区间[1,1]上有最大值14,则a的值是.
分析:
令tax可将问题转化成二次函数的最值问题,需注意换元后t的取值范围.
解:
令tax,则t0,函数ya2x2ax1可化为y(t1)22,其对称轴为t1.
∴当a
1时,∵x
1,1,
∴1≤
ax≤a,即
1≤t≤
a.
a
a
∴当t
a时,ymax
2
(a1)2
214.
解得a
3或a5
(舍去)
当0a
1时,∵x1,1,
∴a≤
ax≤1,即
a≤t≤
1,
aa
112
∴t时,ymax1214,
aa
解得a1或a1(舍去),∴a的值是3或1.
353评注:
利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用,比如:
换元法,整体代入等.
5.解指数方程
例5解方程3x232x80.
解:
原方程可化为9(3x)2803x90,令t3x(t0),上述方程可化为
9t280t90,解得t9或t1(舍去),∴3x9,∴x2,经检验原方程的9
解是x2.评注:
解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解,要注意验根.6.图象变换及应用问题
例6为了得到函数y93x5的图象,可以把函数y3x的图象().
A.向左平移9个单位长度,再向上平移5个单位长度B.向右平移9个单位长度,再向下平移5个单位长度C.向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度
D.向右平移2个单位长度,再向下平移5个单位长度分析:
注意先将函数y93x5转化为t3x25,再利用图象的平移规律进行判断.
解:
∵y93x53x25,∴把函数y3x的图象向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度,可得到函数y93x5的图象,故选(C).评注:
用函数图象解决问题是中学数学的重要方法,利用其直观性实现数形结合解题,所以要熟悉基本函数的图象,并掌握图象的变化规律,比如:
平移、伸缩、对称等.
习题
1、比较下列各组数的大小:
1)若,比较
与
2,曲线分别是指数函数,和的图象,
则与1的大小关系是().
(
分析:
首先可以根据指数函数单调性,确定
在轴右侧令,由小到大依次为,故应选.
小结:
这种类型题目是比较典型的数形结合的题目由数到形的转化,第
(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提
高学生识图,用图的意识.求最值
3,求下列函数的定义域与值域
1
(1)y=2x3;
(2)y=4x+2x+1+1.
5、设,求函数的最大值和最小值.
,则原来的函数成为
分析:
注意到,设
,利用闭区间上二次函数的值域的求法,可求得函数的最值.解:
设,由知,,函数成为,,对称轴
,故函数最小值为
轴远,故函数的最大值为
,因端点较距对称
.
6.(9分)已知函数ya2x2ax1(a1)在区间[-1,1]上的最大值是14,求a的值.
1
.解:
ya2x2ax1(a1),换元为yt22t1(ta),对称轴为t1.a当a1,ta,即x=1时取最大值,略解得a=3(a=-5舍去)
7.已知函数(且
(1)求的最小值;
(2)若
求的取值范围.
.解:
(1)
时,有最小值为
(2),解得
当时,;
当时,.
2
8(10分)
(1)已知f(x)x2m是奇函数,求常数m的值;
3x1
2)画出函数y|3x1|的图象,并利用图象回答:
k为何值时,方程|3Xk无
解?
有一解?
有两解?
解:
(1)常数m=1
(2)当k<0时,直线y=k与函数y|3x1|的图象无交点,即方程无解;
当k=0或k1时,直线y=k与函数y|31|的图象有唯一的交点,所以方程有一解;
当09.若函数是奇函数,求的值.
.解:
为奇函数,,
即,
则,
10.已知9x-10.3x+9≤0,求函数y=
(1)x-1-4·
(1)x+2的最大值和最小值42解:
由已知得(3x)2-10·3x+9≤0得(3x-9)(3x-1)≤0∴1≤3x≤9故0≤x≤2
而y=
(1)x-1-4·
(1)x+2=4·
(1)2x-4·
(1)x+2
4222
1x1令t=
(1)x(1t1)
24
212则y=f(t)=4t2-4t+2=4(t-)2+1
2
1当t=1即x=1时,ymin=1
2
当t=1即x=0时,ymax=2
11.已知,求函数的值域.
解:
由得,即,解之得,
于是,即,故所求函数的值域为
x22x2
12.(9分)求函数y2的定义域,值域和单调区间定义域为R值域(0,8〕。
(3)在(-∞,1〕上是增函数在〔1,+∞)上是减函数。
13
分析这是复合函数求单调区间的问题
∴u=x-3x+2的减区间就是原函数的增区间(即减减→增)u=x2-3x+2的增区间就是原函数的减区间(即减、增→减)
u
解:
设y=1,u=x2-3x+2,y关于u递减,
3
当x∈(-∞,)时,u为减函数,
2
∴y关于x为增函数;当x∈[3,+∞)时,u为增函数,y关于x为减函数.
2
14,已知函数f(x)=ax1(a>0且a≠1).
ax1
(1)求f(x)的定义域和值域;
(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)讨论f(x)的单调性.
解:
(1)易得f(x)的定义域为{x|x∈R}.
x
设y=ax1,解得ax=-y1①∵ax>0当且仅当-y1>0时,方程①有解.ax1y1y1
y1
解->0得-1y1
∴f(x)的值域为{y|-1
1)证明:
设x1f(x2)-f(x1)=2(2xx122x1)x2>0
(12x1)(12x2)
故对任何a∈R,f(x)为增函数.
(2)xR,又f(x)为奇函数
f(0)0得到a10。
即a1
2x
16、定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期为2,且x(0,1)时,f(x)42x1
∴f(x)x2x
4x1
∴在(0,1)上为减函数。
3)∵f(x)在(0,1)上为减函数。
21
∴f
(1)f(x)f(0)即f(x)(2,1)
52
同理f(x)在(-1,0)时,f(x)(1,2)
25
又f
(1)f(0)f
(1)0
∴当(12,52)(52,12)或0时f(x)在[-1,1]内有实数解。
分析本题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图像,以及数形结合思想和分类讨论思想.
解法1:
(分类讨论):
又a>1,由指数函数图像易知,应选B.
解法2:
因为y=a|x|是偶函数,又a>1,所以当x≥0时,y=ax是增函数;x<0时,y=a-x是减函数.
∴应选B.
1
1解:
(1)∵x-3≠0,∴y=2x3的定义域为{x|x∈R且x≠3}.又∵1≠x3
10,∴2x3≠1,
1
∴y=2x3的值域为{y|y>0且y≠1}.
(2)y=4x+2x+1+1的定义域为R.∵2x>0,∴y=4x+2x+1+1=(2x)2+2·2x+1=x2
(2x+1)2>1.
∴y=4x+2x+1+1的值域为{y|y>1}.
4,已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x的最大值和最小值解:
设t=3x,因为-1≤x≤2,所以1t9,且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3
即x=1时,f(x)取最大值12,当t=9即x=2时f(x)取最小值-24