一元一次方程知识点总结.docx
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一元一次方程知识点总结.docx
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一元一次方程知识点总结
一兀一次方程知识点总结
一元一次方程
方程的有关概念
拚实基础’
1.等式
用等号(“=”)來表示相等关系的式子叫做等式。
C温馨提示
1等式可以是数字算式,可以是公式、方程,也可以是运隼律、运算法则等,所以等式可以表示不同的意义。
2不能将等式与代数式混淆,等式含有等号,是表示两个式子的“相等关系”,而代数式不
、含等号,它只能作为等式的一边。
如5x+3=7-2x才是等式。
丿
2.等式的性质
性质1:
等式两边同时加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等。
即如果a",那么a±c=b±co
性质2:
等式两边同时乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等。
即如果a",那么ac=be;如果a=b(cM0),那么—=—o
cc
厂温馨提示
1等式类似天平,当天平两端放有相同质量的物体时,天平处于平衡状态。
若在天平的两端各加
(或减)相同质量的物体,则天平仍处于平衡状态。
所以运用等式性质1时,当等式两边都加上
J(或减去)同一个数或同一个整式时,才能保眄
所得的结果仍是等式,应特别注意“都”和“同
一个”。
如1+"3,左边加2,右边也加2,则有
l+x+2=3+2o
2运用等式的性质2时,等式两边不能同除以0,因为0不能作除数或分母。
3等式性质的延伸:
a.对称性:
等式左、右两边互换,所得结果仍是等式,即如果那么—b.传递性:
如果a=b,b=c,那么a=c(也叫等量代换)。
例1:
用适当的数或整式填空,使所得的结果仍为等式,并说明根据等式哪一条性质,以及怎样变形得到的。
44
(1)如杲一x—11=5.那么一x=5+:
33
(2)如果ax+by=—c,那么or=—c+;
43
(3)如果一-t=-9那么心o
34
三.方程
含有未知数的等式叫做方程。
温馨提示
方程有两层含义:
①方程必须是一个等式,即是用等号连接而成的式子。
②方程中必有一个待确定的数,即未知的字母,这个字厨就是未知数。
如x+2=U
四.方程与等式的区别与联系
概念及其特点
区别
联系
方程
含有未知数的等式叫做方程。
一个式子是方程,要满足两个条件:
一是等式,二含有未知数。
方程一定是等式,并且是
含有未知数的等式。
方程是特殊的等式。
等式
用等号来表示相等关系的式子叫做等式。
等式的主体是相等关系。
等式不一定是方程,因为
等式不一定含有未知数。
方程和等式的关系式从属
关系,且有不可逆性。
三.方程的解与解方程
内容
实质
方程的解
使方程中等号左右两边相等的未知
数的值叫做方程的解
具体的数值
解方程
求方程的解的过程叫做解方程
变形的过程
.温馨提示
1检验一个数是否是方程的解,只要用这个数代替方程中的未知数,如果方程两边的值相等,
那么这个数就是方程的解;如果不相等,这个数就不是方程的解。
2方程可能无解,可能只有一个解,也可能有多个解。
3等式的基本性质是解方程的依据。
I④方程的解释结果,而解方程是得到这个结果的一个过程。
J
例3:
下列方程中解为x=2的是()
A.3x3=xB.一x3=0
C.2x=6D.
例4:
利用等式的性质解下列方程:
(2)5x-6=2x3
(1)6x2=7x
[掌握方法
Ii
1.等量关系的确定方法
列方程解应用题是初中数学的一个重点也是一个难点,要突破这一难关,学会寻找等量
关系是关键,那么怎样寻找应用题中的等量关系呢?
(1)从关键词中找等量关系;
(2)对于同一个量,从不同角度用不同的方法表示,得到等量关系;
(3)运用基本公式找等量关系;
(4)运用不变量找等量关系。
例1:
某村原有林地108公顷,旱地54公顷,为保护环境,需把一部分旱地改
造为林地,使旱地面积占林地面积的20%,设把x公顷旱地改为林地,则可列方
程为()
A.54_x=20%108
B.54_x二20%(108x)
C.54x=20%162
D.108_x=20%(54x)
•利用方程的解求待定字母的方法
只要将方程的解代入方程,得到关于待定字母的
利用方程的解求方程中的待定字母时,
方程,即可解决问题。
例2:
已知x=2是关于x的方程口^k(x2)的解,则k的值应为()
3
A.9B.1
9
1
C.D.1
3
一元一次方程
解一元一次方程
[夯实基础q
I
1.一元一次方程
1.定义:
只含有一个未知数(元),未知数的次数都是1,等号两边都是整式,这样的方程叫做一元一次方程。
2.标准形式:
方程ax•b=0(其中x是未知数,a、b是已知数,并且a=0)叫做一元一次方程的标准形式。
厂温馨提示
1一元一次方程中未知数所在的式子是整式,即分母不含未知数。
一12
2一元一次方程只含有一个未知数,未知数的次数都为1。
如=3,x+y=6,x+
x+2qX-6=0者E不是一元一次方程。
例1:
下列方程中,哪些是一元一次方程?
哪些不是?
(1)54x=11;
(2)2xy=5;(3)x2-5x6=0;
2-xy-1y
(4)3;(5)1o
x23
2.移项
1.定义:
把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项。
2.示例:
解方程3x-2=2x•5时,可在方程的两边先加2,再减2x,得3x-22-2x=
2x5•2-2x,即变形为3x-2x=5•2。
与原方程比较,这个变形过程如下:
3xE2X=5E2
[温馨提示\
1移项的原理就是等式的性质1。
2移项所移动的是方程中的项,并且是从方程的一边移到另一边,而不是方程的一边交换两个项的位置。
'③移项时一定要改变所移动的项的符号,不移动的项不能变号。
如解方程3x=5x-10
|若移项,得5x-3x=-10就出错了,原因是被移动的项“5x”的符号没有改变,而改变了没有被移动的项“3x”的符号。
4在移动时,最好先写左右两边不移动的项,再写移来的项。
、
例2:
下列各题中的变形为移项的是()。
11
A.由(X2)=1,得一X1=1
22
B.由5x-3=7x5,得7x5=5x-3
C.由一x—52x=6,得2x—x—5=6
D.由x—5=8—x,得xx=85
三•去括号与去分母
解一元一次方程的最终目标是要得到“x二a”这一结果。
为了达到这一目标,方程中
有括号就要根据去括号法则去掉括号,即为去括号;方程中有分母的,根据等式性质2去掉
分母,即为去分母。
殊结构的方程,可采用以下去括号的技巧:
1先去外再去内。
即在解题时,打破常规,不是由内到外去括号,而是由外到内去括号。
2整体合并去括号。
有些方程,把含有的某些多项式看作整体,先合并,再去括号,往往会
13
简单。
如,解方程-x…£(x-8)二…£(X一8)时,可把x-8看作整体先合并,再去括号。
(2)去分母时,在方程两边要同时乘以所有分母的最小公倍数,不要漏乘不含分母的项。
当分母时小数时,需要把分母化整。
同时注意分母化整只与这一项有关,而与其他项无关,要与去分母区分开。
例3:
下列方程去括号正确的是()
A.由2x-3(4-2x)=6得2x-12-2x=6
B.由2x-3(4-2x)=6得2x-12-6x=6
C.由2x-3(4-2x)=6得2x-126x=6
D.由2x-3(4-2x)=6得2x-36x=6
2y—1y+1
例4方程3y•—T'一-F,去分母正确的是()
A.
18x2(2x-1)=18_3(x1)
B.
3x(2x_1)=3_(x1)
C.
18x(2x-1)=18_(x1)
D.
3x2(2x_1)=3_3(x1)
四•解
-元一次方程的一般步骤
步骤
具体做法
变形依据
去分母
在方程的两边同乘各分母的最小公倍数
等式性质2
去括号
先去小括号,再去中括号,最后去大括
号
去括号法则、分配律
移项
把含有未知数的项移到方程的一边,其它各项都移到方程的另一边(记住移项要变号)
等式性质1
合并同类项
把方程化为ax=b(a鼻0)的形式
合并同类项法则
系数化为1
在方程的两边都除以未知数的系数a,
得到方程的解x=匕
a
等式性质2
"温馨提示
1.解一元一次方程的五个步骤,有些可能用不到,有些可能重复使用,不一定按顺序进行,根据方程的特点灵活运用。
2.在解方程的不用环节有各自不同的注意事项,分别如下:
去分母
(1)分子是多项式的,去分母后要加括号;
(2)不要漏乘不含分母的项
去括号
(1)括号前的数要乘括号内的每一项;
(2)括号前面是负数,去掉括号后,括号内各项都要变号
移项
(1)移项时不要漏项;
(2)将方程中的项从一边移到另一边要变号,而在方程冋一边改变项的位置时不变号
原方程为一元一次方程,即未知数的次数为1,系数不为0,由此来确定原方程中待定
字母的值。
例1:
(1)若2xm,*1=2是关于x的一元一次方程,则m=
(2)若方程(m-4)x•2014=2015是关于x的一元一次方程,则m二
2.利用合并同类项与移项解方程的方法
(1)合并同类项时,不能用连等号与原方程相连。
(2)几个常数项也是同类项,移项时应该把它们放到一起。
(3)移项时把某项改变符号后移到等式的另一边,而不是等式一边的两项交换位置。
(4)移项必变号,不变号不能移项。
13
例2:
解方程:
(1)3x,7=32-2x;
(2)丄a-6二^a-1。
24
3.利用去分母解方程的方法
利用等式的性质2,在方程的两边同时乘各分母的最小公倍数,将分母去掉,把系数为分数的方程转化为系数为整数的方程。
(1)分数线具有括号的作用,分子如果是一个多项式,去掉分母后,要把分母后,要把分
子放在括号里。
(2)去分母时,不能漏乘不含分母的项。
4.含小数的一元一次方程的解法
将小数化成整数,是根据分数的基本性质把含小数的项的分子、分母乘同一个适当的数,
而不是方程所有的项都乘这个数。
小数化成整数,是对分母含小数的项的恒等变形。
例4:
解方程:
0.4x-9x-50.030.02x
0.5
0.03
5.有关同解方程的解题方法
如果两个方程的解相同,那么我们把这两个方程称为同解方程。
已知两个一元一次方程
是同解方程,求其中待定字母的取值,主要有两种常见题型,其解法有所不同。
(1)在两个同解方程中,如果只有一个方程中含有待定字母,一般先解不含待定字母的方
程,再把未知数的值代入含有待定字母的方程中,求出待定字母的值。
(2)如果在两个同解方程中都含有相同的待定字母,一般是分别解两个方程,用这个待定
字母分别表示两个方程的解,并建立等式,形成关于这个待定字母的方程,求出该待定字母
的值。
例5:
已知方程2(^1)1=x的解与关于x的方程3(x•m)二m—1的解相同,求m的值。
一元一次方程
列一元一次方程解应用题
[夯实基础q
I
一•列一元一次方程解应用题的一般步骤
(1)审:
弄清题意和题目中的数量关系。
(2)设:
用字母表示题目中的一个未知量。
(3)找:
找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。
(4)列:
根据这个相等关系列出方程。
(5)解:
解所列的方程,求出未知数的值。
(6)验:
检验方程的解是否符合问题的实际意义。
(7)答:
写出答案。
二.设未知数的几种方法
设未知数的方法有三种:
(1)直接设未知数:
题目求什么就设什么为未知数。
(2)间接设未知数:
对于一些应用题,如果直接设所求的量为未知数,可能不容易列方程,
这时可以间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数,进而求出所求的量。
(3)设辅助未知数:
如果前两种方法都行不通,便可设某个量为辅助未知数,辅助未知数
仅作为题目中量与量之间关系的一种桥梁,一般情况下,解方程时不需要求出这个量。
温馨提示
1采用直接设未知数的方法,原则是使分析条件更方便,列方程更简单,这样比较容易得到
方程,同时还要兼顾所得到的方程求解时难易。
直接设未知数,好处是容易选取未知数,而
且在解方程时可以直接得到问题的解。
2如果题目里涉及的几个量存在某种数量关系或某种比例关系,多采用间接设未知数的方
法,间接设未知数是在直接设未知数、分析条件或列方程感到困难的时候才采取的方法。
其
优点是列出方程和解方程的过程都比较容易。
3如果应用题涉及的量较多,各量之间的关系又不明显,若能设立适当的辅助未知数,把不
明显的关系表示出来,就可以顺利地列出方程或方程组。
例1:
通讯员原计划5h从甲地到乙地,因为任务紧急,他每小时比原计划快3km结果提前1h到达,求甲、乙两地间的距离。
解析:
解法一:
直接设未知数。
设甲、乙两地间的距离为xkm利用速度间的关
系作相等关系:
原计划速度■3二实际速度,得—3—,解得x=60。
55-1
解法二:
间接设未知数,设原计划的速度为xkm/h,则实际的速度为
(x•3)km/h。
禾U用路程关系作相等关系:
原计划的路程二实际的路程,得
5^(5-1)(x3),解得x=12,甲、乙两地的距离为5x=512=60(km)。
答:
甲、乙两地的距离为60km
例2:
一只船在逆水中航行,船上的一只救生圈掉入水中,5分钟后,发现救生圈落水,船掉头去追赶救生圈,几分钟能够追上救生圈?
(船掉头的时间忽略不计)
解析:
(设辅助未知数)设船在静水中的航行速度为a米/分,水流速度为b米/
分,t分钟后船能够追上落水的救生圈。
根据题意,得(a•b)t-bt=5b•5(a-b)
at=5a,t=5。
答:
5分钟后船能够追上落水的救生圈
三•一元一次方程应用题的常见类型
—
类型
内容
题中涉及的数量关系及公式
等量关系
注意事项
增长量=原有量X增长率
弄清“倍数”关系
和、
差、倍分问题
现有量=原有量十增长量
由题可知
及“多”“少”关
现有量=原有量-降低量
系等
长方体体积=长乂宽X高
等积变形问题
圆柱体积=irr2h
变形前后体积相等
要分清半径、直径
(h为咼,r为底面圆半径)
行程问题
相遇问题
路程=速度X时间时间=路程十速度速度=路程十时间
快车行驶路程+慢车
行驶路程=原距离
相向而行,注意出
发时间、地点
追及问题
快车行驶路程-慢车
行驶距离=原距离
冋向而仃,注意出
发时间、地点
航行问题
顺水速度=静水速度+水速
逆水速度=静水速度-水速
路程=速度X时间
注意两地距离,静
水速度不变
类型一〜内容
题中涉及的数量关系及公式
等量关系
注意事项
调配问题
从调配后的数量关
系中找等量关系
调配对象流动的方
向和数量
比例分配问题
全部数量=各种成
分的数量之和
把一份数设为x
年龄问题
大小两个年龄差不会变
由题可知
年龄增长一年一
岁,人人如此
工程问题
工作量=工作效率X工作时间工作效率=工作量十工作时间工作时间=工作量十工作效率
两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量
一般情况下,把总
工作量设为1
利润率问题
商品利润
商品的利润率二商品进价-00%
商品利润=商品售价-商品进价
(成本价)
由题可知
打几折就是按售价
的十分之几销售
数字问题(包括日历
中的数字规律)
设a、b分别为一个两位数的个位、十位上的数字,则这个
两位数可表示为10b+a
由题可知
1对于日历中的数字问题要弄清日历中的数字规律;
2设间接未知数
储蓄问题
利息=本金X利率X期数本息和=本金+利息=本金X
(1+利率X期数)
由题可知
分清利息和本息和
浓度问题
溶液质量=溶质质量+溶液质量
百分比浓度=溶液质量X100%
溶液质量
溶质质量=溶液质量X百分比浓度
加水前溶质质量=
加水后溶质质量加水前含水量+加水量=加水后水量
注意加水前后溶
齐1」、溶液的变化
1掌握方法
.列一元一次方程解决配套问题
在现实生活中常见到一些配套组合问题,如螺栓与螺母的配套,盒身与盒底的配套等。
解决此类问题的方法是抓住配套比,设出未知数,然后根据配套比列出方程,通过解方程解决问题。
例1:
某场共有120名生产工人,每名工人每天可产生螺栓50个或螺母20个,如果一个螺栓与两个螺母配成一套,那么每天安排多少名工人生产螺栓,多少人名工人生产螺母,才能使每天生产出来的产品配成最多套?
二•用列表法解决增长率、数字等问题
解复杂的问题时,可借助表格来确定等量关系。
先找出已知量、未知量,并用含已知量
或未知量的式子把中间的那些起桥梁作用的量表示出来,同时利用表格显示出等量关系。
例2:
已知甲、乙两种商品的原单价和为100元,因市场变化,甲商品降价10%乙商品提价5%调价后,甲、乙两种商品的单价和比原单价和提高了2%求甲、乙两种商品的单价各是多少兀。
三•用图示法解决行程、工程等问题
有关工程、行程问题,经常利用图示表示题目中各量间的关系,揭示出潜在的条件,使
问题清晰明了,能迅速列出方程,求解问题。
例3:
甲、乙相距40km甲先出发,1.5h后乙再出发,甲在后,乙在前,两人同向而行,甲的速度是8km/h,乙的速度是6km/h,问甲出发多久后追上乙?
例4:
一项工程,甲队单独做10小时完成,乙队单独做15小时完成,丙队单独做20小时完成。
开始时三队合作,中途甲队另有任务,由乙、丙两队完成,从开始到工程完成共用6小时,问甲队实际做了多少小时?
四.列一元一次方程解决销售利润问题
常见数量关系
注意事项
利润=
售价-进价
打几折就是按原价的百分之几十出售
利润率=售价进进价勺°°%
进价
分清利润与利润率
例5:
书店里每本定价10兀的书,成本是8兀。
为了促销,书店决定让利10%给读者,问该书应打多少折?
五•列一元一次方程解决比赛中的积分问题
解决比赛中积分问题要注意问题中积分多少与胜负的场数相关,同时也与比赛积分规定
有关,需先规定胜一场积几分,平一场积几分,负一场积几分。
这类问题中的基本等量关系有:
比赛总场数=胜场总数+平场总数+负场总数
比赛总积分=胜场总积分+平场总积分+负数总积分
例6:
某班一次数学小测验中,出了选择题和填空题共20道,总分为100分,
现从中抽出5份试卷进行分析,如下表所示:
试卷
正确个数
错误个数
得分
A
19
1
94
B
18
2
88
C
17
3
82
D
14
6
64
E
10
10
40
(1)某同学得70分,他答对了多少道题?
(2)有一同学H说他得86分,另一个同学G说他得72分,谁在说谎?
六.列一元一次方程解决储蓄问题
解决储蓄问题,首先要弄清以下几个概念:
顾客存入银行的钱叫本金,银行付给顾客的
酬金叫利息,本金与利息的和叫本息和,存入银行的时间叫期数,每个期数内的利息与本金
的比叫利率。
根据上述定义,每个期数内,利息二利率,所以利息=本金x利率x期数,
本金
这个公式是解决储蓄问题时常用的等量关系式。
例7:
某企业存入银行甲、乙两种不同性质用途的存款共20万元,甲种存款的
年利率为5.5%,乙种存款的年利率为4.5%,该企业一年可获利息共9500元,求
甲、乙两种存款分别为多少元。
七•列一元一次方程解决等积变形问题
解等积变形问题的关键是准确牢记有关图形的体积、面积、周长公式。
抓住两个等量关
系:
①形变体积不变;②有时形变引起体积变化,但质量不变。
例&要锻造一个底面直径为70mm高为45mm勺圆柱形零件毛坯,需要截取底
面直径为50mm勺圆柱钢材多长?
(不算加工余料)
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