全国大纲版高考压轴卷 数学理试题.docx
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全国大纲版高考压轴卷数学理试题
全国大纲版2013届高考压轴卷数学理试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项:
1.答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效.
3.本卷共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
一.选择题
(1)若复数则等于()
(2)若,,则的元素个数为()
(A) (B)(C) (D)
(3)已知函数与互为反函数,且函数与函数也互为反函数,若则=()
(4)已知等比数列中,公比若则有()
(A)最小值-4(B)最大值-4(C)最小值12 (D)最大值12
(5)一圆形餐桌依次有A、B、C、D、E、F共有6个座位.现让3个大人和3个小孩入座进餐,要求任何两个小孩都不能坐在一起,则不同的入座方法总数为()
(A)6(B)12(C)72(D)144
(6)已知函数的部分图象如右图所示,设是
图象的最高点,是图象与轴的交点,则()
(A)(B)(C)(D)
(7)在正方形中,沿对角线将正方形折成一个直二面角,则点到直线的距离为()
(8)设函数的导函数是且是奇函数,若曲线的一条切线的斜率是则切点的横坐标为()
(A) (B)(C) (D)
(9)已知若在处连续,则的值为()
(A) (B)(C) (D)2
(10)已知数列的通项公式为,那么满足的整数()
(A)有3个(B)有2个(C)有1个(D)不存在
(11)已知直线交椭圆于两点,椭圆与轴的正半轴交于点,若的重心恰好落在椭圆的右焦点上,则直线的方程是()
(A) (B)
(C) (D)
(12)在半径为的球内放入大小相等的4个小球,则小球半径的最大值为()
(A)(B) (C) (D)
第Ⅱ卷
注意事项:
1.答题前,考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,然后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.第Ⅱ卷共2页,请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,在试题卷上作答无效。
3.第Ⅱ卷共10小题,共90分
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.
(注意:
在试题卷上作答无效)
(13)若的展开式中的系数为
则=.
(14)当对数函数的图象至少经过区域
内的一个点时,实数的取值范围为.
(15)已知函数若方程有三个不同的实根,且从小到大依次成等比数列,则m的值为.
(16)抛物线的焦点为,在抛物线上,且,弦的中点在其准线上的射影为,则的最大值为
三、解答题:
(本大题共6小题,共70分.解答应给出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(17)(本小题满分10分)(注意:
在试题卷上作答无效)
的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量
且
(Ⅰ)求的大小;
(Ⅱ)现给出下列四个条件:
①②③④.试从中再选择两个条件以确定,求出你所确定的的面积.
(18)(本小题满分12分)(注意:
在试题卷上作答无效)
在进行一项掷骰子放球的游戏中规定:
若掷出1点或2点,则在甲盒中放一球;否则,在乙盒中放一球。
现在前后一共掷了4次骰子,设、分别表示甲、乙盒子中球的个数。
(Ⅰ)求的概率;
(Ⅱ)若求随机变量的分布列和数学期望。
(19)(本小题满分12分)(注意:
在试题卷上作答无效)
在四棱锥中,侧面底面,,底面是直角梯形,,,,.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)设为侧棱上一点,,
试确定的值,使得二面角为.
(20)(本小题满分12分)(注意:
在试题卷上作答无效)
设数列的前n项和为已知
(Ⅰ)设证明:
数列是等比数列;
(Ⅱ)证明:
.
(21)(本小题满分12分)(注意:
在试题卷上作答无效)
已知的顶点A在射线上,、两点关于x轴对称,0为坐标原点,
且线段AB上有一点M满足当点A在上移动时,记点M的轨迹为W.
(Ⅰ)求轨迹W的方程;
(Ⅱ)设是否存在过的直线与W相交于P,Q两点,使得若存在,
求出直线;若不存在,说明理由.
(22)(本小题满分12分)(注意:
在试题卷上作答无效)
已知函数.
(Ⅰ)若曲线在和处的切线互相平行,求的值;
(Ⅱ)求的单调区间;
(Ⅲ)设,若对任意,均存在,使得,求的取值范围.
2013全国大纲版高考压轴卷数学理试题答案
一、选择题
题号
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
答案
D
C
D
B
C
B
C
C
B
B
A
A
二、填空题:
(13)2.(14).(15).(16)
提示:
(1)D.
(2)C.化简
(3)D.由,互换得,,
,累加法:
(4)B.当且仅当时取=号
(5)C.若A、C、E坐大人,则B、D、F坐小孩;
若B、D、F坐大人,则A、C、E坐小孩.共有种方法.
(6)B.作,依题意,,
又,,
(7)C.作,垂足是O,则O是AC的中点,连结OB,易
证,作于E,E是CD的中点,
又,,BE是点B到直线CD的距离.
在中,求.
(8)C..设切点为,
则,解得(舍去),
(9)B.,因为在处连续,
所以,,即,解得
(10)B.因为,检验,时,
,不合题意.
时,
,满足题意
由对称性知,.所以,均满足题
(11)A.设,又,由重心坐标得
,所以弦的中点为.因为点在椭圆上,
所以,,作差得
,将
(1)和
(2)代入得,
所以,直线L为:
(12)A.当三个小球在下、第四个小球在上相切时,小球的半径最大.设小球的最大半径为,四个小球的球心分别为A,B,C,D,大球半径为.则四面体A-BCD是棱长为的正四面体,将正四面体A-BCD补形成正方体,则正方体棱长为,大球球心O为体对角线中点,易求,所以,解得
(13)2.
(14).由可行域知,的图像分别过点时,的值分别为,因为,所以的取值范围是.
(15).设公比为,问题转化为要和的图像有三个交点,由图像可知,
,,解得,
(16).如图,,
当且仅当时取“=”号
三、解答题:
(17)解:
(Ⅰ)……………1分
即……………2分
……………4分
(Ⅱ)方法一:
选择①③可确定……………5分
由余弦定理……………6分
整理得……………8分
……………10分
(Ⅱ)方法二:
选择①④可确定……………5分
……………6分
由正弦定理……………8分
……………10分
(18)解:
依题意知,掷一次骰子,球被放入甲盒、乙盒的概率分别为…………2分
(Ⅰ)若则只能有即在4次掷骰子中,有1次在甲盒中放球,有3次在乙盒中放球,因此所求概率…
…5分
(Ⅱ)由于所以的可能取值有0,2,4…………6分
…………9分
所以随机变量的分布列为:
0
2
4
故随机变量的数学期望为…………12分
(19)解法一:
(Ⅰ)平面底面,,所以平面,………1分
所以,.……2分
如图,以为原点建立空间直角坐标系.
则………3分
,,
所以,,……………4分
又由平面,可得,所以平面.……………6分
(Ⅱ)平面的法向量为,…………………………………………7分
,,
所以,………………………………………………………………8分
设平面的法向量为,,,
由,,得
所以,,………………………………………………….……9分
所以,………………………………………………………….…10分
所以,……………………...……11分
注意到,得.…………………………….………………12分
法二:
(Ⅰ)∵面PCD⊥底面ABCD,面PCD∩底面ABCD=CD,PD面PCD,且PD⊥CD
∴PD⊥面ABCD,………1分又BC面ABCD,∴BC⊥PD①…..…..……2分
取CD中点E,连结BE,则BE⊥CD,且BE=1
在Rt△ABD中,,在Rt△BCE中,BC=..……………………...……4分
∵,∴BC⊥BD②………………...……5分
由①、②且PD∩BD=D
∴BC⊥面PBD.……….………………………………………….…...……6分
(Ⅱ)过Q作QF//BC交PB于F,过F作FG⊥BD于G,连结GQ.
∵BC⊥面PBD,QF//BC
∴QF⊥面PBD,∴FG为QG在面PBD上的射影,
又∵BD⊥FG∴BD⊥QG
∴∠FGQ为二面角Q-BD-P的平面角;由题意,∠FGQ=45°.…………….…...……8分
设PQ=x,易知
∵FQ//BC,∴
∵FG//PD∴………………..…...……10分
在Rt△FGQ中,∠FGQ=45°
∴FQ=FG,即∴……..….........……11分
∵∴∴……..…............……12分
(20)解:
(Ⅰ)
…………2分
当时,
…………5分
又
数列是以2为首项,公比为2的等比数列。
…………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
…………9分
=…………12分
(21)解:
(Ⅰ)因为A,B两点关于x轴对称,
所以AB边所在直线与y轴平行.
设由题意,得
所以点M的轨迹W的方程为…………4分
(Ⅱ)假设存在,设
当直线时,由题意,知点P,Q的坐标是方程组的解,
消去y得…………6分
所以
…………7分
直线与双曲线的右支(即W)相交两点P,Q,
即①…………8分
…………10分
要使则必须有解得代入①不符合。
所以不存在直线,使得…………11分
当直线时,不符合题意,
综上:
不存在直线,使得…………12分
(22)解:
.………………1分
(Ⅰ),解得.………………3分
(Ⅱ).………………4分
①当时,,,
在区间上,;在区间上,
故的单调递增区间是,单调递减区间是.………………5分
②当时,,
在区间和上,;在区间上,
故的单调递增区间是和,单调递减区间是.…………6分
③当时,,故的单调递增区间是.………7分
④当时,,
在区间和上,;在区间上,
故的单调递增区间是和,单调递减区间是.………8分
(Ⅲ)由已知,在上有.………………9分
由已知,,由(Ⅱ)可知,
①当时,在上单调递增,
故,
所以,,解得,故.……………10分
②当时,在上单调递增,在上单调递减,
故.
由可知,,,
所以,,,
综上所述,.………………12分
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