信号处理仿真题作业.docx
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信号处理仿真题作业
信
号
处
理
基
础
仿
真
作
业
学号:
S1*******7
姓名:
贾雪婷
3.17在计算机上用如下方法产生随机信号
的观测样本:
首先产生一段零均值、方差为
的复高斯白噪声序列
;然后在
上叠加三个复正弦信号,它们的归一化频率分别是f1=0.15,f2=0.17和f3=0.26。
调整
和正弦信号的幅度,使在f1、f2和f3处得信噪比分别为30dB、30dB和27dB。
(1)令信号观测样本长度N=32,试用3.1.1节讨论的基于FFT的自相关函数快速计算方法估计出自相关函数
,并与教材式(3.1.2)估计出的自相关函数
做比较。
产生零均值、方差为1的复高斯白噪声序列y
>>y=randn(1,32);
>>y=y-mean(y);
>>y=y/std(y);
>>a=0;
>>b=sqrt
(2);
>>y=a+b*y
产生三个复正弦信号并产生观察样本:
>>N=32;
>>f1=0.15;
>>f2=0.17;
>>f3=0.26;
>>SNR1=30;
>>SNR2=30;
>>SNR3=27;
>>A1=10^(SNR1/20);
>>A2=10^(SNR2/20);
>>A3=10^(SNR3/20);
>>signal1=A1*exp(j*2*pi*f1*(0:
N-1));
>>signal2=A2*exp(j*2*pi*f2*(0:
N-1));
>>signal3=A3*exp(j*2*pi*f3*(0:
N-1));
>>un=signal1+signal2+signal3+y
基于FFT的自相关函数快速计算方法:
N=32;
>>Uk=fft(un,2*N);
Sk=(1/N)*abs(Uk).^2;
r0=ifft(Sk);
r1=[r0(N+2:
2*N),r0(1:
N)];
>>figure
(1);
>>stem(real(r1));
>>figure
(2);
>>stem(imag(r1))
输出结果为:
图1基于FFT的自相关函数快速计算
实部:
虚部:
教材中式(3.1.2)估计自相关函数
>>r=xcorr(un,N-1,'biased');
>>figure
(1);
>>stem(real(r))
>>figure
(2);
>>stem(imag(r))
输出结果为:
图2教材式(3.1.2)估计的自相关函数
实部:
虚部:
(2)令信号观测样本长度N=256,试用BT法和周期图法估计
的功率谱,这里设BT法中所用自相关函数的单边长度M=64。
周期图法
N=256;
>>noise=(randn(1,N)+j*randn(1,N))/sqrt
(2);
>>f1=0.15;
f2=0.17;
f3=0.26;
SNR1=30;
SNR2=30;
SNR3=27;
A1=10^(SNR1/20);
A2=10^(SNR2/20);
A3=10^(SNR3/20);
>>signal1=A1*exp(j*2*pi*f1*(0:
N-1));
signal2=A2*exp(j*2*pi*f2*(0:
N-1));
signal3=A3*exp(j*2*pi*f3*(0:
N-1));
>>xn=signal1+signal2+signal3+noise
NF=1024;
Spr=fftshift((1/NF)*abs(fft(xn,NF)).^2);
Spr=Spr/max(Spr);
t=[-0.5:
1/NF:
0.5-1/NF];
plot(t,10*log10(Spr));
图3周期图法所得功率谱
BT法
>>M=64;
>>r=xcorr(xn,M,'biased');
>>NF=1024;
>>BT=fftshift(fft(r,NF));
BT=BT/max(BT);
>>plot((-511:
512)/1024,10*log10(BT))图4BT法所得功率谱
(3)令信号观测样本长度N=256,试用Levinson-Durbin迭代算法求解AR模型的系数并估计
的功率谱,模型的阶数取为p=16。
p=16;
r0=xcorr(xn,p,'biased');
r=r0(p+1:
2*p+1);
a(1,1)=-r
(2)/r
(1);
sigma
(1)=r
(1)-(abs(r
(2))^2)/r
(1);
form=2:
p
k(m)=-(r(m+1)+sum(a(m-1,1:
m-1).*r(m:
-1:
2)))/sigma(m-1);
a(m,m)=k(m);
fori=1:
m-1
a(m,i)=a(m-1,i)+k(m)*conj(a(m-1,m-i));
end
sigma(m)=sigma(m-1)*(1-abs(k(m))^2);
end
NF=1024;
Par=sigma(p)./fftshift(abs(fft([1,a(p,:
)],NF)).^2);
Par=Par/max(Par);
plot((-511:
512)/1024,10*log10(Par))
图516阶AR模型的功率谱估计
3.18设随机过程
为
其中,
是零均值、方差为1的白噪声,
、
是相互独立并在
上服从均匀分布的随机相位。
使用MVDR方法进行信号频率估计的方针实验,画出频率估计谱线,并给出正弦信号频率的估计值。
(要求:
信号样本数取1000,估计的自相关矩阵为8阶)
解:
clearall;
%产生0均值,方差为1的复高斯白噪声序列v(n)
N=1000;
FS=1;
noise=(randn(1,N)+j*randn(1,N))/sqrt
(2);
%产生带噪声的信号样本u(n)
signal1=exp(j*0.5*pi*(0:
N-1)/FS+j*2*pi*rand);
signal2=exp(-j*0.3*pi*(0:
N-1)/FS+j*2*pi*rand);
un=signal1+signal2+noise;
%利用un来估计自相关函数
r=zeros(1,N);
form=1:
N
forn=m:
N
r(m)=r(m)+un(n)*(un(n-(m-1)))';
end
r(m)=r(m)/N;
end
M=8;%设定横向滤波器的阶数
%利用自相关矩阵和自相关函数的关系,构建自相关矩阵
R=zeros(M,M);
fori=1:
M
forj=1:
M
ifi<=j
R(i,j)=r(1+j-i);%得到了M阶的矩阵R
else
R(i,j)=(r(1+i-j))';
end
end
end
N3=2048;%设定画图时描点的数目。
d=1/(N3-1);%求画图用的横坐标的间隔。
h=zeros(1,N3);
fori=1:
N3
h(i)=-0.5+(i-1)*d;
end
y=zeros(1,N3);
forj=1:
N3
w=h(j)*2*pi;
y(j)=10*log10(abs(getPMVDR(w,M,R)));
end
plot(h,y);
title('MVDR谱估计');
xlabel('\omega/2\pi');ylabel('归一化功率谱/dB');
axis([-0.50.5-161]);
图6MVDR谱估计
3.19复正弦加白噪声随机过程
同题3.18中所给。
试用MUSIC方法进行信号频率估计的仿真实验。
要求:
信号样本数取1000,估计的自相关矩阵为8阶)
(1)采用AIC和MDL准则估计信号源个数;
N=1000;
noise=(randn(1,N)+j*randn(1,N))/sqrt
(2);
signal1=exp(j*0.5*pi*(0:
N-1)+j*2*pi*rand);
signal2=exp(-j*0.3*pi*(0:
N-1)+j*2*pi*rand);
un=signal1+signal2+noise;
M=8;
fork=1:
N-M
xs(:
k)=un(k+M-1:
-1:
k).';
end
R=xs*xs'/(N-M);%自相关矩阵的特征值分解
[U,E]=svd(R);%U是特征矢量组成的矩阵,E是对角阵,对角元素是由大到小排列的特征值
ev=diag(E);%提取对角元素上的特征值;%根据AIC准则进行信号源个数的估计
fork=1:
M
dec=prod(ev(k:
M).^(1/(M-k+1)));%计算第一项中对数的自变量的分子
nec=mean(ev(k:
M));%计算第一项中对数的自变量的分母
lnv=(dec/nec)^((M-k+1)*N);%计算第一项中对数的自变量
AIC(k)=-2*log(lnv)+2*(k-1)*(2*M-k+1);%计算AIC准则
end
[Amin,K]=min(AIC);
N1=K-1;%信号源个数估计
%根据MDL准则进行信号源个数的估计
fork=1:
M
dec=prod(ev(k:
M).^(1/(M-k+1)));
nec=mean(ev(k:
M));
lnv=(dec/nec)^((M-k+1)*N);
MDL(k)=-log(lnv)+(k-1)/2*(2*M-k+1)*log(N);%计算DML准则
end
[Amin,K]=min(MDL);%寻找使DML准则最小的索引
N2=K-1;%信号源个数的估计
(2)根据
(1)中信源个数画出相应的MUSIC频率估计谱线。
%计算MUSIC谱
En=U(:
N1+1:
M);%噪声子空间的向量组成的矩阵
NF=2048;
forn=1:
NF
Aq=exp(-j*2*pi*(n-1)/NF*(0:
M-1)');
Pmusic(n)=1/(Aq'*En*En'*Aq);%music谱
Pmusic(n)=10*log10(Pmusic(n));
end
f=-0.5:
1/NF:
0.5-1/NF;
plot(f,Pmusic);
图7MUSIC谱估计
3.20复正弦加白噪声随机过程
同题3.18中所给。
试使用Root-MUSIC方法进行信号频率估计的仿真实验。
(要求:
信号样本数取1000,估计的自相关矩阵为8阶。
)
(1)计算正弦信号的频率估计值。
N=1000;
noise=(randn(1,N)+j*randn(1,N))/sqrt
(2);
signal1=exp(j*0.5*pi*(0:
N-1)+j*2*pi*rand);
signal2=exp(-j*0.3*pi*(0:
N-1)+j*2*pi*rand);
un=signal1+signal2+noise;
M=8;
fork=1:
N-M
xs(:
k)=un(k+M-1:
-1:
k).';
end
R=xs*xs'/(N-M);
[U,E]=svd(R);
ev=diag(E);
G=U(:
3:
M);
Gr=G*G';
co=zeros(2*M-1,1);
form=1:
M
co(m:
m+M-1)=co(m:
m+M-1)+Gr(M:
-1:
1,m);
end
z=roots(co);
ph=angle(z)/(2*pi);
err=abs(abs(z)-1);
输出结果为:
最接近单位圆的两个根是:
-0.000102126882707680+1.00226420141169i
-0.000101665975924671+0.997740903255518i
上述根的归一化频率为:
0.250016217278963
0.250016217278959
(2)与MUSIC算法的估计结果比较。
En=G;
NF=2048;
forn=1:
NF
Aq=exp(-j*2*pi*(n-1)/NF*(0:
M-1)');
Pmusic(n)=1/(Aq'*En*En'*Aq);
Pmusic(n)=10*log10(Pmusic(n));
end
f=-0.5:
1/NF:
0.5-1/NF;
plot(f,Pmusic);
图8MUSIC谱估计
3.21复正弦加白噪声随机过程
同题3.18中所给。
试使用ESPRIT算法进行信号频率估计的仿真实验,给出正弦信号频率的估计值(要求:
信号样本数取1000,估计的自相关矩阵为8阶。
)
解:
N=1000;
noise=(randn(1,N)+j*randn(1,N))/sqrt
(2);
signal1=exp(j*0.5*pi*(0:
N-1)+j*2*pi*rand);
signal2=exp(-j*0.3*pi*(0:
N-1)+j*2*pi*rand);
un=signal1+signal2+noise;
M=8;
fork=1:
N-M
xs(:
k)=un(k+M-1:
-1:
k).';
end
Rxx=xs(:
1:
end-1)*xs(:
1:
end-1)'/(N-M-1);%计算自相关矩阵Rxx
Rxy=xs(:
1:
end-1)*xs(:
2:
end)'/(N-M-1);%计算互相关矩阵Rxy
%—————相关矩阵的特征值分解,寻找最小特征值————————%
[U,E]=svd(Rxx);%矩阵U是特征矢量组成的矩阵,E是对角阵,对角元素是由大到小排列的特征值
ev=diag(E);%提取对角元素上的特征值;
emin=ev(end);%获取最小特征值;
%——————构造矩阵对{Cxx,Cxy}————————%
Z=[zeros(M-1,1),eye(M-1);0,zeros(1,M-1)];%构造矩阵Z;
Cxx=Rxx-emin*eye(M);%计算Cxx;
Cxy=Rxy-emin*Z;%计算Cxy;
%——————矩阵对{Cxx,Cxy}的广义特征值分解————————%
[U,E]=eig(Cxx,Cxy);%广义特征值分解
z=diag(E);%提取对角矩阵中的特征值
ph=angle(z)/(2*pi);%求所有特征值的相位对应的归一化频率
err=abs(abs(z)-1);%与单位元的距离
输出结果为:
单次ESPRIT算法中最接近单位圆的两个特征值为:
0.588516696017445-0.809433346373638i
-0.00139435925779186+0.999262092748743i
上述特征值的相位对应的归一化频率为:
-0.149944811600338
0.250222082900873
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