高中物理 人教版选择性必修一第二章 2 简谐运动的描述.docx
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高中物理人教版选择性必修一第二章2简谐运动的描述
2 简谐运动的描述
[学习目标]
1.知道什么是振动的振幅、周期、频率及相位.2.理解周期和频率的关系.3.知道简谐运动的数学表达式,知道数学表达式中各物理量的意义.
一、振幅
1.概念:
振动物体离开平衡位置的最大距离.
2.意义:
振幅是表示物体振动幅度大小的物理量,振动物体运动的范围是振幅的两倍.
二、周期和频率
1.全振动:
一个完整的振动过程称为一次全振动,弹簧振子完成一次全振动的时间总是相同的.
2.周期:
做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间,叫作振动的周期,用T表示.在国际单位制中,周期的单位是秒(s).
3.频率:
周期的倒数叫作振动的频率,数值等于单位时间内完成全振动的次数,用f表示.在国际单位制中,频率的单位是赫兹,简称赫,符号是Hz.
4.周期和频率的关系:
f=
.周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量,周期越小,频率越大,表示振动越快.
5.圆频率ω:
表示简谐运动的快慢,其与周期T、频率f间的关系式为ω=
,ω=2πf.
三、相位
1.概念:
描述周期性运动在一个运动周期中的状态.
2.表示:
相位的大小为ωt+φ,其中φ是t=0时的相位,叫初相位,或初相.
3.相位差:
两个相同频率的简谐运动的相位的差值,Δφ=φ1-φ2.
四、简谐运动的表达式
x=Asin(ωt+φ0)=Asin(
t+φ0),其中:
A为振幅,ω为圆频率,T为简谐运动的周期,φ0为初相位.
判断下列说法的正误.
(1)在简谐运动的过程中,振幅是不断变化的.( × )
(2)振幅是振动物体离开平衡位置的最大位移,它是矢量.( × )
(3)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程为一次全振动过程.( × )
(4)振动周期指的是振动物体从一侧最大位移处,运动到另一侧最大位移处所用的时间.( × )
(5)相位反映了振动物体的振动步调.( √ )
(6)两个振动物体相位相同,则其振动步调相反.( × )
(7)按x=5sin(8πt+
π)cm的规律振动的弹簧振子的振动周期为0.25s.( √ )
一、简谐运动的振幅、周期和频率
导学探究
如图1所示为理想弹簧振子,O点为它的平衡位置,其中A、A′点关于O点对称.
图1
(1)振子从某一时刻经过O点计时,至下一次再经过O点的时间为一个周期吗?
(2)先后将振子拉到A点和B点由静止释放,两种情况下振子振动的周期相同吗?
振子完成一次全振动通过的位移相同吗?
路程相同吗?
答案
(1)不是.经过一个周期振子一定从同一方向经过O点,即经过一个周期,位移、速度均第一次与初始时刻相同.
(2)周期相同,振动的周期取决于振动系统本身,与振幅无关.位移相同,均为零.路程不相同,一个周期内振子通过的路程与振幅有关.
知识深化
1.对全振动的理解
(1)经过一次全振动,位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同.
(2)经过一次全振动,振子历时一个周期.
(3)经过一次全振动,振子的路程为振幅的4倍.
2.振幅和位移的区别
(1)振幅等于最大位移的数值.
(2)对于一个给定的振动,振子的位移是时刻变化的,但振幅是不变的.
(3)位移是矢量,振幅是标量.
3.路程与振幅的关系
(1)振动物体在一个周期内的路程为四个振幅.
(2)振动物体在半个周期内的路程为两个振幅.
(3)振动物体在
个周期内的路程不一定等于一个振幅.
4.一个振动系统的周期和频率有确定的值,由振动系统本身的性质决定,与振幅无关.
如图2所示,将弹簧振子从平衡位置下拉一段距离Δx,释放后振子在A、B间振动,且AB=20cm,振子由A首次到B的时间为0.1s,求:
图2
(1)振子振动的振幅、周期和频率;
(2)振子由A首次到O的时间;
(3)振子在5s内通过的路程及偏离平衡位置的位移大小.
答案
(1)10cm 0.2s 5Hz
(2)0.05s
(3)1000cm 10cm
解析
(1)由题图可知,振子振动的振幅为10cm,
t=0.1s=
,所以T=0.2s.
由f=
得f=5Hz.
(2)根据简谐运动的对称性可知,振子由A首次到O的时间与振子由O首次到B的时间相等,均为0.05s.
(3)设弹簧振子的振幅为A,A=10cm.振子在1个周期内通过的路程为4A,故在t=5s=25T内通过的路程s=40×25cm=1000cm.5s内振子振动了25个周期,故5s末振子仍处在A点,所以振子偏离平衡位置的位移大小为10cm.
(多选)如图3是一做简谐运动的物体的振动图像,下列说法正确的是( )
图3
A.振动周期是2×10-2s
B.物体振动的频率为25Hz
C.物体振动的振幅为10cm
D.在6×10-2s内通过的路程是60cm
答案 BCD
解析 由题图知周期是4×10-2s,A项错误;又f=
,所以f=25Hz,B项正确;由题图知物体振幅A=10cm,C项正确;t=6×10-2s=1
T,所以物体通过的路程为4A+2A=6A=60cm,D项正确.
二、简谐运动的表达式、相位
1.相位
相位ωt+φ描述做简谐运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态,是描述不同振动的振动步调的物理量.它是一个随时间变化的量,相当于一个角度,相位每增加2π,意味着物体完成了一次全振动.
2.相位差
(1)频率相同的两个简谐运动有固定的相位差,即Δφ=φ2-φ1.
(2)若Δφ=0,表明两个物体运动步调相同,即同相.
(3)若Δφ=π,表明两个物体运动步调相反,即反相.
(4)若Δφ=φ2-φ1>0,则2的相位比1的相位超前Δφ或1的相位比2的相位落后Δφ.
(5)若Δφ=φ2-φ1<0,则2的相位比1的相位落后|Δφ|或1的相位比2的相位超前|Δφ|.
3.简谐运动的表达式x=Asin(
t+φ0)
(1)表达式反映了做简谐运动的物体的位移x随时间的变化规律.
(2)从表达式x=Asin(ωt+φ)体会简谐运动的周期性.当Δφ=(ωt2+φ)-(ωt1+φ)=2nπ时,Δt=
=nT,振子位移相同,每经过周期T完成一次全振动.
(多选)物体A做简谐运动的振动方程是xA=3sin(100t+
)m,物体B做简谐运动的振动方程是xB=5sin(100t+
)m.比较A、B的运动( )
A.振幅是矢量,A的振幅是6m,B的振幅是10m
B.周期是标量,A、B周期相等,都为100s
C.A振动的频率fA等于B振动的频率fB
D.A的相位始终超前B的相位
答案 CD
解析 振幅是标量,A、B的振幅分别为3m、5m,A错;A、B的周期均为T=
=
s,B错;因为TA=TB,故fA=fB,C对;Δφ=φA-φB=
,为定值,D对.
三、简谐运动的周期性和对称性
简谐运动是一种周期性的运动,简谐运动的物理量随时间周期性变化,如图4所示,OC=OD.
图4
(1)时间的对称
①物体来回通过相同两点间的时间相等,即tDB=tBD.
②物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等,图中tDB=tBD=tCA=tAC,tOD=tDO=tOC=tCO.
(2)速度的对称
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等,方向相反.
②物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时,速度大小相等,方向可能相同,也可能相反.
(3)位移的对称
①物体经过同一点(如C点)时,位移相同.
②物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时,位移大小相等、方向相反.
命题角度1 简谐运动的对称性
如图5所示,弹簧振子以O点为平衡位置,在B、C两点间做简谐运动,在t=0时刻,振子从O、B间的P点以速度v向B点运动;在t=0.2s时,振子速度第一次变为-v;在t=0.5s时,振子速度第二次变为-v,已知B、C之间的距离为25cm.
图5
(1)求弹簧振子的振幅A;
(2)求弹簧振子的振动周期T和频率f.
答案
(1)12.5cm
(2)1s 1Hz
解析
(1)弹簧振子以O点为平衡位置,在B、C两点间做简谐运动,所以振幅是B、C之间距离的一半,
所以A=
cm=12.5cm.
(2)由简谐运动的对称性可知从P到B的时间与从B返回到P的时间是相等的,
所以tBP=
s=0.1s
同理可知:
tPO=
s=0.15s,
又tBP+tPO=
可得:
T=1s,
则f=
=1Hz.
命题角度2 简谐运动的多解性
(多选)弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动,从振子通过O点时开始计时,振子第一次到达M点用了0.3s,又经过0.2s第二次通过M点,则振子第三次通过M点还要经过的时间可能是( )
A.
sB.
sC.1.4sD.1.6s
答案 AC
解析 假设弹簧振子在B、C之间振动,如图甲,若振子开始先向左振动,振子的振动周期为T=
×4s=
s,则振子第三次通过M点还要经过的时间是t=
s-0.2s=
s.如图乙,若振子开始先向右振动,振子的振动周期为T=4×(0.3+
)s=1.6s,则振子第三次通过M点还要经过的时间是t=1.6s-0.2s=1.4s,A、C正确.
1.周期性造成多解:
物体经过同一位置可以对应不同的时刻,物体的位移、加速度相同,而速度可能相同,也可能等大反向,这样就形成简谐运动的多解问题.
2.对称性造成多解:
由于简谐运动具有对称性,因此当物体通过两个对称位置时,其位移、加速度大小相同,而速度可能相同,也可能等大反向,这种也形成多解问题.
1.(描述简谐运动的物理量)(2019·北京市密云区期末)如图6甲所示,弹簧振子在竖直方向做简谐运动.以其平衡位置为坐标原点,竖直向上为正方向建立坐标轴,振子的位移x随时间t的变化如图乙所示,下列说法正确的是( )
甲 乙
图6
A.振子的振幅为4cm
B.振子的振动周期为1s
C.t=1s时,振子的速度为正的最大值
D.t=1s时,振子的加速度为正的最大值
答案 C
解析 由振动图像可知,振子的振幅为2cm,周期为2s,故A、B错误;t=1s时,振子处于平衡位置,加速度为0,速度为正的最大值,故C正确,D错误.
2.(简谐运动的表达式)(多选)一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x=0.1sin2.5πt,位移x的单位为m,时间t的单位为s.则( )
A.弹簧振子的振幅为0.2m
B.弹簧振子的周期为1.25s
C.在t=0.2s时,振子的运动速度为零
D.若另一弹簧振子B的位移x随时间t变化的关系式为x=0.2sin(2.5πt+
)(m),则A滞后B的时间为
答案 CD
解析 由振动方程可知振幅为0.1m,圆频率ω=2.5πrad/s,故周期T=
=
s=0.8s,故A、B错误;在t=0.2s时,x=0.1m,即振子的位移最大,速度最小,为零,故C正确;两振动的相位差Δφ=φ2-φ1=2.5πt+
-2.5πt=
,即B超前A的时间为
,或者说A滞后B的时间为
,故D正确.
3.(简谐运动的周期性和对称性)如图7所示,一质点沿水平直线做简谐运动,先后以相同速度通过a、b两点,经历时间tab=1s,过b点后再经t′=1s质点第一次反向通过b点.O点为平衡位置,若在这两秒内质点所通过的路程是8cm,试求该质点的振动周期和振幅.
图7
答案 4s 4cm
解析 简谐运动是以平衡位置为中心的对称运动,因为通过a、b两点时的速度相同,根据简谐运动的对称性,可知质点从b点返回a点所用的时间必与从a点到b
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