高二数学寒假作业10含答案.docx
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高二数学寒假作业10含答案
2019-2020年高二数学寒假作业10含答案
一、选择题.
1.数列的前项和,那么它的通项公式是()
A、B、C、D、
2.数列的一个通项公式是()
A.B.
C.D.
3.等差数列满足
A.12B.30C.40D.25
4.已知数列,若点在经过点的定
直线上,则数列的前15项和()
A.12B.32C.60D.120
5.已知双曲线﹣=1(a>)的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.2
6.双曲线=1的渐近线方程是( )
A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±2x
7.已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:
y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=()
A.3B.6C.9D.12
8.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2﹣4x﹣5=0相切,则p的值为()
A.10B.6C.4D.2
9.如图,已知直线l:
y=k(x+1)(k>0)与抛物线C:
y2=4x相交于A、B两点,且A、B两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N,若|AM|=2|BN|,则k的值是
(A)(B)(C)(D)2
10.已知动点在椭圆上,若点坐标为,,且则的最小值是()
A.B.C.D.
二.填空题.
11.若数列{an}的前n项和Sn=n2+n,则数列{an}的通项公式an= .
12.已知等比数列{an}的各项均为正数,若a1=3,前三项的和为21,则a4+a5+a6=.
13.若等差数列的前项和为,,,则数列的通项公式
为.
14.已知数列的首项,数列.的通项公式_______________
三、解答题.
15.(本小题满分12分)
设是锐角三角形,三个内角,,所对的边分别记为,,,并且
.
(Ⅰ)求角的值;
(Ⅱ)若,,求,(其中).
16.(本小题满分13分)
已知点,椭圆的离心率为是椭圆E的右焦点,直线HF的斜率为.
(I)求椭圆E的方程;
(II)点A为椭圆E的右顶点,过B(1,0)作直线l与椭圆E相交于S,T两点,直线AS,AT与直线分别交于不同的两点M,N,求的取值范围.
17.已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.
(Ⅰ)证明{an+}是等比数列,并求{an}的通项公式;
(Ⅱ)证明:
++…+<.
【】新课标xx高二数学寒假作业10
参考答案
1.C
2.B
3.B
4.C
5.A
【考点】双曲线的简单性质.
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】由题意可得斜率为的渐近线的倾斜角为,由tan=,求得a的值,可得双曲线的离心率.
【解答】解:
双曲线﹣=1(a>)的两条渐近线的夹角为,可得斜率为的渐近线的倾斜角为,
∴tan==,求得a=,∴双曲线的离心率为==,
故选:
A.
【点评】本题主要考查双曲线的标准方程和简单性质,属于基础题.
6.B
【考点】双曲线的简单性质.
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】直接利用双曲线方程求渐近线方程即可.
【解答】解:
双曲线=1可得,所以双曲线的渐近线方程为:
y=±x.
故选:
B.
【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法,基本知识的考查.
7.B
【考点】圆锥曲线的综合;直线与圆锥曲线的关系.
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标,求出椭圆的半长轴,然后求解抛物线的准线方程,求出A,B坐标,即可求解所求结果.
【解答】解:
椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点(c,0)与抛物线C:
y2=8x的焦点(2,0)重合,
可得c=2,a=4,b2=12,椭圆的标准方程为:
,
抛物线的准线方程为:
x=﹣2,
由,解得y=±3,所以a(﹣2,3),B(﹣2,﹣3).
|AB|=6.
故选:
B.
【点评】本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用,考查计算能力.
8.D
【考点】圆与圆锥曲线的综合;直线与圆的位置关系;抛物线的简单性质.
【专题】直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】将圆化成标准方程,得到圆心为C(2,0),半径r=3.再将抛物线化成标准方程,得到抛物线的准线为x=﹣,根据准线与圆相切建立关于p的等式,解之即可得到p的值.
【解答】解:
圆x2+y2﹣4x﹣5=0化成标准方程,得(x﹣2)2+y2=9,
∴圆心为C(0,2),半径r=3,
又∵抛物线y2=2px(p>0),
∴抛物线的准线为x=﹣,
∵抛物线的准线与圆相切,
∴准线到圆心C的距离等于半径,得|2﹣(﹣)|=3,解之得p=2(舍负).
故选:
D.
【点评】本题给出抛物线的准线与已知圆相切,求p的值.着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系和抛物线的标准方程与简单性质等知识,属于中档题.
9.C
10.B
试题分析:
由可知点M的轨迹为以点A为圆心,1为半径的圆,
过点P作该圆的切线PM,则|PA|2=|PM|2+|AM|2,得|PM|2=|PA|2-1,
∴要使得的值最小,则要的值最小,而的最小值为a-c=2,
此时=,故选B.
考点:
椭圆的定义.
11.2n
考点:
数列递推式.
专题:
等差数列与等比数列.
分析:
由已知条件利用公式,能求出an.
解答:
解:
∵数列{an}的前n项和Sn=n2+n,
∴a1=S1=1+1=2,
an=Sn﹣Sn﹣1=(n2+n)﹣[(n﹣1)2+(n﹣1)]=2n,
当n=1时,上式成立,
∴an=2n.
故答案为:
2n.
点评:
本题考查数列的通项公式的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意公式的合理运用.
12.168
【考点】等比数列的性质.
【专题】计算题;等差数列与等比数列.
【分析】由题意可得公比,而a4+a5+a6=(a1+a2+a3)•q3,代入求解可得.
【解答】解:
可设等比数列{an}的公比为q,(q>0)
由题意可得a1+a2+a3=3+3q+3q2=21,
解之可得q=2,或q=﹣3(舍去)
故a4+a5+a6=(a1+a2+a3)•q3=21×8=168
故答案为:
168
【点评】本题考查等比数列的性质,整体法是解决问题的关键,属中档题.
13.()
在等差数列中,设公差为,则由,得,,即,解得,所以。
14.
15.(Ⅰ)
,
,.…………………………6分
(Ⅱ),,
又,,
,,.…………………………12分
16.
17.
考点:
数列的求和;等比数列的性质.
专题:
证明题;等差数列与等比数列.
分析:
(Ⅰ)根据等比数列的定义,后一项与前一项的比是常数,即=常数,又首项不为0,所以为等比数列;
再根据等比数列的通项化式,求出{an}的通项公式;
(Ⅱ)将进行放大,即将分母缩小,使得构成一个等比数列,从而求和,证明不等式.
解答:
证明(Ⅰ)==3,
∵≠0,
∴数列{an+}是以首项为,公比为3的等比数列;
∴an+==,即;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
当n≥2时,∵3n﹣1>3n﹣3n﹣1,∴<=,
∴当n=1时,成立,
当n≥2时,++…+<1+…+==<.
∴对n∈N+时,++…+<.
点评:
本题考查的是等比数列,用放缩法证明不等式,证明数列为等比数列,只需要根据等比数列的定义就行;数列与不等式常结合在一起考,放缩法是常用的方法之一,
通过放大或缩小,使原数列变成一个等比数列,或可以用裂项相消法求和的新数列.属于中档题.
2019-2020年高二数学期初考试试题
一、填空题(每小题5分,共计70分.请将答案写在答题纸指定区域)
1.已知全集U={a,b,c,d},集合A={a,b},B={b,c},则CU(A∪B)等于
解:
∵A={a,b},B={b,c},∴A∪B={a,b,c},则∁U(A∪B)={d},
2.不等式x2﹣4x+3≤0的解集为
解:
(1)原不等式等价于(x﹣1)(x﹣3)≤0,
所以不等式的解为1≤x≤3,
即不等式x2﹣4x+3≤0的解集为{x|1≤x≤3}.…(5分)
3.已知角A为三角形的一个内角,且,则tanA=
【考点】两角和与差的正切函数;GG:
同角三角函数间的基本关系.
解:
已知角A为三角形的一个内角,且,则sinA=,∴tanA==.
【点评】本题主要考查两角和差的正切公式、同角三角函数的基本关系的应用,属于中档题.
4.在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.求BC的长为
解:
由余弦定理可得:
BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7,
所以BC=.
【点评】本题考查余弦定理的应用,正弦定理的应用,二倍角的三角函数,注意角的范围的解题的关键.
5.已知数列{an}成等比数列,若a2=4,a5=,则数列{an}的通项公式为
解:
(1)设等比数列{an}的公比为q,∵a2=4,a5=,
∴,解得a1=8,q=.∴an==2n+2..
【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
6.直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0相切,则b=
解:
圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0的圆心(1,1),半径r==2,
∵直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0相切,
∴圆心(1,1)到直线3x+4y=b的距离d==2,解得b=﹣3或b=17.
7.若直线=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于
解:
∵直线=1(a>0,b>0)过点(1,1),∴+=1(a>0,b>0),
所以a+b=(+)(a+b)=2++≥2+2=4,
当且仅当=即a=b=2时取等号,∴a+b最小值是4,
8.若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A、B两点,且∠AOB=120°(O为坐标原点),则圆的面积为 4π .
解:
若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)交于A、B两点,O为坐标原点,
且∠AOB=120°,则圆心(0,0)到直线3x﹣4y+5=0的距离d=rcos60°=r,
即=r,解得r=2,∴圆的面积为4π.
9.如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,则四棱
锥A﹣BB1D1D的体积为 6 cm3.
解:
过A作AO⊥BD于O,AO是棱锥的高,所以AO==,
所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V==6.
10.若变量x,y满足约束条件,则z=2x+3y的最大值为
解:
作出不等式对应的平面区域(阴影部分),由z=2x+3y,得y=,
平移直线y=,由图象可知当直线y=经过点B时,直线y=的截距最大,此时z最大.由,解得,
即B(4,﹣1).此时z的最大值为z=2×4+3×(﹣1)=8﹣3=5,
【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.
11.数列,,,…的前n项和为
解:
由,,,…,而1,4,7,10,…,是公差为3的等差数列an,可得通项公式an=1+3(n﹣1)=3n﹣2.
∴数列,,,…的第n项为:
,可化为:
,
∴数列,,,…的前n项和=++…+==.
12.在直角三角形ABC中,∠C=90°,AB=2,AC=1,若,则•= .
解:
如图所示,A(1,0),B(0,),C(0,0),∵,
∴D.∴=,=(0,),∴•=0+=.
故答案为:
.
【点评】本题考查了数量积的坐标运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
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