新教材高中数学北师大版选择性必修一学案第六章31离散型随机变量的均值含答案.docx

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新教材高中数学北师大版选择性必修一学案第六章31离散型随机变量的均值含答案

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§3　离散型随机变量的均值与方差

3.1　离散型随机变量的均值

必备知识·自主学习

导思

1．怎样求随机变量X的均值？

2．均值的性质主要有哪些？

1.离散型随机变量的均值

设离散型随机变量X的分布列如表：

X

x1

x2

…

xi

…

xn

P

p1

p2

…

pi

…

pn

则称EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．

（1）数学期望的意义是什么？

提示：

它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

（2）随机变量的均值与样本平均值有什么区别？

提示：

随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值．

2．均值的性质

（1）如果X为（离散型）随机变量，则Y＝aX＋b（a，b为常数）也是随机变量，并且有EY＝E（aX＋b）＝aEX＋b．

（2）对于任意实数a，b，X，Y都是随机变量，一定有E（aX＋bY）＝aEX＋bEY.

1．辨析记忆（对的打“√”，错的打“×”）

（1）随机变量X的数学期望EX是个变量，其随X的变化而变化．（　　）

（2）随机变量的均值反映样本的平均水平．（　　）

（3）若随机变量X的数学期望EX＝2，则E（2X）＝4.（　　）

（4）随机变量X的均值EX＝

.（　　）

提示：

（1）×.随机变量的数学期望EX是个常量，是随机变量X本身固有的一个数字特征．

（2）×.随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平．

（3）√.由均值的性质可知．

（4）×.因为EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.

2．已知某一随机变量ξ的分布列如表所示，若Eξ＝6.3，则a的值为（　　）

ξ

a

7

9

P

b

0.1

0.4

A.4　　　　B．5　　　　C．6　　　　D．7

【解析】选A.根据随机变量ξ的分布列的性质，可知b＋0.1＋0.4＝1，所以b＝0.5，又Eξ＝ab＋7×0.1＋9×0.4＝6.3.所以a＝4.

3．（教材例题改编）若随机变量X的分布列为

X

1

2

3

P

a

b

a

则X的数学期望EX＝（　　）

A．2a＋bB．a＋2bC．2D．3

【解析】选C.由EX＝X1P（X1）＋X2P（X2）＋…＋XnP（Xn），

所以EX＝1×a＋2×b＋3×a＝2（2a＋b），而2a＋b＝1，所以EX＝2.

4．设EX＝10，则E（3X＋5）＝________．

【解析】E（3X＋5）＝3EX＋5＝3×10＋5＝35.

答案：

35

5．盒子里有4个球，其中1个红球、1个绿球、2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P（ξ＝0）＝________；Eξ＝________．

【解析】因为ξ＝0对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球、第二次拿红球，所以P（ξ＝0）＝

＋

×

＝

，

随机变量ξ＝0，1，2，

P（ξ＝1）＝

×

＋

×

×

＋

×

×

＝

，

P（ξ＝2）＝1－

－

＝

，

所以Eξ＝0×

＋1×

＋2×

＝1.

答案：

　1

关键能力·合作学习

类型一　求离散型随机变量的均值（数学运算）

1．（2021·武汉高二检测）某篮球运动员每次投篮未投中的概率为0.3，投中2分球的概率为0.4，投中3分球的概率为0.3，则该运动员投篮一次得分的数学期望为（　　）

A．1.5　　　　B．1.6　　　　C．1.7　　　　D．1.8

2．已知离散型随机变量X的分布列为

X

0

1

2

3

P

m

则X的数学期望EX＝（　　）

A．

B．1C．

D．2

3．某地最近出台一项机动车驾照考试规定：

每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的均值．

【解析】1.选C.由已知得EX＝0×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝1.7.

2．选B.由

＋

＋m＋

＝1，得m＝

，

所以EX＝0×

＋1×

＋2×

＋3×

＝1.

3．X的取值分别为1，2，3，4.

X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P（X＝1）＝0.6.

X＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P（X＝2）＝（1－0.6）×0.7＝0.28.

X＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P（X＝3）＝（1－0.6）×（1－0.7）×0.8＝0.096.

X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P（X＝4）＝（1－0.6）×（1－0.7）×（1－0.8）＝0.024.

所以李明实际参加考试次数X的分布列为

k

1

2

3

4

P（X＝k）

0.6

0.28

0.096

0.024

所以X的均值为EX＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.

求离散型随机变量X的均值的步骤

（1）理解X的实际意义，并写出X的全部取值．

（2）求出X取每个值的概率．

（3）写出X的分布列（有时也可省略）.

（4）利用定义公式EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求出均值．

类型二　离散型随机变量均值的性质（逻辑推理、数学运算）

【典例】1.（2021·合肥高二检测）已知随机变量X的分布列如表所示，则E（2X－5）的值等于（　　）

X

1

2

3

4

5

P

0.1

0.2

b

0.2

0.1

A.1　　　　　B．2　　　　　C．3　　　　　D．4

2．（2021·太原高二检测）随机变量ξ的分布列如下，且满足Eξ＝2，则E（aξ＋b）的值（　　）

ξ

1

2

3

P

a

b

c

A.等于0B．等于1

C．等于2D．无法确定，与a，b有关

【解析】1.选A.由题得0.1＋0.2＋b＋0.2＋0.1＝1，所以b＝0.4，

所以EX＝1×0.1＋2×0.2＋3×0.4＋4×0.2＋5×0.1＝3，

所以E（2X－5）＝2EX－5＝2×3－5＝1.

2．选B.由随机变量ξ的分布列得到：

a＋2b＋3c＝2，又a＋b＋c＝1，解得a＝c，所以2a＋b＝1，所以E（aξ＋b）＝aEξ＋b＝2a＋b＝1.

aX＋b型的随机变量均值的求法

对于aX＋b型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E（aX＋b）＝aEX＋b；也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便．

（2021·天津高二检测）已知离散型随机变量ξ的分布列如下，若随机变量η＝3ξ＋1，则η的数学期望为（　　）

ξ

0

1

2

P

0.4

2k

k

A.3.2　　　B．3.4　　　C．3.6　　　D．3.8

【解析】选B.由题意，根据离散型随机变量的分布列的性质，可得0.4＋2k＋k＝1，解得k＝0.2，所以数学期望为Eξ＝0×0.4＋1×0.4＋2×0.2＝0.8，

又由随机变量η＝3ξ＋1，所以Eη＝3Eξ＋1＝3×0.8＋1＝3.4.

类型三　离散型随机变量均值的实际应用（数据分析）

【典例】随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而生产1件次品亏损2万元，设1件产品的利润（单位：

元）为X.

（1）求X的分布列；

（2）求1件产品的平均利润（即X的均值）；

（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？

【思路导引】

→

→

→

【解析】

（1）X的所有可能取值为6，2，1，－2.

P（X＝6）＝

＝0.63，P（X＝2）＝

＝0.25，P（X＝1）＝

＝0.1，

P（X＝－2）＝

＝0.02.故X的分布列为：

X

6

2

1

－2

P

0.63

0.25

0.1

0.02

（2）EX＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋（－2）×0.02＝4.34.

（3）设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为EX＝6×0.7＋2×（1－0.7－0.01－x）＋1×x＋（－2）×0.01＝4.76－x（0≤x≤0.29）.

依题意，EX≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.

概率模型的三个解答步骤

（1）审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．

（2）确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值．

（3）对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．

在一次射击比赛中，战士甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4，0.1，0.5；战士乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名战士中获胜希望较大的是谁？

【解析】设这次射击比赛战士甲得X1分，战士乙得X2分，则分布列分别如下：

X1

1

2

3

P

0.4

0.1

0.5

X2

1

2

3

P

0.1

0.6

0.3

根据均值公式得EX1＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1；

EX2＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2；

因为EX2＞EX1，故这次射击比赛战士乙得分的均值较大，

所以战士乙获胜的希望较大．

备选类型　利用基本不等式解决与离散型随机变量有关的最值问题（数学运算）

【典例】一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其他得分情况），则ab的最大值为（　　）

A．

　　　B．

　　　C．

　　　D．

【解析】选D.3a＋2b＋0·c＝2，即3a＋2b＝2，所以6ab≤

＝1，

因此ab≤

，当且仅当3a＝2b时取等号．

本典例中条件不变，求

＋

的最小值．

【解析】

＋

＝

＝

（6＋

＋

＋

）≥

＝

，当且仅当

＝

时取等号．

所以

＋

的最小值为

.

先根据数学期望公式得等量关系，再根据基本不等式求最值

课堂检测·素养达标

1．已知Y＝5X＋1，EY＝6，则EX的值为（　　）

A．

　　　　B．5　　　　C．1　　　　D．31

【解析】选C.因为EY＝E（5X＋1）＝5EX＋1＝6，所以EX＝1.

2．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则EX为（　　）

A．0.765B．1.75C．1.765D．0.22

【解析】选B.X的取值为0，1，2，所以P（X＝0）＝0.1×0.15＝0.015，

P（X＝1）＝0.9×0.15＋0.1×0.85＝0.22，P（X＝2）＝0.9×0.85＝0.765，

EX＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.

3．已知0

，随机变量ξ的分布列如图，则当a增大时，ξ的期望Eξ的变化情况是（　　）

ξ

－1

0

1

P

a

b

A．Eξ增大B．Eξ减小

C．Eξ先增后减D．Eξ先减后增

【解析】选B.由题意可知

⇒Eξ＝－

＋

－a＝

－a，

所以当a增大时，ξ的期望Eξ减小．

4．某船队若出海后天气好，可获得5000元；若出海后天气坏，将损失2000元；若不出海也要损失1000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是（　　）

A．2000元　　B．2200元　　C．2400元　　D．2600元

【解析】选B.出海的期望效益Eξ＝5000×0.6＋（1－0.6）×（－2000）

＝3000－800＝2200（元）.

5．某射手射击所得环数X的分布列如下：

X

7

8

9

10

P

x

0.1

0.3

y

已知X的均值EX＝8.9，则y的值为________．

【解析】由题意得

即

解得

答案：

0.4

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