物资分配的最优方案doc.docx

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物资分配的最优方案doc

摘要

救灾物资的分配原则会因不同灾区受灾的实际情况及政府决策者倚重的救灾满意度而不同。

本论文确立了两种分配原则，建立两个模型从不同角度解决物资的分配问题。

遵从通过合理优化救灾物资的分配使其能最大限度降低灾害的影响，能更好实现

整体分配物资的公平性的原则，模型一首先划定各物资的优先级，给定适当的权重；接着确定了不同灾民受灾程度的判定标准。

在此基础上用救灾效果表示整个救灾过

程使灾情降低的程度，并假设每分配出一个最小单位的救灾物资就相应产生一定量的救灾效果，最终整体救灾效果为它们之和。

模型的约束条件由各种物资的数量有限得到。

求解最终救灾效果在约束条件下的最大值，其对应的最优解为最佳分配方案。

遵从使每位灾民得到所缺每种物资的相对不满意度最小的原则，能更好实现灾民

对物资分配公平合理的满意度。

模型二根据救灾物资是否单位可分，将物资的分配按照物资单位可分与单位不可分两方面处理，每方面又按照充足与不充足两类情况对待。

物资充足的情况按照每名受灾者需求每种物资的数量进行分配；物资不充足的情

况，利用相对不满意程度，推导出具有物资公平分配的规律一Q值法，根据每名受灾者对每种物资的Q值的大小，将物资公平合理的分配下去。

关键词：

物资权重，受灾程度，相对不满意度，Q值法

Abstract

Disasterreliefmaterialsdistributionprincipleofdifferentareasaffectedwillrelyonactualsituationandthegovernmentpolicymakersreliefsatisfactionanddifferent.Thispaperestablishestwoallocationprinciple,establishtwomodelofsolvingmaterialsfromdifferentanglesallocationproblem.

Followthroughoptimizingtheallocationofreasonablereliefgoodscanminimizeitsimpact,canbetterdisastersinrealizingwholedistributionoftheprincipleoffairnessinthematerials,modelofvariousmaterialsdelimitafirstpriority,giventheappropriateweight;Thendeterminethedifferentvictimsflooddegreejudgementstandards.Onthisbasiswithreliefeffectsaidthereliefprocessmakesdisasterreductionofthedegree,andassumingeachdistributedoutaminimumunitiscorrespondingreliefgoodsproducedacertainamountofreliefeffect,andeventuallythewholesumfortheirreliefeffect.Modelbyvarioussuppliestheconstraintconditionsofthequantityislimitedtoget.Solvingeventuallyreliefeffectintheconstraintconditionofitscorrespondingmaximum,theoptimalsolutionisthebestscheme.

Followeachvictimsgotlackingeachresourcerelativenotsatisfactiontheprincipleofminimum,thebettertodistributesuppliesrealizevictimsfairsatisfaction.Modelaccordingtothereliefsuppliesunitcanpoints,whetherthedistributionaccordingtothematerialmovesuppliesunitcanpointsandunitindivisibletwoaspects,eachsideandhandleinaccordaneewiththeabundanceandnotenoughtwokindsofcircumstaneeseriously.Materialsaccordingtotheviewofeveryhundredvictimsofeachresourcedemandquantitydistribution;Materialisnotenough,usingrelativelydissatisfactionwithsupplies,isdeducedfairdistributionrule-Qvaluemethod,accordingtoeverynamevictimsofQvalueofeachthesizeofmaterials,materialsfairandreasonableallocationdown.

Keywords:

Materialweight,flooddegree,lesssatisfaction,Qvaluemethod

1引言

近些年来，全球频繁的遭遇各种自然灾害，如海啸、地震、雪灾、洪涝灾害等。

这些自然灾害给区域内人的生命和财产带来了巨大的伤害，生存面临着最严

峻的挑战，如2004年12月26日由印度尼西亚苏门答腊岛发生地震而引发的大规模海啸造成15.6万人死亡；2008年5月12日在四川汶川发生的大地震是我国建国以来有记录的最大的一次地震，直接严重地区达10万平方公里，此次地震

中，遇难69227人，受伤374643人，失踪17923人，直接经济损失超过1万亿元；而今年6月底以来，南方地区持续强降雨，广西、江西、湖南、湖北、贵州、重庆等12省区市发生严重洪涝灾害。

截至7月5日16时，受灾人口3937.2万人，因灾死亡75人，失踪13人，紧急转移安置93.8万人，倒塌房屋10.1万间,因灾直接经济损失130.2亿元。

这些自然灾害往往出其不意，为尽量减小灾害带来的损失，政府尽最大努力帮助灾民渡过难关。

其中救灾物资的合理分配就是这一重要问题的关键。

事实证

明，如果灾后灾民得不到有效地救助，将会有更多的人饱受痛苦，甚至失去宝贵的生命。

为确保灾民有饭吃、有衣穿、有水喝、有地方住、有病能得到及时医治，救灾物资分配的合理性及有效性就显得尤为重要。

由于灾害来之突然，很难在短

时间内筹备到充足的物资。

同时，由于各受灾者的灾情不同，致使对每种物资的急需程度和需求量都不一样。

那么，如何制定合理的分配方案？

如何使有限物资的作用充分发挥，从而最大程度地减少人民群众的生命和财产损失，维护灾区社

会稳定？

这些问题使得本文的研究具有重要意义。

近些年来，一些学者对物资分配问题已经有所关注，如货物运输以及物资调配等，同时也给出了一些求解物资分配问题的方法，如一维图解法和交互搜索式算法等。

本文侧重研究救灾物资的分配问题，并给出合理分配的数学模型，为满足受灾区群众的基本生存物资需求提供行之有效的分配方案。

2问题重述

某一灾区有N名受灾群众，现有一批救灾物资要发放给这些受灾者。

物资共有M种，每种物质的数量有限；各受灾者的灾情不同，对每种物资的急需程度和需求量不同。

（1）你作为一名分配者，请制定分配原则并给出合理的分配方法。

（2）试给出一个符合题意的数值算例。

3基本假设与符号说明

3.1基本假设

3.1.1模型一

1.每单位物资的救灾效果与该物资的重要程度正相关

2.每单位物资的救灾效果与得到该物资的灾民受灾程度正相关

3.每单位物资的救灾效果与能够提供的该种物资总量反相关

4.所有物资降低灾害的作用取决于每单位物资降低灾害作用之和

3.1.2模型

1•假设被分配的每类物资中，每件物资都是相同的

2.假设物资分配中，每件物资只分配给一名受灾者

3.假设物资分配过程中，人人平等，不考虑由于人际关系产生的特殊照顾等因素

4.假设每类物资都具有时效性，即在分配过程中每类物资都在保质期内

3.2符号说明

A：

第i位灾民

Bj:

第j种物资

5:

第i位灾民对第j种物资的需求量

勺:

第i位灾民分配到第j种物资的量

彳：

第i位灾民按需求度平均分得第j种物资的量

Wj:

第j种物资的权重

Si:

第i种物资总量

Gi:

第i位灾民的受灾程度

R1j（x1j,x2j）:

甲对乙的相对不满意度

R2j（x1j,x2j）:

乙对甲的相对不满意度

Qu：

第i位灾民对第j种物资的相对不满意度

4问题的分析

为减轻自然灾害的影响，对应急物资分配策略的研究就有了十分重要的意义。

通过对问题的分析与理解并结合实际情况，我们给出了抗险救灾中物资分配的基本原则：

在应急物资有限的情况下，对救灾物资进行最优分配，使得分配结果能最大限度地降低灾害。

这是在有约束条件下的单目标规划问题。

我们用最终救灾效果表示物资分配降低灾害的程度，那么分配原则就等价于使最终救灾效果最大。

而最终救灾效果又与每单位物资产生的救灾效果有关。

通过给出物资权重

和受灾程度的概念我们对每单位物资产生的救灾效果进行了数学表示，从而通过

求和,最终确定了主函数-最终救灾效果。

在求解模型时，由于非线性离散优化问题的求解十分困难，我们进行了适当的简化，转化为非线性连续优化问题，继而通过MATLA优化工具箱求解了模型。

若是从个人角度考虑物资分配的效果，应该尽可能做到公平合理，使得每位灾民得到所缺每种物资的相对不满意度最小。

既要把有限的物资分配到N名受

灾群众手中，又要使这N名受灾群众都有一个尽可能大的满意度，所以需要把M种有限数量的物资对N名受灾群众进行统筹分配。

若该种物资足量，即可全部满足受灾群众的需求，而剩余物资暂时储存或调配到其他灾区。

若不足量则应分给灾民的物资数量为：

对第j种物资的需求量

所有灾民对第j种物资的需求量

程度都相等，从而达到公平分配的目的，但往往该种物资是一个不可分割的整体，对于统筹分配的结果可能不是整数，所以需要对其取整分配，因此分配的结果不会达到绝对的公平。

这时对剩余的一件或n件物资按不满意度的大小一一进行分配，依此类推，直到待发放的物资全部发放为止。

由于上述分配方法很容易出现多个最大不满意度相同的情况，或者把物资分配给了不满意度大的一方，但相对于其他受灾群众来说，同样的一件物资所能改变的不满意度的程度存在着差异，所以不满意度无法完全解决剩余物资的分配问题。

从而，引出了相对不满意度，

进而提出了Q值法，剩余物资的分配问题得到了解决。

若所求得的最大Q值有多个相同，则说明该种物资对于受灾者是同等重要的，此时对剩余的一件物资随机

分配给其中的一名受灾者即可，若还有剩余物资，则依此法循环分配即可，直到物资完全发放。

最终达到合理分配的目的。

5建模与求解

5.1模型一的建立与求解

5.1.1模型一的准备

5.1.1.1用矩阵描述灾民对各种物资的需求状况

某地区遭受灾害，灾民的各种生活物资出现了不同程度的短缺。

建立NX

M型矩阵A即可各个灾民对各种物资的缺少状况。

帖t12…t1M

t21

tNM

其中tj表示灾民A缺少物资Bj的量

A中数据由物资分配者通过对实际灾情的调查获得，均为非负常数。

其中A

irur

的行向量a表示灾民Ai对不同物资的需求量。

A的列向量bj表示整个灾区对物资Bj的需求量情况。

5.1.1.2用矩阵描述灾民对各种物资的需求状况

建立了NXM型矩阵B描述某一时刻对物资的分配情况:

X11X12…X1M

X21

Xij

XN1

Xij表示该时刻已分配给灾民A物资Bj的数量

其中B的行向量表示该时刻灾民A已分配到各种物资的数量，B的列向量表示该时刻已分配出物资Bj的情况。

5.1.1.3物资重要程度进行描述

由于不同物资在维持灾民正常生活中的作用不同，相同量的不同物资在减轻灾害的效用上不同。

为对物资的重要程度进行数学描述，将应急物资划分为四大类，并对其评定优先级。

表5-1物资分类及优先级

优先级

物资大类

举例

最高优先级

关键物资:

应急食品：

如饼干、镆片等

较咼优先级

基础物资

衣服、鞋子、棉被等

中等优先级

重要物资:

大米、面粉、油等丁

较低优先级

可替代物资

其他生活物资：

消毒液、收音机等

根据物资Bj所属大类及其优先级，按优先级与权重正相关的原则，给物资予Bj合理的权重Wj，规定0

5.1.1.4对灾民受灾程度的函数表示

不同灾民的受灾严重程度不同，灾民受灾程度与其短缺物资的种类、数量及

能够供给的物资总量有关。

当能够供给给灾民其所缺此种物资数量越大时，灾民

的受灾程度就越小。

用函数Gi表示灾民A的受灾程度

假设某一时刻灾民A已分到各物资的量为Xil、X2Xm，则此时定义这

一时刻Gi为：

M

GijtjXij，（jWjJSj）

ji

5.1.2模型一的建立

5.1.2.1目标函数说明

设函数f表示最终救灾效果，则目标函数为maxF，

（1）设物资Bj的第k个单位量分配给灾民A之后产生的救灾效果为hjk

则由假设1和2可得Fj,j,kjGik1。

（2）当物资Bj分配给灾民A的数量为Xij时，物资Bj在灾民A上产生的救灾

Xj

效果之和为F,jFi,j,k

k1

（3）物资Bj全部分完后在所有灾民中产生的救灾效果之和为

NNxijN为

FjFi,jFi,j,kjGik1

i1i1k1i1k1

（4）所有种物资分配完后，得到最终救灾效果为:

M

F片

j1

从而

M

Nxj

F

Gi

ji

i1k1

k1

j1

止丰〒出.

曰标函数进

步表小为：

M

Nxj

max

jG

3ik1

j1

i1k1

5.122约束条件

本题约束条件为：

（1）各种物资的数量有限，即物资Bj的分配总量不大于其给供给总量Si，通过4.2中矩阵B的列向量，可将约束条件表述为：

N

XijSj

i1

⑵灾民A得到物资Bj的量不大于其需求总量tij，即:

5.1.3模型一的求解5.1.3.1确定分配物资的先后顺序

已划定了不同物资的优先级，考虑到实际救灾中必须优先对急需物资进行分配，我们按物资的优先级从大到小进行排序，之后再逐一对每种物资进行分配。

不妨设排序后物资先后顺序为Bi,B2LBm。

5.1.3.2物资的分配方法

X‘11

•••yj*

1,j1

0…

0

x'21

•••NZ*

X2,j1

0

・・・

・・・

・・・

・・・・・・

0

?

・・・

B'

•・・•・・

0

?

•••

・・・

・・・・・・

0

?

・・・

X'n1

•••NZ*

N,j1

0

・・・

0

用A'表示此时各种灾民物资短缺情况则有

t11X11

t12X21

L

t1j

L

t21X21

t22X22

L

t2j

L

A'AB't31x'31

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

uu

T

设对Bj的分配方案为dj

X1jX2j'

Xn

j，

即灾民

B:

A分到物资的数

（2）

量为xij°

未分Bj时，灾民Ai的受灾程度为:

G01ti1Xi1

2ti2xi2

.1ti■1x'i-1j1i,j1i,j1

jti,jj1ti,j1

m（,m

j1（

M

kti,kxi,k

kti,kjti,j

k1

kj1

ajlj

j1（

M

akti,kxi,k

kti,k

k1

kj1

当灾民A得到第1个单位的物资Bj

时，产生的救灾效果为：

2

Fi,j,ijG（0）j（ajtj）ajjtij

此时，由于灾民A已得到了一个单位的物资Bj，灾民A的受灾效果Gj发生了变化。

当A再得到一个单位的Bj时，产生的救灾效果为：

Fi,j,2jGi

（1）j[aj（tij1）]ajj2（®1）

以此类推，当灾民A得到第Xij个单位Bj时，产生的救灾效果为:

j（tijXj1）

综上，当A分到Bj的数量为Xij时，产生的救灾效果之和为:

xz.XZ..

Xjxij

Fi,jFi,j,k

k1k1

N

F-F

ji,j

所以最终i1

N

222

Xj（ajjtjj）jXij（Xj1）/2

i1

即当只针对Bj进行分配时目标函数为：

N

maxFjmax

i1

约束条件为：

N

xS

i1

（3）MATLAB程序直接求解

在对物资Bj进行分配时，目标函数为关于Xi,j,X2,jLXii,j,Xi,j的N元二

N

次函数，约束条件为XSj。

此时可直接利用MATLAB程序求出最优解。

i1

（4）结果的处理

因为离散的最优解问题处理起来过于困难，我们在此将其近似为连续的最

优解问题，但这使求解出的结果可能不为整数。

我们对求解出的结果按实际情况进行了合理调整之后得到了最终分配方案。

5.2模型二的建立与求解

救灾物资可划分为单位可分与单位不可分两种情况，对每种情况而言，物资又存在着充足与不充足两类状况，所以本模型针对上述物资单位可分与单位不可分两种情况进行研究，并对每种情况做充足与不充足两类状况处理。

5.2.1对单位可分的物资的分配方法

5.2.1.1物资供应充足

此种物资单位可分且供应充足，则可以满足各个受灾者的需求，使得

（tijXj），即给受灾者分配的此种物资量为其需求量。

此时每名受灾者对该种物资分配的满意度最大，不满意度为零，即不满意度达到最小。

这样对于每名受灾者来说既公平又合理。

如果出现此种物资剩余的情况，则把剩余物资留做储备或调配到其他灾区。

N

剩余量为：

SiXj

i1

521.2物资供应量不能满足需求

因为该种物资供应量并不充足，所以不能完全满足各个受灾者的需求。

但由于单位物资可分，则可根据每名受灾者对此物资的需求量与总需求量之间的比例关系进行分配。

这样虽然不能使每名受灾者的不满意度达到零，但是可以使每名

受灾者的不满意度都相等，从而达到了公平合理分配物资的目的。

5.2.2对单位不可分的物资的分配方法

此类物资单位不可分，且物资也有充足与不充足两种情况

5.2.2.1该种物资供应充足

该种物资供应充足，则只要满足每名受灾者对此种物资的需求量，便可使每名受灾者的不满意度为零。

所以按受灾者的需求量来分配即可，这样既公平又合理。

若此物资有剩余，则将剩余物资留做储备或调到其他灾区。

N

剩余量为：

Sjxij

i1

5.2.2.2该种物资供应不足

得量为整数的情况，但针对单位不可分的第j种物资来说，应对fj向下取整,

即Xjfj。

Xj才是第i名受灾者对第j种物资的实际分得量。

但取整后，此

N

种物资有剩余，剩余量为（SjXj）,因物资不充足，所以应对该种物资进行

i1

全部发放，才能达到最大限度的救灾目的。

接下来便是如何对剩余的物资进行合理发放的问题。

下面针对甲乙两名受灾者对第j种物资的剩余量的合理分配问题进行了讨论。

因每分配一个单位的剩余物资，甲乙两名受灾者的相对不满意度会发生变化，所以剩余救灾物资应是逐一分配下去的。

用Xij与X2j分别表示甲与乙

的实际分得的第j种物资的量，tii与t2j分别表示甲与乙需求第j种物资的量。

则

Xt

（1也）表示甲对第j种物资的不满意度；（1丄）表示乙对第j种物资的不满tijX2j

意度。

根据不满意度的大小分配剩余的物资。

若甲对第j种物资的不满意度大于

乙对第j种物资的不满意度。

即（1如）（1邑），则应先分给甲。

再计算出

XijX2j

此时甲的不满意度并与乙进行比较，同理可知，将其中一件剩余的物资分给不满意度大的受灾者，依此类推，直到剩余物资完全发放。

但在对以上问题的计算、比较、分析中发现：

当把一件物资分别分给甲和乙时，其不满意度的改变程度存在着差异。

另外，若甲，乙的不满意度相同时，用这种方法将不能解决此问题。

为了更加合理的将剩余的物资进行分配，因此，建立了相对不满意度。

Q值的推导

制定物资分配方案，其目的是使相对不满意度尽可能小。

考虑甲与乙两名受灾者的相对不满意度的大小来进行分配

具体步骤如下：

若物资剩余1件或n件应如何分配。

假设甲和乙已分配到的物资为X1j和X2j，而

实际上甲和乙对此种物资需求的数量分别为切和t2j。

假设（1（1邑），即

X1jX2j

甲的不满意度大于乙的不满意度，若再分配1件物资时会出现以下三种情况

1）（1勺」）（1巴），表明即使甲分得这件物资，甲的不满意度还是大

t1jt2j

于乙的不满意度，所以此物资很显然的应当分给甲；

1x.

-）（1"），表明当甲分配到此物资时变为乙的不满意度大于甲

t2j

这样就应当考虑到乙对甲的相对不满意度与甲对乙的相对不满此时乙对甲的相对不满意度为：

X2jX1j1

（1严（1十）

R2j（Xj11,Xj2）——J厂」；（（1

1X"1

t1j

受灾者的情况，其Q值公式的形式为:

Qj（1右）（1jA（k1,2LN）,（（1卒）°）。

只要计算出所有受灾者的Q值，将要分配的每种物资逐一分配给Q值最大的受灾

者即可。

若出现最大Q值相等的情况，则需随机分给其中的一名受灾者。

若此

时其不满意度变为零，则不再计算它的Qj值，或令它的Qj值为最小。

剩余n件

物资时，则可对每一件物资按照上述方法逐一进行分配，直到剩余物资的数量为