学年九年级数学下册第二章二次函数24二次函数的应用.docx
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学年九年级数学下册第二章二次函数24二次函数的应用
2.4.1二次函数的应用
一、教学目标
1.掌握长方形和窗户透光最大面积问题,体会数学的模型思想和数学应用价值.
2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识解决实际问题.
二、课时安排
1课时
三、教学重点
掌握长方形和窗户透光最大面积问题,体会数学的模型思想和数学应用价值.
四、教学难点
运用二次函数的知识解决实际问题.
五、教学过程
(一)导入新课
引导学生把握二次函数的最值求法:
(1)最大值:
(2)最小值:
(二)讲授新课
活动1:
小组合作
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB和AD分别在两直角边上.
(1)设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示?
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大?
最大值是多少?
解:
活动2:
探究归纳
先将实际问题转化为数学问题,再将所求的问题用二次函数关系式表达出来,然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值,有时必须考虑其自变量的取值范围,根据图象求出最值.(三)重难点精讲
例题:
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?
此时,窗户的面积是多少?
解:
即当x≈1.07m时,窗户通过的光线最多.此时窗户的面积为4.02m2.
(四)归纳小结
“最大面积”问题解决的基本思路:
1.阅读题目,理解问题.
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.
3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.
4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.
5.检验结果的合理性.
(五)随堂检测
1.将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形,则这两个正方形面积之和的最小值是cm2.
2.用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框,下部为矩形,上部为等腰直角三角形,其斜边长为2xm.当该金属框围成的图形面积最大时,图形中矩形的相邻两边长各为多少?
请求出金属框围成的图形的最大面积.
3.学校计划用地面砖铺设教学楼前的矩形广场的地面ABCD,已知矩形广场地面的长为100米,宽为80米,图案设计如图所示:
广场的四角为小正方形,阴影部分为四个矩形,四个矩形的宽都是小正方形的边长,阴影部分铺设绿色地面砖,其余部分铺设白色地面砖.
(1)要使铺设白色地面砖的面积为5200平方米,那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米?
(2)如图铺设白色地面砖的费用为每平方米30元,铺设绿色地面砖的费用为每平方米20元,当广场四角小正方形的边长为多少米时,铺设广场地面的总费用最少?
最少费用是多少?
4.如图,在矩形ABCD中,AB=m(m是大于0的常数),BC=8,E为线段BC上的动点(不与B,C重合).连接DE,作EF⊥DE,EF与线段BA交于点F,设CE=x,BF=y.
(1)求y关于x的函数关系式.
(2)若m=8,求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?
(3)若
,要使△DEF为等腰三角形,m的值应为多少?
5.如图,东梅中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园,矩形的一边用教学楼的外墙,其余三边用竹篱笆.设矩形的宽为x,面积为y.
(1)求y与x的函数关系式,并求出自变量x的取值范围.
(2)生物园的面积能否达到210平方米?
说明理由.
【答案】
1.12.5
2.根据题意可得:
等腰三角形的直角边为
m矩形的一边长是2xm,其邻边长为
3.解:
(1)设矩形广场四角的小正方形的边长为x米,根据题意
得4x2+(100-2x)(80-2x)=5200,
整理,得x2-45x+350=0,
解得:
x1=35,x2=10,经检验x1=35,x2=10均适合题意,
所以,要使铺设白色地面砖的面积为5200平方米,
则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或者10米.
(2)设铺设矩形广场地面的总费用为y元,广场四角的小正方形的边长为x米,则
y=30[4x2+(100-2x)(80-2x)]+20[2x(100-2x)+2x(80-2x)]
即y=80x2-3600x+240000,配方,得
y=80(x-22.5)2+199500.
当x=22.5时,y的值最小,最小值为199500.
所以当矩形广场四角的小正方形的边长为22.5米时,
铺设矩形广场地面的总费用最少,最少费用为199500元.
4.⑴在矩形ABCD中,∠B=∠C=90°,
∴在Rt△BFE中,∠1+∠BFE=90°,
又∵EF⊥DE,∴∠1+∠2=90°,
∴∠2=∠BFE,
∴Rt△BFE∽Rt△CED,
∴
∴
即
.
⑵当m=8时,
化成顶点式:
(3)由
,及
得关于x的方程:
,得
.
∵△DEF中∠FED是直角,
∴要使△DEF是等腰三角形,则只能是EF=ED,
此时,Rt△BFE≌Rt△CED.
∴当EC=2时,m=CD=BE=6;当EC=6时,m=CD=BE=2.
即△DEF为等腰三角形,m的值应为6或2.
5.解:
(1)依题意,得y=(40-2x)x.
∴y=-2x2+40x.
x的取值范围是0 (2)当y=210时,由 (1)可得,-2x2+40x=210. 即x2-20x+105=0. ∵a=1,b=-20,c=105, ∴ ∴此方程无实数根,即生物园的面积不能达到210平方米. 六.板书设计 2.4.1二次函数的应用 探究: 例题: “最大面积”问题解决的基本思路: 1.阅读题目,理解问题. 2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系. 3.用数量的关系式表示出它们之间的关系. 4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值. 5.检验结果的合理性. 2.4.2二次函数的应用 一、教学目标 1.经历探索T恤衫销售过程中最大利润等问题的过程,体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,感受数学的应用价值. 2.掌握实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值. 二、课时安排 1课时 三、教学重点 运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值. 四、教学难点 运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值. 五、教学过程 (一)导入新课 某超市有一种商品,进价为2元,据市场调查,销售单价是13元时,平均每天销售量是50件,而销售价每降低1元,平均每天就可以多售出10件.若设降价后售价为x元,每天利润为y元,则y与x之间的函数关系是怎样的? (二)讲授新课 活动1: 小组合作 二次函数y=a(x-h)2+k(a 0),顶点坐标为(h,k),则 ①当a>0时,y有最小值k; ②当a<0时,y有最大值k 【探究】某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系: 在一段时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析,销售单价是多少时,可以获利最多? 【解析】设销售单价为x(x≤13.5)元,那么 销售量可以表示为: 件; 每件T恤衫的利润为: 元; 所获总利润可以表示为: 元; 即y=-200x2+3700x-8000=-200(x-9.25)2+9112.5 ∴当销售单价为元时,可以获得最大利润, 最大利润是元. 活动2: 探究归纳 先将实际问题转化为数学问题,再将所求的问题用二次函数关系式表达出来,然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值,有时必须考虑其自变量的取值范围,根据图象求出最值. (三)重难点精讲 例题2.某宾馆有50个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天180元时,房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时,就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定,每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价每天增加x元(x为10的整数倍). (1)设一天订住的房间数为y,直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围. (2)设宾馆一天的利润为w元,求w与x的函数关系式. (3)一天订住多少个房间时,宾馆的利润最大? 最大利润是多少元? 【解析】 (1)y=50- ; (2)w=(180+x-20)y=(180+x-20)(50- )= (3)因为w= 所以x= =170时,w有最大值,而170>160,故由函数性质知,x=160时,利润最大,此时订房数y=50- =34, 此时的利润为10880元. 例题3某水果批发商场经销一种水果,如果每千克盈利5元,每天可售出200千克,经市场调查发现,在进价不变的情况下,若每千克涨价1元,销售量将减少10千克. (1)现该商场要保证每天盈利1500元,同时又要顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元? (2)若该商场单纯从经济利益角度考虑,这种水果每千克涨价多少元,能使商场获利最多? 【解析】 (1)设每千克应涨价x元,列方程,得 (5+x)(200-10x)=1500, 解得x1=10,x2=5.因为要顾客得到实惠,5<10,所以x=5. 答: 每千克应涨价5元. (2)设商场每天获得的利润为y元,则根据题意,得 y=(x+5)(200-10x)=-10x2+150x+1000, 当x= 时,y有最大值. 因此,这种水果每千克涨价7.5元,能使商场获利最多 (四)归纳小结 “何时获得最大利润”问题解决的基本思路. 1.根据实际问题列出二次函数关系式. 2.根据二次函数的最值问题求出最大利润 (五)随堂检测 1.某广场有一喷水池,水从地面喷出,如图,以水平地面为轴,出水点为原点,建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=-(x-2)2+4(单位: 米)的一部分,则水喷出的最大高度是() A.4米B.3米 C.2米D.1米 2.为迎接第四届世界太阳城大会,德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯.已知太阳能路灯售价为5000元/个,目前两个商家有此产品.甲商家用如下方法促销: 若购买路灯不超过100个,按原价付款;若一次性购买100个以上,则购买的个数每增加一个,其价格减少10元,但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个.乙商家一律按原价的80℅销售.现购买太阳能路灯x个,如果全部在甲商家购买,则所需金额为y1元;如果全部在乙商家购买,则所需金额为y2元. (1)分别求出y1,y2与x之间的函数关系式. (2)若市政府投资140万元,最多能购买多少个太阳能路灯? 3.桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在距离OA1m处达到最大高度2.25m. 如果不计其他因素,那么水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不致落到池外? 4.某市政府大力扶持大学生创业.李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似地看作一次函数: (1)设李明每月获得利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润? (2)如果李明想要每月获得2000元的利润,那么销售单价应定为多少元? (3)根据物价部门规定,这种护眼台灯的销售单价不得高于32元,如果李明想要每月获得的利润不低于2000元,那么他每月的成本最少需要多少元? (成本=进价×销售量) 【答案】 1.【解析】选A.抛物线的顶点坐标为(2,4),所以水喷出的最大高度是4米. 2.【解析】 (1)由题意可知, 当x≤100时,购买一个需5000元,故y1=5000x 当x>100时,因为购买个数每增加一个,其价格减少10元但售价不得低于3500元/个,所以x≤ 即100 当x>250时,购买一个需3500元,故y1=3500x; (2)当0≤x≤100时,y1=5000x≤500000<1400000; 当100 y1=6000x-10x2=-10(x-300)2+900000<1400000; ∴由 得到x=400 由 得到 故选择甲商家,最多能购买400个太阳能路灯 3.【解析】建立如图所示的坐标系,根据题意,得,点A(0,1.25),顶点B(1,2.25). 设抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k,由待定系数法可求得抛物线表达式为: y=-(x-1)2+2.25. 当y=0时,得点C(2.5,0);同理,点D(-2.5,0). 根据对称性,那么水池的半径至少要2.5m, 才能使喷出的水流不致落到池外. 4.解析: (1)由题意,得: w=(x-20)·y =(x-20)·(-10x+500) =-10x2+700x-10000 当 时,w有最大值. 答: 当销售单价定为35元时,每月可获得最大利润. (2)由题意,得 解这个方程,得x1=30,x2=40. 答: 李明想要每月获得2000元的利润,销售单价应定为30元或40元. (3)∵ ∴抛物线开口向下. ∴当30≤x≤40时,w≥2000. ∵x≤32, ∴当30≤x≤32时,w≥2000. 设成本为P(元),由题意,得P=20(-10x+500)= -200x+10000,∵k=-200<0,∴P随x的增大而减小. ∴当x=32时,P最小=3600. 答: 想要每月获得的利润不低于2000元,每月的成本最少需要3600元. 六.板书设计 2.4.2二次函数的应用 探究: 例题2: 例题3: “何时获得最大利润”问题解决的基本思路. 1.根据实际问题列出二次函数关系式; 2.根据二次函数的最值问题求出最大利润.
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