数学思想方法优化思想的渗透教学案例.docx

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数学思想方法优化思想的渗透教学案例

数学思想方法优化思想的渗透

——记《烙饼、沏茶问题》“一课二上”课例研究

【课例背景】

数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活动。

所谓数学方法，是指某一数学活动过程的途径、程序、手段，它具有过程性、层次性和可操作性等特点。

数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段，因此，人们把它们称为数学思想方法。

思想方法的教学是以人为本的教育理念下培养学生素养为目标的需要。

正如布鲁纳所说“不管他们将来从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生。

”理论研究和人才成长的轨迹也都表明，数学思想方法在人的能力培养和素质提高方面起着重要作用。

【教材简析】

“数学广角”是义务教育课程实验教科书人教版数学新增设的一个内容，和前面几册教材一样，在本册中也专门安排“数学广角”一单元，向学生渗透一些重要的数学思想方法。

　　《标准》中指出：

当学生“面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻找解决问题的策略。

”本课时主要是通过日常生活中的一些简单事例，让学生尝试从优化的角度在解决问题的多种方案中寻找最优的方案，初步体会运筹思想在实际生活中的应用以及对策论方法在解决问题中的运用。

在日常生活中，解决问题的方法学生很容易找到，而且会找到解决问题的不同的策略，本课的关键是渗透优化思想，让学生理解优化的思想，形成从多种方案中寻找最优方案的意识，提高学生的解决问题的能力。

【教学设计】

为了达到渗透优化思想的目的，提高课堂教学的有效性。

经过精心设计，制定出了初步的实施方案。

对教材内容的进行了调整和条理化设计，让学生在利用学具摆一摆的动手实践中自然而然的理解优化思想。

【教学实施】（第一次开课）

一、创设情景走进生活

1、师：

家里来了客人你怎么做？

2、生回答引入课题。

（板题并多媒体出示例2）

二、探究新知，研究问题

1、仔细观察课件上的图，说说你了解到了什么？

师：

我们来看看小明沏茶都需要做哪些事？

分别需要多长时间？

（多媒体出示沏茶的各项工序图）

2、学生自主设计方案（小组合作学习）

师提醒：

小明需要做这么多事，你帮小明想一想，他应该先做什么？

再做什么？

怎样才能让客人尽快喝上茶？

请同学们利用学具，设计一种能尽快让客人喝到茶的方案。

　　3、展示学生不同的方案

（1）小组展示，说出总用时

（2）抽生上台展示，说出总用时　　

4、学生比较选择并选出最合理的安排方法

让学生从不同的方案中，通过观察比较，找出自己认为能让客人尽快喝到茶的方案。

5、小结：

刚才的方法都是通过同时做几件事才节省时间，那么我们在做一些事时，能同时做的事情越多所用的时间也就越短。

三、结合生活，实践应用

同学们谈谈，生活中哪些事情可以通过合理的安排来节省时间提高效率？

四、课堂小结

通过今天这节课的学习，你有什么收获？

你有什么想说的吗？

（让学生畅所欲言，把自己的想法都说出来。

）

五、回归生活

回家后，请你给妈妈烧壶水，给爸爸沏杯茶（解决生活中的实际问题。

）

【教后反思】

1、灵活运用教材，促使学生积极参与教学活动。

由于小学生比较常见熟悉的沏茶这一生活现象作为教材入手。

2、体现了学生自主学习。

课后，我们年级组的老师分别对高老师的课展开了热烈的评议。

最终同仁们认为思想渗透到位，可是课堂导入这一环节令人不太满意，显得生硬。

【再教设计】

在广泛征求各位老师建议的基础上，在二次备课时，修改了导入环节，又加强了学生的实践应用环节的练习，使学生在读中能更好理解、掌握优化的思想，形成从多种方案中寻找最优方案的意识，提高学生的解决问题的能力。

【再教实施】（第二次开课片段摘录）

一、创设情景走进生活

1、多媒体出示情境图：

周末，老师家门铃响了，打开门一看是李老师来了，我马上去给李老师沏茶，可是沏茶需要以下工序（出示）请同学们帮帮老师，看如何让李老师尽快喝到茶？

2、引入课题，板题。

二、探究新知，研究问题

1、仔细观察课件上的图，说说你了解到了什么？

生：

沏茶都需要做哪些事？

分别需要多长时间？

2、学生自主设计方案（小组合作学习）

师提醒：

小明需要做这么多事，你帮小明想一想，他应该先做什么？

再做什么？

怎样才能让客人尽快喝上茶？

请同学们利用学具，设计一种能尽快让客人喝到茶的方案。

　　3、展示学生不同的方案

（1）小组展示，说出总用时

（2）抽生上台展示，说出总用时　　

4、学生比较选择并选出最合理的安排方法

让学生从不同的方案中，通过观察比较，找出自己认为能让客人尽快喝到茶的方案。

5、小结：

刚才的方法都是通过同时做几件事才节省时间，那么我们在做一些事时，能同时做的事情越多所用的时间也就越短。

三、结合生活，实践应用

1、同学们谈谈，生活中哪些事情可以通过合理的安排来节省时间提高效率？

2、一个小女孩遇到一个问题，看我们能不能帮她解决？

出示做一做2

3、谁来告诉大家你按照怎样的顺序呢？

（也可进行讨论）

四、课堂小结

通过今天这节课的学习，你有什么收获？

你有什么想说的吗？

（让学生畅所欲言，把自己的想法都说出来。

）

五、回归生活

回家后，请你给妈妈烧壶水，给爸爸沏杯茶（解决生活中的实际问题。

）

【再反思】

这一节课通过简单最优化的问题向学生渗透优化思想，让学生体会运筹思想在实际解决问题中的作用，来感受数学的趣味。

其特点主要体现在以下几个方面：

1、灵活运用教材，促使学生积极参与教学活动。

由于小学生比较常见熟悉的沏茶这一生活现象作为教材入手，精心设计了先为客人沏茶再为客人吃烙饼的生活情境。

当画面上呈现妈妈让小明帮着给王阿姨沏茶这一数学信息时，没有急于想去解决如何让王阿姨尽快喝上茶，而是让学生想想平时是怎么做的？

特意激活学生已有的生活经验，学生处于主动思考积极动脑的最佳状态，有效地促使学生积极参与学习活动。

2、给学生提供从事数学活动的机会，让学生成为学习的主人。

相信学生，把学生推上学习的主体地位，课堂上以一个个具体事例让学生观察、操作、讨论和交流等活动，使学生在解决具体问题中理解优化的思想，形成从多种方案中寻找最优方案的意识，提高学生的解决问题的能力。

课题

两步计算的应用题、用画图法解应用题

知识点

1、用数学的方法解决在生活和工作中的实际问题

—————解应用题。

2、用画图来表示题目中的条件，帮助理解题意，正确解答。

教学目标

1、分析思考题目所包含的数量关系，锻炼思维的灵活性。

2、让学生在学习数学的过程中，感学与日常生活的密切联系，体验数学的价值，增强受数应用数学的意识。

3、在探索问题解决方法的过程中，发展学生的数学思考能力，培养主动探索的意识。

教学内容

第一课时：

【典型例题】

例1：

小明的钱不到5元（是整角数），如果买6枝铅笔，钱不够，还少5角。

小明原来最多有多少钱？

解题策略：

问题求的是“小明原来最多有多少钱”。

由题意已知小明原来的钱不到5元，但加上5角后就超过5元，且能被6整除。

假设每枝笔8角钱，6枝则是48角，不到5元，所以不能；如果每枝9角，6枝就是54角，再减去少5角，原来最多49角。

算式：

6×9-5=49（角）

【画龙点睛】

解答两步计算的应用题，如果不认真思考，提笔就做，很容易出错。

所以应该先从条件或问题入手，仔细分析，找出正确的解题方法。

【举一反三】

1、一盒糖果，总数不超过20颗，把它们平均分给6个小朋友，还余2颗，这盒糖最多有几颗？

最少有几颗？

2、停车场里原来停放的轿车比卡车多12辆，后来轿车开走6辆，卡车开进8辆，这时停车场里哪种车多？

多多少辆？

3、有大、小两桶油共重50千克，两个桶都倒出同样多的油后，分别还剩10千克和6千克。

大、小两个桶原来各装油多少千克？

第二课时：

【典型例题】

例2：

小明有10枝铅笔，小红有4枝铅笔，要使两人的铅笔同样多，小明要给小红几枝铅笔？

解题策略：

我们用图来表示已知条件：

小明：

小红：

从图中我们可以清楚地看到，小明比小红多6枝铅笔，把多出来的6枝铅笔平均分成两份，即6÷2=3，所以小明给小红3枝铅笔后，两人的枝数相同。

【画龙点睛】

用画图法解应用题，特别是解技巧性较强的题，能形象直观地揭示数量关系，使抽象思维与形象思维协同发挥作用，从而构建出解题思维的模式。

【举一反三】

1、小明给小红3枝铅笔后，两人的枝数相同。

问：

小明比小红多几枝铅笔？

2、小红有4枝铅笔，小明给小红3枝铅笔后，两人的枝数相同，小明有几支铅笔？

3、一根12米长的木条，锯3次，每段几米？

4、小红妈妈到水果店买苹果，她的钱若买3斤多1元，若买4斤少1元5角，问妈妈带了多少钱？

6、二

（1）班同学做早操，每行人数相等，小李的位置从左边数是第3个，从右边数是第4个，从前边数是第4个，从后边数是第2个。

问：

二

（1）班有多少同学在做早操？

练习

1、学校图书馆有文艺书386本，科技书比文艺书少148本，科技书与文艺书一共有多少本？

2、小丽到商店去买练习本，她的钱若买4本还剩2分；若买5本，就差1角。

问小丽有多少钱？

3、一堆水果糖，8个小朋友来分，每人分6颗，还多7颗。

这堆糖一共有多少颗？

4、小明的爸爸年龄比妈妈大6岁，妈妈今年40岁，爸爸今年多少岁？

小明出生时妈妈30岁，小明今年是多大？

5、商店有320本练习本，又运来500本，卖出去480本，商店还有多少本练习本？

课题

等量代换法

知识点

1、等量代换的思想：

相等的量可以互相代替。

2、运用等量代换法来解决生活中的实际问题。

3、在解决等量代换数学问题的过程中，初步体会等量代换数学题的思想方法。

教学目标

1．使学生能初步学会等量代换的方法，接受等量代换的思想。

2．培养学生的观察力及初步的逻辑推理能力。

3、让学生在经历解决问题的过程中，获得经验，让学生充分感受生活中处处有数学，数学与生活息息相关，形成我要学好数学的精神风貌。

4、在学习过程中培养学生团结、友好合作，营造和谐共进的氛围。

教学内容

第一课时

【典型例题】

例1、1只河马的体重等于2只大象的体重，1只大象的体重等于10匹马的体重。

1匹马的体重是320千克，这只河马的体重是多少千克？

解题策略：

1匹马的体重是320千克，10匹马的体重就是320×10＝3200（千克），这也就是１只大象的体重。

又知１只河马的体重等于2只大象的体重，用2只大象的体重代替1只河马，则这只河马体重是3200×2＝6400（千克）

【画龙点睛】

也可以这样想：

1只大象的体重是10匹马的体重，即2只大象的体重就等于2个10匹马的体重，即20匹马的体重，因为2只大象的体重与1只河马的体重相等，所以1只河马的体重就是20匹马的体重。

320×（2×10）＝6400（千克）

【举一反三】

1、已知1个=3个,1个=5个。

那么1个=（）个

2、△＋△＋△＋□＝25，□＝△＋△。

　求　△＝？

　　□＝？

3、一只菠萝的重量等于2只梨的重量，也等于4只香蕉的重量，还等于2只苹果、1只梨、1只香蕉的重量之和。

那么1只菠萝等于几只苹果的重量？

4、一条鱼，鱼头重9千克，鱼头重量等于鱼身一半加鱼尾的重量，而鱼身的重量等于鱼头加鱼尾的重量。

问：

这条鱼重几千克？

练习

1．一根20米长的木条，把它据成4段，要锯几次？

2．商店有480本练习本，又运来500本，卖出去360本，商店还有多少本练习本？

3．小明的爸爸年龄比妈妈大5岁，妈妈今年38岁，爸爸今年多少岁？

小明出生时妈妈30岁，小明今年是多大？

4．一个数加上4，减去4，乘以4，再除以2，结果是2，求这个数。

5．一条毛毛虫从幼虫长成成虫，每天长大一倍，10天时能长到20厘米。

问：

长到5厘米时是第几天？

课题

两步计算的应用题、用画图法解应用题

知识点

1、用数学的方法解决在生活和工作中的实际问题

—————解应用题。

2、用画图来表示题目中的条件，帮助理解题意，正确解答。

教学目标

1、分析思考题目所包含的数量关系，锻炼思维的灵活性。

2、让学生在学习数学的过程中，感学与日常生活的密切联系，体验数学的价值，增强受数应用数学的意识。

3、在探索问题解决方法的过程中，发展学生的数学思考能力，培养主动探索的意识。

教学内容

第一课时：

【典型例题】

例1：

小明的钱不到5元（是整角数），如果买6枝铅笔，钱不够，还少5角。

小明原来最多有多少钱？

解题策略：

问题求的是“小明原来最多有多少钱”。

由题意已知小明原来的钱不到5元，但加上5角后就超过5元，且能被6整除。

假设每枝笔8角钱，6枝则是48角，不到5元，所以不能；如果每枝9角，6枝就是54角，再减去少5角，原来最多49角。

算式：

6×9-5=49（角）

【画龙点睛】

解答两步计算的应用题，如果不认真思考，提笔就做，很容易出错。

所以应该先从条件或问题入手，仔细分析，找出正确的解题方法。

【举一反三】

1、一盒糖果，总数不超过20颗，把它们平均分给6个小朋友，还余2颗，这盒糖最多有几颗？

最少有几颗？

2、停车场里原来停放的轿车比卡车多12辆，后来轿车开走6辆，卡车开进8辆，这时停车场里哪种车多？

多多少辆？

3、小李和小红到商店买同一种练习本，结果发现钱没带够，小李缺5角，小红少2分，但两人合起来还是不够买一本。

这种本子一本多少钱？

4、有大、小两桶油共重50千克，两个桶都倒出同样多的油后，分别还剩10千克和6千克。

大、小两个桶原来各装油多少千克？

第二课时：

【典型例题】

例2：

小明有10枝铅笔，小红有4枝铅笔，要使两人的铅笔同样多，小明要给小红几枝铅笔？

解题策略：

我们用图来表示已知条件：

小明：

小红：

从图中我们可以清楚地看到，小明比小红多6枝铅笔，把多出来的6枝铅笔平均分成两份，即6÷2=3，所以小明给小红3枝铅笔后，两人的枝数相同。

【画龙点睛】

用画图法解应用题，特别是解技巧性较强的题，能形象直观地揭示数量关系，使抽象思维与形象思维协同发挥作用，从而构建出解题思维的模式。

【举一反三】

1、小明给小红3枝铅笔后，两人的枝数相同。

问：

小明比小红多几枝铅笔？

2、小红有4枝铅笔，小明给小红3枝铅笔后，两人的枝数相同，小明有几支铅笔？

3、一根12米长的木条，锯3次，每段几米？

4、小红妈妈到水果店买苹果，她的钱若买3斤多1元，若买4斤少1元5角，问妈妈带了多少钱？

6、二

（1）班同学做早操，每行人数相等，小李的位置从左边数是第3个，从右边数是第4个，从前边数是第4个，从后边数是第2个。

问：

二

（1）班有多少同学在做早操？

练习

1、学校图书馆有文艺书386本，科技书比文艺书少148本，科技书与文艺书一共有多少本？

2、小丽到商店去买练习本，她的钱若买4本还剩2分；若买5本，就差1角。

问小丽有多少钱？

3、一堆水果糖，8个小朋友来分，每人分6颗，还多7颗。

这堆糖一共有多少颗？

4、小明的爸爸年龄比妈妈大6岁，妈妈今年40岁，爸爸今年多少岁？

小明出生时妈妈30岁，小明今年是多大？

5、商店有320本练习本，又运来500本，卖出去480本，商店还有多少本练习本？

课题

巧算与速算

知识点

凑十法、凑整法、改变运算顺序

教学目标

1、分析思考计算数据的特点，锻炼思维的灵活性。

2、利用对一年级“凑十法”的迁移，利用凑整法的运算方法，体会其简便性。

3、了解通过改变运算顺序体会运算的简便性。

教学内容

例1　计算1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10．

分析：

解题时我们可以从左往右逐步相加：

1＋2＝3

3＋3＝6

6＋4＝10

10＋5＝15

15＋6＝21

21＋7＝28

28＋8＝36

36＋9＝45

45＋10＝55

这种逐步相加非常麻烦，且容易出错；如果利用“凑十法”，计算简便得多．

解：

例2　计算1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19．

分析：

这是求1到19这10个单数的和，用凑整法计算可使计算过程简化．

解：

20+20+20+20+20＝100

例3计算2＋3＋15＋36＋27＋85＋64＋88．

分析：

先观察加数的特点，然后用凑整的方法进行简便计算．

解：

30+90+100+100＝320

例4计算10－9＋8－7＋6－5＋4－3＋2－1．

分析：

本题如果按常规计算的方法从左到右依次计算，同样可以得到结果．但这样计算不仅速度慢，而且又容易错．这时，我们就可以考虑通过改变一下运算的顺序，以达到计算简便的目的．

解：

10－9＋8－7＋6－5＋4－3＋2－1

＝（10－9）＋（8－7）＋（6－5）＋（4－3）＋（2－1）

＝1＋1＋1＋1＋1

＝5

例5计算：

（1）43＋24＋17；

（2）86＋35＋65

分析：

观察加数的特点，把能够凑成整百的两个数相加，然后再加上第三个数，这样计算简便．

解：

（1）43＋24＋57

＝（43＋57）＋24

＝100＋24

＝124

（2）86＋35＋65

＝86＋（35＋65）

＝86＋100

＝186

例6计算：

（1）65＋28－45；

（2）75－38＋25

分析：

在只有加减运算的算式中，有时改变加、减运算的顺序，可以使计算简便．

解：

（1）65＋28－45

＝65－45＋28

＝20＋28

＝48

（2）75－38＋25

＝75＋25－38

＝100－38

＝62

例7计算

1－2＋3－4＋5－6＋7－8＋9－10＋11

解：

这题只有加减运算，而且1－2不够减．我们可以采用带着加减号搬家的方法解决．要注意每个数自己的符号就是这个数前面的那个“＋”号或“－”号，搬家时要带着符号一起搬．

1－2＋3－4＋5－6＋7－8＋9－10＋11

＝1＋3－2＋5－4＋7－6＋9－8＋11－10

＝1＋（3－2）＋（5－4）＋（7－6）＋（9－8）＋（11－10）〔先减后加〕

＝1＋1＋1＋1＋1＋1

＝6

在这道题的运算中，把“＋3”搬到“－2”的前面，把“＋5”搬到了“－4”的前面，……把“＋11”搬到了“－10”的前面，这就叫带着符号搬家．巧妙利用这种搬法，可以使计算简便．

课题

移多补少问题

知识点

1、用数学的方法解决在生活和工作中的实际问题

—————解应用题。

2、用画图来表示题目中的条件，帮助理解题意，正确解答。

教学目标

1、经历操作移多补少使两部分物体个数同样多的过程，初步明白“差2移1”的道理和移多补少问题的数量关系，并能正确回答。

2、进一步培养学生的观察、操作、抽象能力，渗透一一对应的数学思想。

教学内容

 简单的移多补少（画图法） 

例题1  小明有16个贝壳，小红有12个贝壳。

小明给小红几个贝壳，两人贝壳个数就会同样多？

【思路导航】我们用图表示题中的数量关系：

小明：

○○○○○○○○○○○○○ ○○ ○○ 

小红：

○○○○○○○○○○○○○ 

从图中可以看出，小明的贝壳比小红多4个，把多的4个平均分成两份，4÷2=2（个），每份2个，即小明给小红2个，两人贝壳数就同样多。

列式如下：

 16－12=4（个） 4÷2=2（个） 

答：

小明给小红2个贝壳，两人的贝壳个数就会同样多。

练习一：

⒈ 小红有10枝铅笔，小明有6枝铅笔，小红给小明几枝铅笔，两人的铅笔枝数就会同样多？

⒉ 二

（1）班第一队有6人，第二队有12人，怎样调整，两队人数同样多？

例题2  文文和飞飞各有一些画片，飞飞给文文3张后，两人画片同样多，原来飞飞比文文多几张？

【思路导航】根据题意，已知两人画片的移动数是3“飞飞给文文3张”，要求两人画片的相差数，即原来飞飞比文文多几张，因为“相差数”是“移动数”的2倍，所以3×2=6（张），这就是两人相差的张数。

列式如下：

 3×2=6（张） 

答：

原来飞飞比文文多6张。

 练习二：

1．小华给小强2枝铅笔，两人铅笔枝数同样多，原来小华比小强多几枝铅笔？

2．二

（1）班有40名小朋友排两队做操，第一队调4人到第二队，两队人数同样多，原来第一队比第二队多几人？

例题3  哥哥有22张邮票，他给弟弟4张后，两人的邮票同样多，弟弟原来有几张邮票？

【思路导航】哥哥给弟弟4张，两人邮票张数同样多，说明哥哥原来比弟弟多4×2=8（张） 22－8=14（张） 

答：

弟弟原有14张邮票。

练习三：

1．小红有10张画片，她给小明2张后，两人的画片同样多，小明原来有几张画片？

2．小英做了15朵纸花，她给小兰3朵后，两人纸花的朵数一样，小兰原来做了多少朵？

例题4  一个书架有两层。

如果从上层取10本书到下层，上层还比下层多5本。

原来上层比下层多几本？

【思路导航】依题意画图：

 上层：

 下层：

从图中可以看出，若上层取10本到下层后，两层本数同样多，那么上层就比下层多10×2=20（本）。

但题目已知上层取10本到下层后，还比下层多5本，说明上层原来比下层多10×2＋5=25（本）。

 列式如下：

 10×2=20（本） 20＋5=25（本） 

答：

原来上层比下层多25本。

练习四：

1．芳芳和南南有一些糖，芳芳给南南5块后，芳芳比南南还多2块。

原来芳芳比南南多几块？

2．小林有一个两层的文具盒，上层比下层多4枝笔，如果下层拿一枝到上层，这时上层比下层多几枝？

课题

周期问题

知识点

利用有余数除法解决周期性问题

教学目标

1、分析思考题目中事件的周期问题，锻炼思维的灵活性。

2、让学生在学习数学的过程中，感学与日常生活的密切联系，体验数学的价值，增强受数应用数学的意识。

3、在探索问题解决方法的过程中，发展学生的数学思考能力，培养主动探索的意识。

教学内容

例1　今天是星期日，再过18天是星期几？

[完全解题]同学们都知道一个星期有7天，要知道再过18天是星期几，先要把18÷7＝2……4，因为今天是星期日，也就是再过18天是星期四．

[知识点评]同学们都知道一年有4个季度，12个月，一个星期有7天……它们都是按照一定的顺序，不断重复出现，在日常生活和数学中这种重复出现的问题还很多，我们把它叫做周期问题或循环问题，这个专题就是专门学习奇妙的周期问题．

[方法点击]解决这类问题时，首先要看图形或者数字或者事物的变化是否重复出现并有周期性．再看周期的长度，每个周期是按什么次序排列的，解题时还要考虑余数在周期内与某种状态相对应．

例2　学校大门上有一串彩灯按“红、黄、绿、白”的规律排列，以此顺序，第13盏彩灯是什么颜色？

第18盏呢？

[完全解题]因为学校大门上的彩灯每4种颜色为一组，每逢4就出现一次，所以要求第13盏彩灯，第18盏彩灯各是什么颜色，只要看余数就可确定：

　　13÷4＝3……1（红色）

　　18÷4＝4……2（黄色）

[知识点评]注意观察彩灯出现的周期是4，看某盏彩灯的颜色，位置除以周期数看余数相应的颜色．

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